題型演練
題型一 分式方程的判斷
1．下列哪個(gè)是分式方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】解：，是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
，是分式方程，故此選項(xiàng)符合題意；
，是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；
，是整式方程，故此選項(xiàng)不符合題意．
2．在方程：①，②，③，④，是分式方程的有（ ）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
【答案】C
【分析】分母中含有未知數(shù)的方程稱為分式方程，據(jù)此解題即可．
【詳解】解:①分母不含未知數(shù)，故①不是分式方程；
②分母不含未知數(shù)，故②不是分式方程；
③分母含有未知數(shù)，故③是分式方程；
④分母含有未知數(shù)，故④是分式方程．
故選C．
3．下列關(guān)于x的方程中，整式方程的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）（2）；（3）+x＝；（4）+1＝x．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)整式方程與分式方程的定義解答.分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷.
【詳解】解：（1）；
（2）；
（3）+x＝都符合整式方程的定義；
（4）+1＝x屬于分式方程.
故選：C.
4．下列式子①，②，③中，分式方程有（ ）個(gè)
A．1B．2C．3D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】①分母中不含未知數(shù)，所以不是分式方程，故錯(cuò)誤；
②，符合分式方程的概念，故正確；
③，不是方程，故錯(cuò)誤；
所以分式方程只有1個(gè)，
故選：A．
5．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
【詳解】解：A．該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．該方程符合分式方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；
C．該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．該方程是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
題型二 分式方程的解法
6．方程的解為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】解：
去分母得：，
移項(xiàng)合并得：，
化系數(shù)為“1”得：，
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
∴是原分式方程的解．
故選：D．
7．解分式方程時(shí)，去分母化為一元一次方程，正確的是( )
A．x+2＝3B．x﹣2＝3C．x﹣2＝3(2x﹣1)D．x+2＝3(2x﹣1)
【答案】C
【分析】最簡(jiǎn)公分母是2x﹣1，方程兩邊都乘以(2x﹣1)，即可把分式方程便可轉(zhuǎn)化成一元一次方程．
【詳解】方程兩邊都乘以(2x﹣1)，得
x﹣2＝3(2x﹣1)，
故選C．
8．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，本題考察分式方程及其解法，根據(jù)方程解的意義，運(yùn)用去分母，移項(xiàng)的方法，進(jìn)行求解．
【詳解】解：方程可化簡(jiǎn)為

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解
故選D
9．分式方程的解為（ ）
A．B．C．D．無(wú)解
【答案】D
【詳解】去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是增根，分式方程無(wú)解．
故選D．
10．解方程：．
【答案】
【分析】分式方程兩邊同乘3(x+1)，解出x的解，再檢驗(yàn)解是否滿足.
【詳解】解：方程兩邊都乘，
得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，
原方程的解為．
11．解方程．
【答案】
【分析】方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（x＋1）（x?1）化為整式方程，然后解方程即可，最后進(jìn)行檢驗(yàn)．
【詳解】解：方程兩邊乘，得.
解得.
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，.
所以，原分式方程的解為.
