選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C.D．
3．已知雙曲線的離心率為，則漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．直線截圓所得的弦長等于（ ）
A．B．C．D．
5．展開式中所有二項式系數(shù)之和為8，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．-6B．6C．7D．9
6．“”是“”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
7．在中，角，，所對的邊分別為a，b，c，且，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
8．生物學上，J型增長是指在理想狀態(tài)下，物種迅速爆發(fā)的一種增長方式，其表達式為，其中為初始個體數(shù)，為最終個體數(shù).若某種群在該模型下，個體數(shù)由100增長至120消耗了10天，則個體數(shù)由120增長至160消耗的時間大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
9．設，若是的最小值，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
10．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.方程，表示的曲線在第一和第三象限；
B.曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1；
C.曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；
D.曲線上有5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．已知點在拋物線上，則點到拋物線的焦點的距離為 ．
12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項，則q的值是 ．
13．如圖，一倒立的圓錐和一個底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，，圓錐內(nèi)液體體積為V1，圓柱內(nèi)液體體積為V2，則＝ ．
14．已知在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值為 ；若，則的最大值為 .
15．如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號有
①若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；
②數(shù)列是等比差數(shù)列；
③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；
④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．
解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
17．在某地區(qū)進行高中學生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)求的值；
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；
(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內(nèi)的概率，當最大時，此時k的值.（其中k=2.3.4）（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）
18．已知函數(shù)．從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．
(1)求的解析式；
(2)設，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
條件①：；
條件②：為偶函數(shù)；
條件③：的最大值為1；
條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
19．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．
(1)求；
(2)證明：存在唯一的極小值點，且．
20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為，離心率為分別是橢圓的上下頂點，過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求證：直線恒過定點；
(3)求面積的最大值.
21．已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．
(1)數(shù)列的通項公式為，寫出數(shù)列的一個長度為的“等比伴隨數(shù)列”；
(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；
(3)數(shù)列的通項公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值．
2024-2025學年北京市豐臺區(qū)高三上學期1月期末數(shù)學模擬
檢測試卷
選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題中選出符合題目要求的一項。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【詳解】因為，所以.
故選：D.
2．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C.D．
【詳解】因為，所以．
故選：C.
3．已知雙曲線的離心率為，則漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】雙曲線的離心率為，
故，則，故漸近線方程為，
故選：A
4．直線截圓所得的弦長等于（ ）
A．B．C．D．
【詳解】由圓的方程知：圓心為，半徑，
所以圓心為到直線距離為，
所以直線被圓截得弦長為.
故選：C
5．展開式中所有二項式系數(shù)之和為8，則該展開式中的常數(shù)項為（ ）
A．-6B．6C．7D．9
【詳解】解：因為展開式中所有二項式系數(shù)之和為8，
即，所以，
展開式為，
令，則，
所以該展開式中的常數(shù)項為.
故選：B
6．“”是“”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
【詳解】由得，
所以即或，
所以充分性不成立；
由知，，所以，
當且僅當，即時等號成立，
又因為，所以，所以必要性成立.
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B
7．在中，角，，所對的邊分別為a，b，c，且，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
【詳解】方法一：
，由正弦定理可得，
，，．
又，．
．
，則．
方法二：
因為，由射影定理可得，
又，．
．
，則．
故選：A
8．生物學上，J型增長是指在理想狀態(tài)下，物種迅速爆發(fā)的一種增長方式，其表達式為，其中為初始個體數(shù)，為最終個體數(shù).若某種群在該模型下，個體數(shù)由100增長至120消耗了10天，則個體數(shù)由120增長至160消耗的時間大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
【詳解】由題意可得，，
所以，即，
所以，
當，時，，
即，所以，
由給定數(shù)據(jù).
