20251月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試（八省聯(lián)考）數(shù)學試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的運算求解即可；
【詳解】由題意可得.
故選：C.
2. 函數(shù)的最小正周期是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，的最小正周期.
故選：D
3 （）
A. 2B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)模的概念直接求解.
【詳解】由題意：.
故選：C
4. 已知向量，則（）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐標運算求解.
【詳解】，，
，
.
故選：B.
5. 雙曲線的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程，結(jié)合漸近線方程，可得答案.
【詳解】由方程，則，所以漸近線.
故選：C.
6. 底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進而利用圓錐體積公式求解即可.
【詳解】由題可知圓錐的底面半徑，母線長，高，
∴圓錐的體積為.
故選：A.
7. 在中，，則的面積為（）
A. 6B. 8C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)余弦定理求出邊的長度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.
詳解】設，根據(jù)余弦定理，
已知，，，代入可得：
，即，解得，
由于，則為直角三角形，
則.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若當時，，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分類討論，去掉絕對值，結(jié)合一元二次不等式的求解即可得解.
【詳解】當，時，，
當時，，此時，
所以，不滿足當時，，故不符合題意；
當，時，，解得，
由于時，，故，解得；
當，時，恒成立，符合題意；
當，時，，解得，
由于時，，故，解得.
綜上.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是對分類討論，結(jié)合因式分解方法有針對性求解時的的解集，從而可求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知是拋物線的焦點，M是C上的點，O為坐標原點．則（）
A.
B.
C. 以M為圓心且過F的圓與C的準線相切
D. 當時，的面積為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)焦點坐標求出判斷A，根據(jù)拋物線定義判斷B，C，應用已知聯(lián)立方程求出點的坐標計算判斷三角形的面積判斷D.
【詳解】因為是拋物線的焦點，所以，即得，A選項正確；
設在上，所以，
所以，B選項正確；
因為以M為圓心且過F的圓半徑為等于M與C的準線的距離，所以以M為圓心且過F的圓與C的準線相切，C選項正確；
當時,
，且，，
所以,或舍
所以的面積為，D選項錯誤.
故選：ABC.
10. 在人工神經(jīng)網(wǎng)絡中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關系可以稱為激勵函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵函數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)．則（）
A. 雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B. 雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)
C. 雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對A、B：借助導數(shù)求導后即可得；對C：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)將雙曲正切函數(shù)化簡后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得；對D：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別將等式左右兩邊化簡即可得.
【詳解】對A：令，
則恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確；
對B：令，
則，由A知，為增函數(shù)，又，
故當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯誤；
對C：，
由在上單調(diào)遞增，且，
故是增函數(shù)，故C正確；
對D：由C知，則，
，
故，故D正確.
故選：ACD.
11. 下面四個繩結(jié)中，不能無損傷地變?yōu)閳D中的繩結(jié)的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對A，原圖中的圓環(huán)無法解開，對BC轉(zhuǎn)化為三葉結(jié)問題即可；對D通過繩數(shù)即可判斷.
【詳解】對于A選項：原圖中的圓環(huán)不可解開，則無法無損變?yōu)橐粋€圓，無法得到A選項；
對于D選項：為三個圓，不是一根繩，無法得到D選項；
對于B,C選項：根據(jù)左手三葉結(jié)和右手三葉結(jié)不能無損轉(zhuǎn)換，而BC情形為三葉結(jié)變體，則BC至少有一個無法無損傷得到，
兩者為手性，即鏡像（即只能在鏡子中相互重疊），再通過考場身邊道具（如鞋帶，頭發(fā)）進行實驗可知：可以得到C選項，無法得到B選項.
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函，若，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)和對數(shù)的運算求得答案.
【詳解】由，可得，
即，也即，
且，，
兩邊取對數(shù)得：，解得.
故答案為：.
13. 有8張卡片，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為____________．
【答案】
【解析】
【分析】先寫出基本事件總數(shù)，再求出所有卡片上的數(shù)字之和，得到抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應為，列舉出和為的3張卡片即可求解.
【詳解】從8張卡片中隨機抽出3張，則樣本空間中總的樣本點數(shù)為，
因為，
所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，
則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應為，
則抽出3張卡片上的數(shù)字的組合有或或共3種，
所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為的樣本點個數(shù)共3個，
所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.
故答案為：.
14. 已知曲線，兩條直線、均過坐標原點O，和交于M、N兩點，和交于P、Q兩點，若三角形的面積為，則三角形的面積為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對稱性，結(jié)合圖象來求得正確答案.
【詳解】由于和都符合，
所以曲線的圖象關于原點對稱，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，
由此畫出曲線大致圖象如下圖所示，
兩條直線、均過坐標原點，所以M、N兩點關于原點對稱，P、Q兩點關于原點對稱，
根據(jù)對稱性，不妨設位置如圖，
可知，，
所以，所以，
而和等底等高，面積相同，所以，
所以.
故答案為：
【點睛】方法點睛：利用曲線對稱性：充分利用曲線關于原點對稱的性質(zhì)，確定點的對稱關系，這是解決本題的基礎.通過對稱關系，能夠推導出相關線段和三角形之間的等量關系，為后續(xù)的面積計算提供依據(jù).