12．解分式方程：．
【答案】x=4
【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】解：，
方程兩邊乘得：，
解得：x=4，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，．
所以原方程的解為x=4．
13．解分式方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】解：
去分母，得，
解此方程，得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的根．
14．解分式方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【詳解】方程，
，
，
，
經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解，
∴原分式方程的解為．
15．解方程．
【答案】
【分析】先將方程兩邊同時(shí)乘以，化為整式方程后解整式方程再檢驗(yàn)即可．
【詳解】解：，
，
，
，
檢驗(yàn)：將代入中得，，
∴是該分式方程的解．
題型三 分式方程的增根問題
16．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則a的值為（ ）
A．1B．C．1或D．以上都不是
【答案】C
【分析】根據(jù)分式方程“無(wú)解”，考慮兩種情況：第一種是分式方程化為整式方程時(shí)，整式方程有解，但是整式方程的解會(huì)使最簡(jiǎn)公分母為0，產(chǎn)生了增根．第二種情況是化為整式方程時(shí)，整式方程無(wú)解，則原分式方程也無(wú)解．綜合兩種情況求解即可．
【詳解】解：
分式方程兩邊同乘以（3－x）得：
要使原分式方程無(wú)解，則有以下兩種情況：
當(dāng)時(shí)，即，整式方程無(wú)解，原分式方程無(wú)解．
當(dāng)時(shí)，則，
令最簡(jiǎn)公分母為0，即
解得
∴當(dāng)，即時(shí)，原分式方程產(chǎn)生增根，無(wú)解．
綜上所述可得：或時(shí)，原分式方程無(wú)解．
故選：C．
17．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】先判斷方程的這個(gè)增根為再把代入去分母后的方程中即可得到答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的分式方程有增根，
∴這個(gè)增根為：
，
去分母可得：
把代入
∴
解得：
故選B
18．關(guān)于x的分式方程＝1有增根，則m的值為（ ）
A．m＝﹣2B．m＝2C．m＝﹣3D．m＝3
【答案】C
【分析】解出分式方程的根x＝m＋5，分式方程的增根為x＝2，所以m＋5＝2，求得m的值．
【詳解】解：方程兩邊都乘以（x﹣2）得：m＋3＝x﹣2，
解得：x＝m＋5，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴m＋5＝2，
∴m＝－3．
故選：C．
19．關(guān)于的分式方程有增根，則增根是( )
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】A
【分析】分式方程有增根，令最簡(jiǎn)公分母為0，即可求出增根．
【詳解】解：分式方程有增根，
最簡(jiǎn)公分母，
解得：．
故選：A．
20．若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（ ）
A．﹣3B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】C
【分析】先去分母得到整式方程x﹣1＝m﹣（x﹣3），整理得m﹣2x＝﹣4，由于x的方程無(wú)解，則x﹣3＝0，即x＝3，然后把x＝3代入m﹣2x＝﹣4進(jìn)行計(jì)算即可得到m的值．
【詳解】去分母得x﹣1＝m﹣（x﹣3），
整理得m﹣2x＝﹣4，
∵關(guān)于x的方程無(wú)解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
∴m﹣2×3＝﹣4，
∴m＝2．
故選：C．
21．若關(guān)于的分式方程有增根，則______．
【答案】3
【分析】去分母，得，將增根代入可得，進(jìn)一步求解即可．
【詳解】解：去分母，得，
將增根代入，
得，
解得，
故答案為：．
22．關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值 ____
【答案】-2
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解，求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．
【詳解】解：去分母得，，
由分式方程無(wú)解，得到，即，
把代入整式方程得， ，
計(jì)算得，．
故答案為：-2．
23．若關(guān)于的分式方程無(wú)解，則a的值為____．
【答案】1或-2
【分析】將分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程無(wú)解，分為整式方程無(wú)解和分式方程有增根兩種情況進(jìn)行解題即可．
