20251月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（八省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的運(yùn)算求解即可；
【詳解】由題意可得.
故選：C.
2. 函數(shù)的最小正周期是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.
【詳解】依題意，的最小正周期.
故選：D
3 （）
A. 2B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的概念直接求解.
【詳解】由題意：.
故選：C
4. 已知向量，則（）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】，，
，
.
故選：B.
5. 雙曲線的漸近線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合漸近線方程，可得答案.
【詳解】由方程，則，所以漸近線.
故選：C.
6. 底面直徑和母線長(zhǎng)均為2的圓錐的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理先求出圓錐的高，進(jìn)而利用圓錐體積公式求解即可.
【詳解】由題可知圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，高，
∴圓錐的體積為.
故選：A.
7. 在中，，則的面積為（）
A. 6B. 8C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)余弦定理求出邊的長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式求出三角形面積即可.
詳解】設(shè)，根據(jù)余弦定理，
已知，，，代入可得：
，即，解得，
由于，則為直角三角形，
則.
故選：C.
8. 已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分類討論，去掉絕對(duì)值，結(jié)合一元二次不等式的求解即可得解.
【詳解】當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以，不滿足當(dāng)時(shí)，，故不符合題意；
當(dāng)，時(shí)，，解得，
由于時(shí)，，故，解得；
當(dāng)，時(shí)，恒成立，符合題意；
當(dāng)，時(shí)，，解得，
由于時(shí)，，故，解得.
綜上.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是對(duì)分類討論，結(jié)合因式分解方法有針對(duì)性求解時(shí)的的解集，從而可求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（）
A.
B.
C. 以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切
D. 當(dāng)時(shí)，的面積為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出判斷A，根據(jù)拋物線定義判斷B，C，應(yīng)用已知聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算判斷三角形的面積判斷D.
【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€的焦點(diǎn)，所以，即得，A選項(xiàng)正確；
設(shè)在上，所以，
所以，B選項(xiàng)正確；
因?yàn)橐訫為圓心且過F的圓半徑為等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí),
，且，，
所以,或舍
所以的面積為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10. 在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個(gè)神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵(lì)函數(shù)．雙曲正切函數(shù)是一種激勵(lì)函數(shù)．定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)．則（）
A. 雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B. 雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)
C. 雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A、B：借助導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)后即可得；對(duì)C：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)將雙曲正切函數(shù)化簡(jiǎn)后，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得；對(duì)D：借助雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，分別將等式左右兩邊化簡(jiǎn)即可得.
【詳解】對(duì)A：令，
則恒成立，故雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)，故A正確；
對(duì)B：令，
則，由A知，為增函數(shù)，又，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：，
由在上單調(diào)遞增，且，
故是增函數(shù)，故C正確；
對(duì)D：由C知，則，
，
故，故D正確.
故選：ACD.
11. 下面四個(gè)繩結(jié)中，不能無損傷地變?yōu)閳D中的繩結(jié)的有（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)A，原圖中的圓環(huán)無法解開，對(duì)BC轉(zhuǎn)化為三葉結(jié)問題即可；對(duì)D通過繩數(shù)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：原圖中的圓環(huán)不可解開，則無法無損變?yōu)橐粋€(gè)圓，無法得到A選項(xiàng)；
對(duì)于D選項(xiàng)：為三個(gè)圓，不是一根繩，無法得到D選項(xiàng)；
對(duì)于B,C選項(xiàng)：根據(jù)左手三葉結(jié)和右手三葉結(jié)不能無損轉(zhuǎn)換，而BC情形為三葉結(jié)變體，則BC至少有一個(gè)無法無損傷得到，
兩者為手性，即鏡像（即只能在鏡子中相互重疊），再通過考場(chǎng)身邊道具（如鞋帶，頭發(fā)）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可知：可以得到C選項(xiàng)，無法得到B選項(xiàng).
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函，若，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求得答案.
【詳解】由，可得，
即，也即，
且，，
兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得.
故答案為：.
13. 有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為____________．
【答案】
【解析】
【分析】先寫出基本事件總數(shù)，再求出所有卡片上的數(shù)字之和，得到抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為，列舉出和為的3張卡片即可求解.
【詳解】從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為，
因?yàn)椋?br>所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，
則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為，
則抽出3張卡片上的數(shù)字的組合有或或共3種，
所以符合抽出的3張卡片上的數(shù)字之和為的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共3個(gè)，
所以抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為.
故答案為：.
14. 已知曲線，兩條直線、均過坐標(biāo)原點(diǎn)O，和交于M、N兩點(diǎn)，和交于P、Q兩點(diǎn)，若三角形的面積為，則三角形的面積為____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)稱性，結(jié)合圖象來求得正確答案.
【詳解】由于和都符合，
所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
由此畫出曲線大致圖象如下圖所示，
兩條直線、均過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以M、N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P、Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)位置如圖，
可知，，
所以，所以，
而和等底等高，面積相同，所以，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用曲線對(duì)稱性：充分利用曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，確定點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，這是解決本題的基礎(chǔ).通過對(duì)稱關(guān)系，能夠推導(dǎo)出相關(guān)線段和三角形之間的等量關(guān)系，為后續(xù)的面積計(jì)算提供依據(jù).
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15. 為考察某種藥物對(duì)預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行了動(dòng)物（單位：只）試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：
（1）求，；
（2）記未服用藥物的動(dòng)物患疾病的概率為，給出的估計(jì)值；
藥物
疾病
合計(jì)
未患病
患病
未服用
100
80
服用
150
70
220
合計(jì)
250
400
（3）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效?
