一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知為單位向量，向量在向量上的投影向量是，且，則的值為（ ）
A．2B．0
C．D．
4．已知展開式各項系數(shù)之和為64，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．31B．30C．29D．28
5．在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為
A．30B．36C．60D．72
6．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象.若對任意的都有，則圖中的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知數(shù)列的通項公式，在其相鄰兩項，之間插入個，得到新的數(shù)列，記的前項和為，則使成立的的最小值為（ ）
A．28B．29C．30D．31
8．已知點、是橢圓的左、右焦點，點為橢圓上一點，點關(guān)于的角平分線的對稱點也在橢圓B上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知直線和圓相交于M，N兩點，則下列說法正確的是（ ）
A．直線過定點
B．的最小值為3
C．的最小值為
D．圓上到直線的距離為的點恰好有三個，則
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點，，，…，均在x軸正半軸上，點，，，…，均在y軸正半軸上．已知，，，…，，，，四邊形，，，…，均為長方形．當(dāng)時，記為第個倒“L”形，則（ ）

A．第10個倒“L”形的面積為100
B．長方形的面積為
C．點，，，…，均在曲線上
D．能被110整除
11．如圖，已知四面體的各條棱長均等于2，E，F(xiàn)分別是棱AD，的中點.G為平面上的一動點，則下列說法中正確的有（ ）
A．三棱錐體積為
B．線段的最小值為
C．當(dāng)G落在直線BD上時，異面直線與所成角的余弦值最大為
D．垂直于的一個面，截該四面體截得的截面面積最大為1
三、填空題（本大題共3小題）
12．無人酒店是利用人工智能與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)為客人提供自助入住等服務(wù)的新型酒店，勝在科技感與新奇感.去某地旅游的游客有無人酒店和常規(guī)酒店兩種選擇.某游客去該地旅游，第一天隨機選擇一種酒店入住，如果第一天入住無人酒店，那么第二天還入住無人酒店的概率為0.8；如果第一天入住常規(guī)酒店，那么第二天入住無人酒店的概率為0.6，則該游客第二天入住無人酒店的概率為 .
13．在中，，，，則的最大值為 .
14．已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)m，n均有，若，且時，，則關(guān)于x的不等式的解集為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，在三棱柱中，平面平面，為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值.
16．紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)（個）和平均溫度（℃）有關(guān).現(xiàn)收集了某地關(guān)于紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度的7組數(shù)據(jù)，得到如下散點圖.
(1)根據(jù)散點圖，判斷模型與（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)與平均溫度的回歸分析模型；（給出判斷即可，不必說明理由）
(2)由（1）的判斷結(jié)果，求出關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程；
(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在以下的年數(shù)占，對柚子的產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在至的年數(shù)占，柚子的產(chǎn)量會下降；平均氣溫在以上的年數(shù)占，柚子的產(chǎn)量會下降.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出多種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價格不變且無蟲害的情況下，某果園的年產(chǎn)值為萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益=年產(chǎn)值一防害費用）為目標(biāo)，請為果農(nóng)從以下個方案中選擇最佳防害方案，并說明理由.
方案1：選擇防害措施，可以防治各種氣溫的紅蜘蛛蟲害且不減產(chǎn)，費用是18萬元；
方案2：選擇防害措施，可以防治至的紅蜘蛛蟲害，但無法防治以上的紅蜘蛛蟲害，費用是萬元；
方案3：不采取防蟲害措施.
附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，
17．在數(shù)列{an}中，已知，.
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記，且數(shù)列{bn}的前項和為，若為數(shù)列中的最小項，求的取值范圍.
18．已知拋物線，頂點為O，過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點.
(1)若，求線段中點到y(tǒng)軸的距離；
(2)設(shè)點G是線段上的動點，頂點O關(guān)于點G的對稱點為C，求四邊形面積的最小值；
(3)設(shè)D為拋物線上的一點，過點D作直線，分別交拋物線于M，N兩點，作直線，分別交拋物線于P，Q兩點，且，，設(shè)線段與線段的交點為T，求直線斜率的取值范圍.
19．函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若直線是函數(shù)圖象的切線，求的最小值；
（3）當(dāng)時，若與的圖象有兩個交點，，試比較與的大?。ㄈ?.8，取為0.7，取為1.4）
答案
1．【正確答案】B
【詳解】解：由，可得，
所以；
由，可得，解得，
所以；
所以.
故選：B.
2．【正確答案】C
【詳解】由題可得，
所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，
所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.
故選：C.