【詳解】解：方程兩邊同乘得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，
①當(dāng)整式方程無(wú)解時(shí)：0，解得：，
②當(dāng)分式方程有增根時(shí)：0，解得：x=0或，
當(dāng)0時(shí)，整式方程無(wú)解，
當(dāng)：，解得：；
故答案為：1或-2．
24．若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則a的值為_________．
【答案】3或
【分析】先根據(jù)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，當(dāng)x的系數(shù)為0時(shí)，方程無(wú)解，求出a的值；當(dāng)x的系數(shù)不等于0時(shí)，求出方程的解，最簡(jiǎn)公分母等于0時(shí)方程無(wú)解，求出a的值即可．
【詳解】解：，
去分母，得，
整理，得，
當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵质椒匠虩o(wú)解，所以，
即，
解得．
所以a的值為或3．
故答案為：或3．
25．若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是___________．
【答案】－1
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，把增根x＝3代入整式方程，即可求得相關(guān)字母的值．
【詳解】解：分式方程，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：，
解得：m＝－1，
故答案：－1．
題型四 根據(jù)分式方程的根的情況求參數(shù)
26．若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．2B．3C．7D．8
【答案】A
【分析】求出不等式組的解集，即可得出，解關(guān)于y的分式方程得出且，分析求解即可．
【詳解】解：將關(guān)于x的一元一次不等式組求解得出，
而不等式組的解集為，
∴，
解這個(gè)關(guān)于y的分式方程得且，
又∵分式方程的解是非負(fù)整數(shù)，
∴，，，…
即，，，，…
而，
∴，，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為，
故選：A．
27．關(guān)于x的分式方程解為正數(shù)，且關(guān)于y的不等式組 解集為，則滿足所有條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先通過(guò)分式方程求出a的一個(gè)取值范圍，再通過(guò)不等式組的解集求出a的另一個(gè)取值范圍，兩個(gè)范圍結(jié)合起來(lái)就得到a的有限個(gè)整數(shù)解．
【詳解】解：由分式方程的解為整數(shù)可得：，
解得：
又題意得：且
∴且，
由得：，
由得：，
∵解集為，
∴，
解得：，
綜上可知a的整數(shù)解有：3，4，6共3個(gè)，故D正確．
故選：D．
28．若關(guān)于 的不等式組 有解且所有的解都是正數(shù)， 且關(guān)于 的分式方程 的解為整數(shù)， 則符合條件的所有整數(shù) 的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【答案】A
【分析】先解不等式組求得，再解分式方程得，再由方程的解為整數(shù)，可得a是2的倍數(shù)，由于，則，可求a的值為2．
【詳解】解：不等式組，
由(1)得，
由(2)得，
∵不等式組有解且所有的解都是正數(shù)，
，
，
解分式方程，
得，
，
，
∵方程的解為整數(shù)，
∴a是2的倍數(shù)，
∴a的值為2，
∴符合條件的所有整數(shù)a的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故選：A．
29．從，，，，1，3這六個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為，若使得關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，且使得關(guān)于的不等式組無(wú)解，則這六個(gè)數(shù)中所有滿足條件的的值之和是（ ）
A．B．-1C．D．
【答案】C
【分析】解分式方程，利用分式方程的解為整數(shù)，可能產(chǎn)生增根的情形，分母不等于0，解不等式組，利用已知條件確定的范圍，從而將不符合題意的值排除，得到符合條件的的值，則結(jié)論可求．
【詳解】解：分式方程的解為：，
分式方程有可能產(chǎn)生增根2，
，
．
關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，
，
要使分式有意義，
．
關(guān)于的不等式組無(wú)解，
，
．
綜上，符合條件的值有：，，
所有滿足條件的的值之和是，
故選：C．