附：，
【答案】（1），
（2）
（3）能認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求和即可；
（2）用頻率估計(jì)概率，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)公式計(jì)算，然后根據(jù)臨界值表分析判斷即可.
【小問1詳解】
由列聯(lián)表知，；
【小問2詳解】
由列聯(lián)表知，未服用藥物的動(dòng)物有（只），
未服用藥物且患疾病的動(dòng)物有（只），
所以未服用藥物的動(dòng)物患疾病的頻率為，
所以未服用藥物的動(dòng)物患疾病的概率的估計(jì)值為；
【小問3詳解】
零假設(shè)為：藥物對(duì)預(yù)防疾病無效，
由列聯(lián)表得到，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為藥物對(duì)預(yù)防疾病有效.
16. 已知數(shù)列中，
（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式；
（3）令，證明:．
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求即得；
（3）將（2）中得到的的通項(xiàng)代入求得，化簡(jiǎn)后利用數(shù)列的單調(diào)性即可得證.
【小問1詳解】
由得，
則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）得,
解得：.
【小問3詳解】
令，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則
所以數(shù)列在上單調(diào)遞減，從而數(shù)列在上單調(diào)遞增，且，
故得.
17. 已知函數(shù).
（1）設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；
（2）若是的極小值點(diǎn)，求b的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由切線斜率為2，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)可得切線過點(diǎn)，然后可得切線方程；
（2）由是的極小值點(diǎn)，可得，然后據(jù)此討論的單調(diào)性，分析得在時(shí)的極值情況，從而得解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，其中，
則，令，
化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去），
又此時(shí)，則切線方程過點(diǎn)，結(jié)合切線方程斜率為2，
則切線方程為，即.
【小問2詳解】
由題可得定義域?yàn)?，?br>因是的極小值點(diǎn)，則，
則，
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極大值點(diǎn)，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極大值點(diǎn)，不滿足題意；
若，則，在上單調(diào)遞減，無極值，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
得是的極小值點(diǎn)，滿足題意；
綜上，是的極小值點(diǎn)時(shí)，.
18. 已知橢圓C的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，
（1）求C的方程；
（2）已知點(diǎn)，證明：線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）設(shè)M是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，證明M的軌跡為圓，并求該圓的方程．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為
【解析】
【分析】(1)根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)得，離心率為，得，從而求出，得出橢圓方程；
(2)寫出中垂線方程，聯(lián)立橢圓方程，判別式等于零，即可證明恰一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)解法一：利用設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程的方法，根據(jù)判別式等于0，即可求解.
解法二：利用橢圓定義和線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，得到，從而得到點(diǎn)的軌跡和軌跡方程.
【小問1詳解】
因?yàn)闄E圓左、右焦點(diǎn)分別為，，所以，又因?yàn)闄E圓C的離心率為，
得，所以橢圓方程為.
【小問2詳解】
由，得直線斜率為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的垂直平分線方程為，
聯(lián)立垂直平分線方程和橢圓方程
得，，
，所以直線與橢圓相切，
線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
【小問3詳解】
解法一：設(shè)，
當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為，
此時(shí)或；
當(dāng)時(shí)，的垂直平分線方程為，
聯(lián)立，
得，
即
因?yàn)榫€段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，
故，
即，
則，
即，
，
即，
，
而，也滿足該式，
故點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為，即.
解法二：設(shè)線段的垂直平分線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)為P，
則當(dāng)點(diǎn)P不在長(zhǎng)軸時(shí)，線段的垂直平分線即為點(diǎn)P處的切線，
也為的角平分線，

作的角平分線，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)得，
，則，
故，
所以三點(diǎn)共線，所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，
當(dāng)P在橢圓長(zhǎng)軸上時(shí)，M點(diǎn)或也滿足，
故點(diǎn)的軌跡是圓，該圓的方程為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題的方法是：
(1)首先根據(jù)題意得到直線和橢圓方程；
(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，消元得到一元二次方程；
(3)計(jì)算，根據(jù)，判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
19. 在平面四邊形中，，，將沿AC翻折至，其中P為動(dòng)點(diǎn).
（1）設(shè)，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．
（i）證明：平面平面；
（ii）求球O的半徑
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）證明見解析；（ii）球O的半徑為；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由題設(shè)求證，即可由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得證；（ii）建立以A為原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心，半徑，由列方程組即可計(jì)算求解.
（2）過P作于G，在平面中，過G作，設(shè)，，以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的一個(gè)法向量，由空間向量夾角公式，通過換元結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即得.
【小問1詳解】
在中，由，得，
所以，且，即，
（i）證明：因?yàn)?，，，平面?br>所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A為原點(diǎn)，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)球心，半徑，
則，
所以，
解得，所以球O的半徑為；
【小問2詳解】
在平面中，過P作于G，在平面中，過G作，
則由（1），
設(shè)，以G為原點(diǎn)，分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，，
則，，
所以，，
取，，則，，
所以，
令，則,由得，則，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，
所以二面角的余弦值的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間二面角常用方法：
（1）定義法：根據(jù)定義作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個(gè)面的兩條交線所成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐標(biāo)法：作空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的法向量，由空間向量的夾角公式計(jì)算即可；
（4）射影面積法：求出斜面面積和它在有關(guān)平面的射影的面積，再由射影面積公式計(jì)算求解.

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