故選：D
9．設，若是的最小值，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【詳解】由題意，函數(shù)，若是的最小值，
可得，對稱軸為，若是的最小值，
則，即得，可得，
當時，可得，當且僅當時等號成立，
要使得函數(shù)的最小值為，則，解得，
綜上可得實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
10．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合可以組成世間萬物的絢麗畫面，優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A.方程，表示的曲線在第一和第三象限；
B.曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1；
C.曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；
D.曲線上有5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）．
【詳解】對于A，因為，所以與異號，所以表示的曲線在第二和第四象限，所以A錯誤，
對于B，設曲線上一點，則其到原點的距離為，
考慮到該圖形對稱性，故研究第一象限的點，
因為，所以，當且僅當時取等號，
所以，當且僅當時取等號，
所以，所以，當且僅當時取等號，
所以曲線上任一點到坐標原點的距離都不超過1，所以B正確，
對于C，以為圓心，1為半徑的圓的面積為，由B知曲線在圓內(nèi)部，
所以曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積小于，所以C錯誤，
對于D，由B可知曲線在圓內(nèi)部，而圓內(nèi)在第一象限無整點，
所以曲線在第一象限沒有經(jīng)過整點，
由曲線的對稱性可知，曲線在其它象限也沒有經(jīng)過整點，
所以由圖可知曲線只經(jīng)過整點，所以D錯誤，
故選：B
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。
11．已知點在拋物線上，則點到拋物線的焦點的距離為 ．
【詳解】因為點在拋物線上，所以.
所以，拋物線：，焦點：
所以到焦點的距離.
故4
12．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，且是與2的等差中項，則q的值是 ．
【詳解】由題意有：，而，顯然，，則，
所以，故，可得．
故1.
13．如圖，一倒立的圓錐和一個底面圓直徑為2R的圓柱內(nèi)裝等高H的液體，圓錐的軸截面為等腰直角三角形，圓柱的軸截面為矩形，，圓錐內(nèi)液體體積為V1，圓柱內(nèi)液體體積為V2，則＝ ．
【詳解】因為圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且，
則圓錐的水面圓的直徑為，
由，
所以V1＝V2，即.
故
14．已知在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上，則的最大值為 ；若，則的最大值為 .
【詳解】如圖：以為原點，以所在的直線為,軸建立如圖所示的坐標系，
則，，，，
動點在以點為圓心且與相切的圓上，
設圓的半徑為，
，，
，
，
圓的方程為，
設點的坐標為，則，
，故的最大值為，
，，
，
，，
，
，
，
故的最大值為3，
故，3
15．如果數(shù)列滿足（k為常數(shù)），那么數(shù)列叫做等比差數(shù)列，k叫做公比差．下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號有
①若數(shù)列滿足，則該數(shù)列是等比差數(shù)列；
②數(shù)列是等比差數(shù)列；
③所有的等比數(shù)列都是等比差數(shù)列；
④存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列．
【詳解】①數(shù)列滿足，則，
滿足等比差數(shù)列的定義，故①正確；
②數(shù)列，
，
不滿足等比差數(shù)列的定義，故②錯誤；
③設等比數(shù)列的公比為，則，
滿足等比差數(shù)列，故③正確；
④設等差數(shù)列的公差為，
則，
故當時，滿足，故存在等差數(shù)列是等比差數(shù)列，即④正確；
故①③④
解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16．如圖，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，為等邊三角形，平面平面，，為的中點．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【詳解】（1）因為為等邊三角形，為的中點，
所以．
過作，垂足為，
因為底面為直角梯形，，，，，
所以，則，
由得，所以
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面．
因為平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）由（1）可知，，，兩兩垂直，以為原點，過且平行于的直線為軸，，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，
設平面的法向量為m=x,y,z，
則，令，則，
由（1）可知，軸⊥平面，不妨取平面的法向量為，
則，
故平面與平面夾角的余弦值為．
17．在某地區(qū)進行高中學生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了名高中學生戶外運動的時間（單位：小時），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
(1)求的值；
(2)為進一步了解這名高中學生戶外運動的時間分配，在，兩組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人進行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；
(3)以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學生中隨機抽取名學生，用“”表示這名學生中恰有名學生戶外運動時間在內(nèi)的概率，當最大時，此時k的值.（其中k=2.3.4）（直接寫出答案，結(jié)論不需要證明）
【詳解】（1）由已知，解得，
所以平均數(shù)為
.