30．若關(guān)于x的一元一次不等式組有解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．7B．9C．14D．16
【答案】A
【分析】根據(jù)x的一元一次不等式組有解，得到，再計(jì)算y的分式方程，得到，再根據(jù)y為整數(shù)，得到的所有取值，最后根據(jù)分式方程的性質(zhì)，得到的最后取值，即可計(jì)算所有滿足條件的整數(shù)a的值之和．
【詳解】解：∵不等式
解得：，
∵不等式，
解得：，
∵不等式組有解，
∴，
∴，
又∵關(guān)于y的分式方程的解是，，
∵y為整數(shù)，
∴或或或，
∵當(dāng)a＝1時(shí)，方程無(wú)解，即，
∴且，
∴且，
又∵，
∴或，
所以所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為，
故選：A．
31．已知關(guān)于x的方程﹣3＝ 有一個(gè)正數(shù)解，則m的取值范圍是_________．
【答案】m＜10且m≠1
【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟解出方程的解，再根據(jù)分式方程有意義的條件可得，又利用原方程有一個(gè)正數(shù)解，可得一元一次不等式，解出不等式即可求得答案．
【詳解】解：等式兩邊同時(shí)乘以得：
，即，
解得：，
由∵，
∴，
∵原方程有一個(gè)正數(shù)解，
∴，
解得，
綜上所述：m＜10且m≠1，
故答案為：m＜10且m≠1．
32．若關(guān)于x的分式方程的解大于1，則m的取值范圍是______________．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解為，根據(jù)解大于1得到關(guān)于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗(yàn)算分母不為0即可．
【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不為0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范圍是m >0且m≠1．
故答案為：m >0且m≠1．
33．關(guān)于x的分式方程有解，則a的取值范圍是________．
【答案】且
【分析】先求出使分式方程無(wú)意義時(shí)，a的取值范圍，再用逆向思維求出當(dāng)分式方程有解時(shí)a的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴，
∵有解，
則或，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故a的取值是1，
當(dāng)時(shí)，，
兩邊同乘，，
∴，
當(dāng)2-a=0時(shí)，方程無(wú)解，此時(shí)a=2，
故答案為：且．
34．若關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是________．
【答案】m≤6且m≠4
【分析】先求得分式方程的解，利用已知條件列出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】解：關(guān)于x的分式方程的解為：x＝6?m，
∵分式方程有可能產(chǎn)生增根2，
∴6?m≠2，
∴m≠4，
∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，
∴6?m≥0，
解得：m≤6，
綜上，m的取值范圍是：m≤6且m≠4．
故答案為：m≤6且m≠4．
35．已知關(guān)于x的分式方程的解為非正數(shù)，則k的取值范圍是______．
【答案】且
【分析】先將分式方程化成整式方程，求出方程的解為，再根據(jù)方程的解為非正數(shù)確定k的取值范圍，要注意分式分母不為零的情況．
【詳解】解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
由分式方程的解為非正數(shù)，得到，且，
解得：且．
故答案為：且
題型五 分式方程的應(yīng)用
36．為了響應(yīng)學(xué)校提出的“節(jié)能減排，低碳生活”的倡議，班會(huì)課上小明建議每位同學(xué)都踐行“雙面打印，節(jié)約用紙”他舉了一個(gè)實(shí)際例子：打印一份資料，如果用厚型紙單面打印，總質(zhì)量為克，將其全部改成雙面打印，用紙將減少一半；如果用薄型紙雙面打印，總質(zhì)量為克．已知每頁(yè)薄型紙比厚型紙輕克，求例子中的厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量．墨的質(zhì)量忽略不計(jì)提示：總質(zhì)量每頁(yè)紙的質(zhì)量紙張數(shù)．
【答案】例子中的厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為4克
