1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．已知命題p：“”，命題q：“直線與直線垂直”，則命題p是命題q的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要
3．圓的圓心坐標和半徑分別是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運行軌道近似可看作以地心為一個焦點且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為的球體，近地點離地面的距離為，則遠地點離地面的距離為（ ）
A．B．C．D．
6．若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點的圓與軸相切，則圓心的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦的中點，則橢圓的焦距為（ ）
A．B．C．D．
8．已知點為橢圓:的右焦點，點是橢圓上的動點，點是圓上的動點，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知曲線，則（ ）
A．當時，是圓
B．當時，是橢圓且一焦點為
C．當時，是橢圓且焦距為
D．當時，是焦點在軸上的橢圓
10．如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點，點是底面正方形ABCD內(nèi)的動點（包括邊界），則下列選項正確的是（ ）

A．存在點滿足
B．滿足的點的軌跡長度是
C．滿足平面的點的軌跡長度是
D．滿足的點的軌跡長度是
11．通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”．已知橢圓，，分別為左、右頂點，，分別為上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（ ）
A．B．
C．四邊形的內(nèi)切圓過焦點，D．軸，且
三、填空題（本大題共3小題）
12．圓與圓的公共弦所在直線的方程為 .
13．，，函數(shù)的最小值為 .
14．如圖，圓臺中，上、下底面半徑比為，為圓臺軸截面，母線與底面所成角為，上底面中的一條直徑滿足，則夾角余弦值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知空間三點，設(shè).
(1)求和的夾角的余弦值；
(2)若向量與互相垂直，求的值.
16． 在平面直角坐標系xOy中，已知的頂點，AB邊上中線CD所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為，求：
(1)頂點C的坐標；
(2)求的面積.
17．已知圓C：和定點，直線l：（）.
(1)當時，求直線l被圓C所截得的弦長；
(2)若直線l上存在點M，過點M作圓C的切線，切點為B，滿足，求m的取值范圍.
18．如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點.

(1)求證：平面.
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.
(3)若，線段上是否存在一點，使平面?若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.
19．已知橢圓：，A，分別為橢圓的左頂點和右焦點，過的直線交橢圓于點，若，且當直線軸時，．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，問是否為定值？并證明你的結(jié)論；
(3)記的面積為S，求S的最大值．
答案
1．【正確答案】D
【詳解】可變形為，，，選D
2．【正確答案】A
【詳解】若直線與直線垂直，
則，得，或，
所以命題p是命題q的充分不必要條件，
故選：A
3．【正確答案】D
【分析】把圓的方程化為標準方程即可求解
【詳解】由可得
，
所以圓心坐標和半徑分別是，
故選：D
4．【正確答案】B
【詳解】取為空間向量的基底，因為，，，
所以，.
因為，
所以，
所以.
故選：B
5．【正確答案】A
【詳解】由題意，不妨以橢圓中心為坐標原點，建立如圖所示坐標系，
則橢圓方程為，
則，且，
解得，，
故該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為
，
又，所以.
故選：A
6．【正確答案】D
【詳解】圓，即，圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
由圓與圓關(guān)于直線對稱，
可知兩圓半徑相等且兩圓圓心連線的中點在直線上，所以，解得，
經(jīng)檢驗，滿足題意，則點的坐標為，
設(shè)圓心為坐標為，則，整理得，
即圓心的軌跡方程為.
故選：D.
7．【正確答案】B
【分析】運用點差法求得m的值，進而可求得橢圓的焦距.
【詳解】如圖所示，
依題意，直線的斜率為，設(shè)，
則，且 ，
由 兩式相減得：，
于是，解得，
此時橢圓，顯然點在橢圓內(nèi)，符合要求，
所以橢圓的焦距為.
故選：B.
8．【正確答案】B
【詳解】如下圖所示：
在橢圓中，，
則，
圓的圓心，半徑，
圓心為橢圓的左焦點，由橢圓定義可得，
，
由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，
由圓的幾何性質(zhì)可得，
所以，
所以的最小值是.
故選：C.
9．【正確答案】AC
【詳解】對于A項，當時，曲線C可化為是圓，A正確；
對于B項，當時，曲線C可化為是焦點在軸上的橢圓，B錯誤；
對于C項，當時，曲線是橢圓，且，所以，故C正確；
對于D項，當時，曲線不是橢圓，故D錯誤.
故選：AC.
10．【正確答案】ACD
【詳解】