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 為考察某種藥物對預防疾病的效果，進行了動物（單位：只）試驗，得到如下列聯(lián)表：
（1）求，；
（2）記未服用藥物的動物患疾病的概率為，給出的估計值；
藥物
疾病
合計
未患病
患病
未服用
100
80
服用
150
70
220
合計
250
400
（3）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為藥物對預防疾病有效?
附：，
【答案】（1），
（2）
（3）能認為藥物對預防疾病有效
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求和即可；
（2）用頻率估計概率，計算即可；
（3）根據(jù)公式計算，然后根據(jù)臨界值表分析判斷即可.
【小問1詳解】
由列聯(lián)表知，；
【小問2詳解】
由列聯(lián)表知，未服用藥物的動物有（只），
未服用藥物且患疾病的動物有（只），
所以未服用藥物的動物患疾病的頻率為，
所以未服用藥物的動物患疾病的概率的估計值為；
【小問3詳解】
零假設為：藥物對預防疾病無效，
由列聯(lián)表得到，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，
即認為藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認為藥物對預防疾病有效.
16. 已知數(shù)列中，
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求的通項公式；
（3）令，證明:．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設條件化簡，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，再求即得；
（3）將（2）中得到的的通項代入求得，化簡后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.
【小問1詳解】
由得，
則，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得,
解得：.
【小問3詳解】
令，，
因為在上單調(diào)遞增，則
所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，
故得.
17. 已知函數(shù).
（1）設，求曲線的斜率為2的切線方程；
（2）若是的極小值點，求b的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由切線斜率為2，結(jié)合導數(shù)知識可得切線過點，然后可得切線方程；
（2）由是的極小值點，可得，然后據(jù)此討論的單調(diào)性，分析得在時的極值情況，從而得解.
【小問1詳解】
當時，，其中，
則，令，
化簡得，解得（負值舍去），
又此時，則切線方程過點，結(jié)合切線方程斜率為2，
則切線方程為，即.
【小問2詳解】
由題可得定義域為，，
因是的極小值點，則，
則，
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極大值點，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極大值點，不滿足題意；
若，則，在上單調(diào)遞減，無極值，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極小值點，滿足題意；
綜上，是的極小值點時，.
18. 已知橢圓C的離心率為，左、右焦點分別為，
（1）求C的方程；
（2）已知點，證明：線段的垂直平分線與C恰有一個公共點；
（3）設M是坐標平面上的動點，且線段的垂直平分線與C恰有一個公共點，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）點的軌跡是圓，該圓的方程為
【解析】
【分析】(1)根據(jù)橢圓焦點坐標得，離心率為，得，從而求出，得出橢圓方程；
(2)寫出中垂線方程，聯(lián)立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個公共點；
(3)解法一：利用設直線方程聯(lián)立橢圓方程的方法，根據(jù)判別式等于0，即可求解.
解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合光學性質(zhì)，得到，從而得到點的軌跡和軌跡方程.
【小問1詳解】
因為橢圓左、右焦點分別為，，所以，又因為橢圓C的離心率為，
得，所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
由，得直線斜率為，中點坐標為，
所以線段的垂直平分線方程為，
聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程
得，，
，所以直線與橢圓相切，
線段的垂直平分線與C恰有一個公共點；
【小問3詳解】
解法一：設，
當時，的垂直平分線方程為，
此時或；
當時，的垂直平分線方程為，
聯(lián)立，
得，
即
因為線段的垂直平分線與C恰有一個公共點，
故，
即，
則，
即，
，
即，
，
而，也滿足該式，
故點的軌跡是圓，該圓的方程為，即.
解法二：設線段的垂直平分線與C恰有一個公共點為P，
則當點P不在長軸時，線段的垂直平分線即為點P處的切線，
也為的角平分線，

作的角平分線，根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)得，
，則，
故，
所以三點共線，所以，
所以點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，
當P在橢圓長軸上時，M點或也滿足，
故點的軌跡是圓，該圓的方程為.
【點睛】方法點睛：判斷直線與橢圓公共點的個數(shù)問題的方法是：
(1)首先根據(jù)題意得到直線和橢圓方程；
(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；
(3)計算，根據(jù)，判斷直線與橢圓公共點的個數(shù).
19. 在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動點.
（1）設，三棱錐的各個頂點都在球O的球面上．
（i）證明：平面平面；
（ii）求球O的半徑
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）球O的半徑為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由題設求證，即可由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得證；（ii）建立以A為原點空間直角坐標系，設球心，半徑，由列方程組即可計算求解.
（2）過P作于G，在平面中，過G作，設，，以G為原點建立空間直角坐標系，求平面和平面的一個法向量，由空間向量夾角公式，通過換元結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即得.
【小問1詳解】
在中，由，得，
所以，且，即，
（i）證明：因為，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A為原點，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，
則，設球心，半徑，
則，
所以，
解得，所以球O的半徑為；
【小問2詳解】
在平面中，過P作于G，在平面中，過G作，
則由（1），
設，以G為原點，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面和平面的一個法向量分別為，，
則，，
所以，，
取，，則，，
所以，
令，則,由得，則，
則
，
當且僅當即，時等號成立，
所以二面角的余弦值的最小值為.
【點睛】方法點睛：求空間二面角常用方法：
（1）定義法：根據(jù)定義作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的兩條交線所成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐標法：作空間直角坐標系，求出二面角的法向量，由空間向量的夾角公式計算即可；
（4）射影面積法：求出斜面面積和它在有關平面的射影的面積，再由射影面積公式計算求解.

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多