【分析】設(shè)例子中的厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為x克，由題意得，，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】解：設(shè)例子中的厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為x克，
由題意得，
方程兩邊同時(shí)乘，得
整理，得，
解得，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以是原方程的解，
即例子中的厚型紙每頁(yè)的質(zhì)量為4克．
37．為助力鄉(xiāng)村發(fā)展，某購(gòu)物平臺(tái)推出有機(jī)大米促銷活動(dòng)，其中每千克有機(jī)大米的售價(jià)僅比普通大米多3元，用540元購(gòu)買的有機(jī)大米與用420元購(gòu)買的普通大米的重量相同．求每千克有機(jī)大米的售價(jià)為多少元？
【答案】13.5元
【分析】設(shè)每千克有機(jī)大米的售價(jià)為x元，則每千克普通大米的售價(jià)為元，由題意：用540元購(gòu)買的有機(jī)大米與用420元購(gòu)買的普通大米的重量相同．列出分式方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)每千克有機(jī)大米的售價(jià)為x元，則每千克普通大米的售價(jià)為元，
依題意得：
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．
答：每千克有機(jī)大米的售價(jià)為13.5元．
38．某項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)先做天后，由于另有任務(wù)不做，由乙工程隊(duì)接替，結(jié)果乙隊(duì)再做天就恰好完成任務(wù)．已知乙隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)的時(shí)間是甲隊(duì)的倍．請(qǐng)問：
(1)甲隊(duì)單獨(dú)做需要多少天才能完成任務(wù)？
(2)若甲工程隊(duì)先做天后，由乙工程隊(duì)接替，結(jié)果乙隊(duì)再做天就恰好完成任務(wù)．其中，都是正整數(shù)，且甲隊(duì)做的時(shí)間不到天，乙隊(duì)做的時(shí)間不到天，那么兩隊(duì)實(shí)際各做了多少天？
【答案】(1)答：甲隊(duì)單獨(dú)做需要40天才能完成任務(wù)；
(2)答：甲隊(duì)實(shí)際做了天，乙隊(duì)做了天．
【分析】（1）甲隊(duì)單獨(dú)做需要天才能完成任務(wù)，則乙隊(duì)單獨(dú)做需要天才能完成任務(wù)，總?cè)蝿?wù)量為1，根據(jù)題意列分式方程，求解即可得到答案；
（2）根據(jù)題意列分式方程，整理得到，再根據(jù)、的取值范圍得不等式，求整數(shù)解即可得到答案．
【詳解】（1）解：甲隊(duì)單獨(dú)做需要天才能完成任務(wù)，則乙隊(duì)單獨(dú)做需要天才能完成任務(wù)，由題意得：，
解得：，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
答：甲隊(duì)單獨(dú)做需要40天才能完成任務(wù)；
（2）解：由題意得：，
整理得：，
，
，
，
且為整數(shù)，
或，
當(dāng)時(shí)，，不是整數(shù)，不符合題意，舍去，
當(dāng)時(shí)，，
答：甲隊(duì)實(shí)際做了天，乙隊(duì)做了天．
39．2022年卡塔爾世界杯吉樣物la’eeb，中文名是拉伊卜，代表著技藝高超的球員．隨著世界杯的火熱進(jìn)行，吉祥物拉伊卜玩偶成為暢銷商品．某經(jīng)銷商售賣大、小兩種拉伊卜玩偶，大拉伊卜售價(jià)是小拉伊卜售價(jià)的1．5倍且1200元購(gòu)買小拉伊卜玩偶的數(shù)量比購(gòu)買大拉伊卜玩偶的數(shù)量多5個(gè)．
(1)求小、大拉伊卜玩偶售價(jià)分別為多少元？
(2)世界杯開賽第一周該經(jīng)銷商售出小拉伊卜玩偶500個(gè)，大拉伊卜玩偶300個(gè)，世界杯開賽第二周，該經(jīng)銷商決定?價(jià)出售兩種拉伊卜玩偶．已知：兩種拉伊卜玩偶都降價(jià)元，小拉伊卜玩偶售出數(shù)量較世界杯開賽第一周多了個(gè)；大拉伊卜玩偶售出數(shù)量與世界杯開賽第一周相同，該經(jīng)銷商世界杯第二周總銷售額為75000元，求的值．
【答案】(1)80元，120元
(2)10
【分析】（1）設(shè)小拉伊卜售價(jià)為x元，則大拉伊卜售價(jià)是元，根據(jù)題意，得，解分式方程即可．
（2）根據(jù)題意，第二周大拉伊卜售價(jià)是元，銷售數(shù)量為300個(gè)；第二周小拉伊卜售價(jià)是元，銷售數(shù)量為個(gè)，根據(jù)題意，得，解方程即可．
【詳解】（1）設(shè)小拉伊卜售價(jià)為x元，則大拉伊卜售價(jià)是元，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，
所以，
答：小拉伊卜玩偶售價(jià)為80元，大拉伊卜玩偶售價(jià)是120元．