如圖建立空間直角坐標系，則有A2,0,0，，，，，，
對于A選項，若，則，且，，則，
即，故軌跡方程為，
當時，，點既在軌跡上也在底面內(nèi)，故存在這樣的點存在，故A正確.
對于B選項，，，
在底面內(nèi)軌跡的長度是以為圓心，1為半徑的圓周長的，
故長度為，B錯誤
對于C選項，，，設(shè)面的法向量n=x,y,z
故有，解得故
平面，，的軌跡方程為
，，在底面內(nèi)軌跡的長度為，C正確
對于D選項，，
，，的軌跡方程為
，，在底面內(nèi)軌跡的長度為，D正確
故選：ACD
11．【正確答案】BC
【詳解】由可知：，，，，，，
對于A，若，則，
所以，即，
所以，與已知不符，故A錯誤；
對于B，，，
所以，
因為，
所以，
所以，
所以，所以，故B正確；
對于C，四邊形的內(nèi)切圓過焦點，，
所以，
所以，
整理得，
所以，解得（舍去）或
所以，故C正確；
對于D，當軸，時，則，
，，
所以，所以，整理得，
所以，所以，與已知不符，故D錯誤.
故選：BC
12．【正確答案】
【分析】將兩圓方程作差，消去、項，可得出兩圓公共弦所在直線的方程.
【詳解】將兩圓方程作差可得，即.
因此，圓和圓的公共弦所在直線的方程為.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】設(shè)點，和直線，
，到的距離分別為，，易知，
如圖，

顯然.
故
14．【正確答案】0
【詳解】如圖，過點作直線，過點作直線與點
設(shè)
由題意可知：，∴
在圓臺中，
∴以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸如圖建立空間直角坐標系，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
設(shè)夾角為，則
故0.
15．【正確答案】(1)
(2)2或
【詳解】（1）由點，得，，
所以，
所以和夾角的余弦值為.
（2）由（1）可得，，
因為向量與互相垂直，則，
由整理可得，解得或，
所以的值為2或.
16．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)設(shè)出直線的方程，利用的坐標求得直線的方程，通過聯(lián)立的方程求得點的坐標.
（2）求得點坐標，然后求得到直線的距離，利用兩點間的距離公式求得，進而求得的面積.
【詳解】（1）∵，BH的方程為，
不妨設(shè)直線AC的方程為，
將代入得，解得，
∴直線AC的方程為，
聯(lián)立直線AC，CD的方程，即，
解得點C的坐標為；
（2）設(shè)，則，∵點在上，點在上，
所以，解得，
直線的方程為，
則到直線的距離為，
又，，則，
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）圓C：，圓心，半徑，
當時，直線l的方程為，
所以圓心C到直線l的距離，
故弦長為.

（2）設(shè)，則，
由，，得.
化簡得，
所以點M的軌跡是以為圓心，8為半徑的圓.
又因為點M在直線l：上，所以與圓D有公共點，
所以，
解得，
所以m的取值范圍是.

18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)或
(3)存在，
【詳解】（1）如圖所示：

連結(jié)交于點，
因為四邊形是正方形，
所以是的中點，
又因為是的中點，所以，
因為平面，平面，
所以平面.
（2）因為平面，平面，所以，
因為四邊形為正方形，所以，
又因為，平面，平面，
所以平面，
以點為坐標原點，過點作的平行線為軸，分別以、為軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)，則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，，，，
則，令，則，，
則，
設(shè)與平面所成角為，
，
解得或，
所以的長度或.
（3）存在，理由如下：
因為，結(jié)合（2），，，
所以，，，
令，
則，
所以，所以，
設(shè)平面法向量為n=x2,y2,z2，
則，令，則，，
所以，
因為平面，所以，
所以有，解得，所以，
因為，
所以.
19．【正確答案】(1)；
(2)為定值，證明見解析；
(3)
【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點為，，則，
由，得，
又當直線軸時，，的橫坐標為，將代入中，得，則，
聯(lián)立，解得，，，
所以橢圓的方程為
（2）證明如下：
顯然，直線不與軸垂直，可設(shè)的方程為，
聯(lián)立橢圓方程，消去并整理得，
又設(shè)，，由韋達定理得,
從而，
，
所以
即，故得證．
（3）由知，
所以
．
令，，則，設(shè)函數(shù)，
由對勾函數(shù)性質(zhì)易知在上為增函數(shù)，
得，即時，，
此時S取得最大值為．

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