（2）這名高中學生戶外運動的時間分配，
在，兩組內(nèi)的學生分別有人，和人；
所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人，
所以隨機變量的可能取值有，，
所以，，
則分布列為
期望；
（3）由頻率分布直方圖可知運動時間在內(nèi)的頻率為，
則，
若為最大值，則，
即，
即，解得，
又，且，則.
18．已知函數(shù)．從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定．
(1)求的解析式；
(2)設，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
條件①：；
條件②：為偶函數(shù)；
條件③：的最大值為1；
條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【詳解】（1）因為，
所以，
顯然當時為奇函數(shù)，故②不能選，
若選擇①③，即最大值為，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一確定，故舍去；
若選擇①④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，
解得，
所以，又，所以，解得，
所以；
若選擇③④，即圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，
所以，
又的最大值為，所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
，
令，，
解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
又x∈0,π，所以在0,π上的單調(diào)遞增區(qū)間有和.
19．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為．
(1)求；
(2)證明：存在唯一的極小值點，且．
【詳解】（1）函數(shù)定義域為，
由題意可知，，聯(lián)立解得．
（2）由（1）可知，則，
令，則，
所以函數(shù)在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，又，
所以存在唯一實數(shù)使得gx0=0，即①，
當x∈0,x0時，gx0，即單調(diào)遞增，所以存在唯一的極小值點，
由①知，，所以．
一方面由知，；
另一方面，由于是的唯一的極小值點，且，所以．
綜上所述，，證畢．
20．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的短軸長為，離心率為分別是橢圓的上下頂點，過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求證：直線恒過定點；
(3)求面積的最大值.
【詳解】（1）因為，又
解得：
故橢圓的標準方程為
（2）證明：
方法一：
當軸時，不可能垂直，
故可設直線方程為
由，得，
設，則，
所以，
又因為，所以
即，即：，
所以
代入可得，
整理，解得（舍）或，
所以直線的方程為，令，得，
所以直線過定點，
方法二：
顯然均不可能與坐標軸垂直，故可設
由，得
設
所以：，
因為互相垂直，同理得
所以直線的斜率為：，
直線的方程為：，
令得，即直線過定點.
（3）方法一：
由（2）知：
，
所以面積
令，所以代入可得：
此時，所以面積的最大值是
方法二：
由（2）知，所以，
因為互相垂直，同理得，
所以面積
令，
此時，解得或，
所以面積的最大值是.
21．已知等差數(shù)列，若存在有窮等比數(shù)列，滿足，其中，則稱數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”．
(1)數(shù)列的通項公式為，寫出數(shù)列的一個長度為的“等比伴隨數(shù)列”；
(2)等差數(shù)列的公差為，若存在長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值；
(3)數(shù)列的通項公式為，數(shù)列為數(shù)列的長度為的“等比伴隨數(shù)列”，其中，求的最大值．
【詳解】（1）因為，所以，
因為，所以數(shù)列滿足要求，
所以數(shù)列的一個長度為的“等比伴隨數(shù)列”為（答案不唯一）.
（2）由題意可知，，所以，
聯(lián)立，所以，即，
聯(lián)立，所以，即，
聯(lián)立，所以，即，
由上可知，， 當時，取的前項為，經(jīng)驗證可知滿足條件，
綜上所述，.
（3）設數(shù)列的公比為，由題意可知，對，當時，恒成立，
即對恒成立，即對恒成立，
當時，解得，當時，解得，
當時，則有，
所以；
設，所以，
令，均在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減，所以；
令，所以，
因為，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞減，所以；
所以對恒成立，即對恒成立，
設，所以，
當時，顯然單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，
又因為，
所以使得，所以的最大值為.

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