（2）根據(jù)題意，第二周大拉伊卜售價(jià)是元，銷售數(shù)量為300個(gè)；第二周小拉伊卜售價(jià)是元，銷售數(shù)量為個(gè)，
根據(jù)題意，得，
解得（舍去）．
故a的值為10．
40．某網(wǎng)店售有A、B兩款紀(jì)念品，已知每件A款紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)比B款貴10元，該商家用8000元購(gòu)進(jìn)的A款紀(jì)念品和用6000元購(gòu)進(jìn)的B款紀(jì)念品的件數(shù)相同．銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，A款紀(jì)念品每件售價(jià)50元時(shí)，每個(gè)月可售出100件；每件售價(jià)每提高1元時(shí)，每個(gè)月少售出2件．
(1)求A款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)；
(2)設(shè)A款紀(jì)念品每件售價(jià)x元（），每個(gè)月銷售A款紀(jì)念品的利潤(rùn)為w（單位：元），求w的最大值．
【答案】(1)40元
(2)A款紀(jì)念品每件售價(jià)65元時(shí)，w有最大值，為1750元
【分析】（1）設(shè)A款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為a元，則B寬紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)題意列出分式方程，即可作答；
（2）設(shè)A款紀(jì)念品每件售價(jià)x元，則銷售量為：件，根據(jù)題意列出二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可作答．
【詳解】（1）設(shè)A款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為a元，則B寬紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為元，
根據(jù)題意有：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
答：A款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為40元；
（2）設(shè)A款紀(jì)念品每件售價(jià)x元，則銷售量為：件，
由（1）可知：A款紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)為40元，
則總的利潤(rùn)為：，
整理：，
即：當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)w隨著x的增大而增大，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，w達(dá)到最大，最大為（元），
答：A款紀(jì)念品每件售價(jià)65元時(shí)，w有最大值，為1750元．
41．為了節(jié)約用水，石家莊物價(jià)局于年月日舉行《市民用水階梯價(jià)格分級(jí)用量聽證會(huì)》，并提出超量加價(jià)．若民用自來(lái)水水費(fèi)調(diào)整為每月用水量不超過(guò)包括時(shí)，則按規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)2.8元（含污染費(fèi)和排污費(fèi)），若每月用水量超過(guò)，則超過(guò)的部分按收費(fèi)（含污染費(fèi)和排污費(fèi)）．
(1)小敏家為了響應(yīng)政府節(jié)約用水的號(hào)召，決定從年月起計(jì)劃平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量減少，這使小敏家在相同的月數(shù)內(nèi)，從計(jì)劃前的用水量變?yōu)橛?jì)劃后的用水量，求小敏家從年月起計(jì)劃平均每月用水量；
(2)小敏家從年月到年月這一年中，有四個(gè)月超出現(xiàn)在計(jì)劃月平均用水量的，有四個(gè)月超出現(xiàn)在計(jì)劃月平均用水量的，其余的四個(gè)月的用水量與年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交費(fèi)法，求小敏家從年月到年月這一年中應(yīng)交的總水費(fèi)．
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）設(shè)小敏家從年月起計(jì)劃平均每月用水量為，則從年月到年月平均每月用水量為，依題意可列出關(guān)于x的分式方程，解出x，并檢驗(yàn)，即可得出結(jié)果；
（2）由題意可求出超出現(xiàn)在計(jì)劃月平均用水量的的四個(gè)月平均用水量為，
這四個(gè)月的水費(fèi)為元，超出現(xiàn)在計(jì)劃月平均用水量的的四個(gè)月平均用水量為，這四個(gè)月的水費(fèi)為元．設(shè)年月到年月的平均每月用水量為，根據(jù)題意可列出關(guān)于y的方程，解出y的值，即可求出這四個(gè)月的水費(fèi)，最后將水費(fèi)相加即得出總水費(fèi)．
