考試時間 120分鐘 分值：150分

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．
1．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)、在復平面內(nèi)對應的點坐標分別為、，則為（ ）
A. B. C. D.
3．已知曲線與曲線在交點處有相同的切線，則（ ）
A．1B．C．D．
4．已知直線l經(jīng)過點，則“直線l的斜率為”是“直線l與圓C：相切”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．在四邊形ABCD中，，，，，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
6．已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．已知拋物線C：的焦點為F，坐標原點為O，過點F的直線與C交于A，B兩點，且點O到直線AB的距離為，則△OAB的面積為（ ）
A．B．C．D．
8．某軟件研發(fā)公司對某軟件進行升級，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項為，若序列的所有項都是2，且，，則（ ）
A.B.C..D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知實數(shù)a，b滿足，則( )
A．B．C． D．
10．在某學校開展的“防電信詐騙知識競賽”活動中，高三級部派出甲、乙、丙、丁四個小組參賽，
每個小組各有10位選手．記錄參賽人員失分（均為非負整數(shù)）情況，若該組每位選手失分都
不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知選手失分數(shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的
是（ ）
A．甲組中位數(shù)為3，極差為4B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2
C．丙組平均數(shù)為3，方差為2D．丁組平均數(shù)為3，第65百分位數(shù)為6
11．已知菱形的邊長為2，，E，F(xiàn)，G分別為AD、AB、BC的中點，將 沿著對角線AC折起至，連結(jié)，得到三棱錐.設二面角的大小為，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.當平面截三棱錐的截面為正方形時，
C.三棱錐的體積最大值為1
D.當時，三棱錐的外接球的半徑為
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分. 請把答案填在答題卡的相應位置上．
12．在正四棱錐P-ABCD中，，則該棱錐的體積為 ．
13．已知函數(shù)（）的最小正周期不小于，且恒成立，則的值為______________________．
14．設為雙曲線的一個實軸頂點，為的漸近線上的兩點，滿足，，則的漸近線方程是______．
四、解答題: 本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15.（本小題滿分13分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為，．
（1）求角的大小； （2）若，求的周長．
16.（本小題滿分15分）已知三棱柱的棱長均為.
（1）證明：平面平面；
（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到直線的距離.
17.（本小題滿分15分）設等差數(shù)列的公差，且，記為數(shù)列的前項和.
（1）若成等比數(shù)列，且的等差中項為，求數(shù)列的通項公式；
（2）若且，比較的大小.
18.（本小題滿分17分）已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）設直線的斜率為，已知，求證：；
（2）直線不與坐標軸重合且經(jīng)過的左焦點，直線與橢圓相交于兩點，且，求直線的方程.
19.（本小題滿分17分） 已知函數(shù)，證明：
（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）若的兩個零點為，，則
（i）； （ii）.
參考答案
單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1-5 CDBCD 6-8ABB
多項選擇題：本題共3小題。每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
BD 10. AC 11.BCD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分、共20分．
12．； 13．２； 14．．
四、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．解：（1）由題意知：，所以，
因為，所以，
所以，
因為，所以，
因為，所以；
（2）由正弦定理得：，
由（1）知：，所以，
由余弦定理得：
即，所以，
所以的周長為．
16．解：（1）取的中點，連接，所以，
由題設可知，為邊長為2的等邊三角形，所以，
由，所以，
又因為平面，
所以平面，
又因為平面，所以平面平面；
（2）以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.
所以，
.
因為，則，
設平面的法向量為，
則即
取，
所以是平面的一個法向量.
設直線與平面所成角為，
，
解得， 所以，
又因為，所以.
所以點到直線的距離.
17.解：（1）由已知得，即，化簡得，
，，
又，即，所以，故；
（2）易知等差數(shù)列的首項，不妨設，
，，
又，所以，，，
，
，；
18．解：（1）設，
由，得，變形得，
即，故，又，解得，故.
（2）由題意，直線不與軸重合，設直線的方程為，
聯(lián)立，得，，
設，則，
可得.
，
則弦的中點的坐標為，
故的方程為.聯(lián)立，得，
由對稱性，不妨設，則，其中.
可得.
由題意，
且，
故，即
代入，得，
解得，故直線的方程為.
19.解：（1），令，
則，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當時，；
當時，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）（i），當時，，
故在內(nèi)沒有零點.
當；當時，，
根據(jù)函數(shù)零點存在定理，在區(qū)間和內(nèi)各有一個零點.
因此，.
令，則，
令，則，，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.
因此，當時，，
即在上單調(diào)遞增.
于是，即.
又因為在上單調(diào)遞增，故，即.
（ii）令，則.
當時，，故在上單調(diào)遞減，，即.
因此，，即①.
當時，，
故，即②，
根據(jù)不等式的同向可加性①②得.
如圖，在四棱雉中，平面，，，，．點在棱上且與，不重合，平面交棱于點．
（1）求證：；
（2）若為棱的中點，求二面角的正弦值；
（3）記點，到平面的距離分別為，，求的最小值．
【小問1解析】
因為，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面.
所以.
【小問2解析】
如圖：
取中點，連接.
因為平面，平面，所以.
在四邊形中，，且，
所以四邊形為矩形.所以平面.
又在和中，，，.
所以（）.
所以，.
故，，兩兩垂直，所以以為原點，建立如圖空間直角坐標系.
當為中點時，，，，，.
所以，，.
設平面的法向量為，
則，取.
設平面的法向量為，
則，取.
所以.
所以二面角的正弦值為：.
【小問3解析】
設，（） ，則，，.
設平面的法向量為，則
，取.
則到平面的距離為：，
到平面的距離為：，
所以
設，則
那么（當且僅當即時取“”）
所以.題號
9
10
11
答案
BD
AC
BCD

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