【詳解】（1）解：設(shè)小敏家從年月起計(jì)劃平均每月用水量為，則從年月到年月平均每月用水量為，
依題意有：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
∴小敏家從年月起計(jì)劃平均每月用水量為；
（2）解：超出現(xiàn)在計(jì)劃月平均用水量的的四個(gè)月平均用水量為，
∴這四個(gè)月的水費(fèi)為元；
超出現(xiàn)在計(jì)劃月平均用水量的的四個(gè)月平均用水量為，
∴這四個(gè)月的水費(fèi)為元；
設(shè)年月到年月的平均每月用水量為，
根據(jù)題意有：，
解得：
∴其余四個(gè)月的平均用水量為，
∴這四個(gè)月的水費(fèi)為元．
∴小敏家從年月到年月這一年中應(yīng)交的總水費(fèi)為元．
42．2022年北京冬奧會(huì)是我國(guó)又一次舉辦的大型國(guó)際奧林匹克運(yùn)動(dòng)盛會(huì)．為了增加學(xué)生相關(guān)知識(shí)，某校開展“冬奧會(huì)知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)并計(jì)劃購(gòu)買大小兩種型號(hào)的吉祥物玩偶作為獎(jiǎng)品．已知大型號(hào)的單價(jià)比小型號(hào)的單價(jià)多元，且學(xué)校用元購(gòu)買小型號(hào)的數(shù)量是用元購(gòu)買大型號(hào)數(shù)量的三倍．
(1)求兩種型號(hào)玩偶的單價(jià)；
(2)為了讓更多同學(xué)參與競(jìng)賽活動(dòng)，學(xué)校決定購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)吉祥物玩偶共個(gè)，但總費(fèi)用不超過(guò)元求最多可購(gòu)買大型號(hào)吉祥物玩偶的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)小型號(hào)玩偶的單價(jià)為元，大型號(hào)玩偶的單價(jià)為元
(2)
【分析】（1）設(shè)小型號(hào)玩偶的單價(jià)為元，則大型號(hào)玩偶的單價(jià)為元，根據(jù)題意，列出分式方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)最多購(gòu)買大型號(hào)吉祥物玩偶個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)小型號(hào)玩偶的單價(jià)為元，則大型號(hào)玩偶的單價(jià)為元，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的根，
∴小型號(hào)玩偶的單價(jià)為元，大型號(hào)玩偶的單價(jià)為元；
（2）設(shè)最多購(gòu)買大型號(hào)吉祥物玩偶個(gè)，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴最多可購(gòu)買大型號(hào)吉祥物玩偶個(gè)．
43．為了提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，小啟和小航相約到書店購(gòu)買《數(shù)學(xué)的力量》和《數(shù)學(xué)腦探秘》這兩本書．已知《數(shù)學(xué)的力量》的頁(yè)數(shù)比《數(shù)學(xué)腦探秘》的頁(yè)數(shù)多40頁(yè)，小啟計(jì)劃每天讀30頁(yè)，22天讀完這兩本書．
(1)求《數(shù)學(xué)的力量》有多少頁(yè)？
(2)小航按每天閱讀固定的頁(yè)數(shù)閱讀了360頁(yè)后，接下來(lái)每天多閱讀50%，直到閱讀完這兩本書，結(jié)果比小啟計(jì)劃閱讀的天數(shù)多用了6天，求小航一開始每天閱讀多少頁(yè)？
【答案】(1)《數(shù)學(xué)的力量》有頁(yè)．
(2)小航原來(lái)每天閱讀頁(yè)．
【分析】（1）設(shè)《數(shù)學(xué)的力量》有頁(yè)，則《數(shù)學(xué)腦探秘》有頁(yè)，再利用兩本書的頁(yè)數(shù)之和為，再列方程可得答案；
（2）設(shè)小航原來(lái)每天閱讀頁(yè)，結(jié)合原來(lái)閱讀時(shí)間加上提高速度后的閱讀時(shí)間等于28天，可列方程，從而可得答案．
【詳解】（1）解：設(shè)《數(shù)學(xué)的力量》有頁(yè)，則《數(shù)學(xué)腦探秘》有頁(yè)，
∴，
解得：，
答：《數(shù)學(xué)的力量》有頁(yè)．
（2）設(shè)小航原來(lái)每天閱讀頁(yè)，則
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解且符合題意；
答：小航原來(lái)每天閱讀頁(yè)．

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