3．【正確答案】C
【詳解】由題意得，，則.
∵，
∴，即，
∴，解得.
故選：C.
4．【正確答案】C
【詳解】中令得，解得，
展開式通項公式為，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故展開式中的系數(shù)為.
故選：C
5．【正確答案】C
【詳解】記事件位男生連著出場，即將位男生捆綁，與其他位女生形成個元素，所以，事件的排法種數(shù)為，
記事件女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件的排法種數(shù)為，
事件女生甲排在第一位，且位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將位男生與其他個女生形成三個元素，所以，事件的排法種數(shù)為種，
因此，出場順序的排法種數(shù)
種，故選C．
6．【正確答案】A
【詳解】解：由，得.
的圖象上的所有點向左平移個單位長度后得的圖象，
由題意知為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點對稱，得函數(shù)的圖象過點.
設(shè)的最小正周期為，則，所以，故.
又，，且，可得，
所以，.
故選：A.
7．【正確答案】B
【詳解】由題意，數(shù)列元素依次為，，
在到之間3的個數(shù)為，故到處共有35個元素，
所以前30項中含，，及26個3，
故，
而，
故成立的最小的為29.
故選：B
8．【正確答案】B
【詳解】由題意可作圖如下：
由圖可知：，
由平分，則，所以，
由，則解得，
由是關(guān)于直線的對稱點，則共線，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化簡可得：，
所以其離心率.
故選：B.
9．【正確答案】AC
【詳解】對于A，直線，即，
由解得，所以定點坐標(biāo)為，A正確，
對于B，圓的圓心為，半徑為，
點與圓心的距離為，
所以MN的最小值為，B錯誤，
對于C，設(shè)，則，
當(dāng)，即直線方程為時，
取得最小值為，所以C正確，
對于D，若圓上到直線的距離為的點恰好有三個，
則圓心到直線的距離為，
所以，
整理得，所以D錯誤.
故選：AC
10．【正確答案】BCD
【分析】先求得的坐標(biāo)，然后求長方形的面積，由此對選項進行分析，從而確定答案.
【詳解】易知，
所以，故C正確；
所以，故B正確；
第10個倒“L”形的面積為，故A錯誤；
因為，
所以，故D正確.
故選BCD.
【方法總結(jié)】解新定義題型的步驟：
(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.
(2)重視“舉例”，利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.
(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.
11．【正確答案】BCD
【詳解】對于A，如圖，作平面，垂足為，因為四面體為正四面體，則為三角形的中心，
則，所以，
即正四面體的高為，
點到平面的距離為點平面的距離的一半，即，
所以，故A錯誤；
對于B，如圖，作點關(guān)于平面的對稱點，連接交平面于點，過點作平面的垂線交平面于點，
作，因為平面，所以點，
則，，，
所以，故B正確；
對于C，當(dāng)落在直線上時，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，即，
所以，所以，即異面直線與所成角余弦最大為，故C正確；
對于D，如圖，連接，因為是的中點，所以，同理，
設(shè)平面交正四面體的棱于點，棱于點，棱于點，棱于點，
所以，，，，所以，，
又，，是平面內(nèi)的相交直線，則平面，
所以，則，即四邊形為矩形，
即平面截正四面體的截面為矩形.
設(shè)，即，，即，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以平面截該四面體截得的截面面積最大為1，故D正確.
故選：BCD.
12．【正確答案】0.7/
【詳解】設(shè)第一天入住無人酒店為事件，第一天入住常規(guī)酒店為事件，第二天入住無人酒店為事件B，
則由題意可得，
所以由全概率公式可得該游客第二天入住無人酒店的概率為.
故0.7.
13．【正確答案】
【詳解】由題可得，
如圖，以所在直線為x軸，的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，因為，所以的外接圓半徑為，
又因為，
所以點C是以為圓心，半徑為的圓上的點，
所以的最大值為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】因為，
所以對任意實數(shù)x，，則，
假設(shè)存在使得，
則對任意實數(shù)x有，
此時為常數(shù)函數(shù)，與矛盾，故不存在使得，
所以即恒成立.
令，則，
因為，所以即.
又由可得，
任取，則，所以由題意，
所以
，
所以，所以為R上的增函數(shù)，
因為，所以，
所以，
所以等價于，
令，則有即，
所以，解得或，即或，
又為R上的增函數(shù)，，，
所以或.
所以關(guān)于x的不等式的解集為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：因為為的中點，且，
所以在中，有，且，
又平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，則，
由，得，
因為，
所以由勾股定理，得，
又平面，
所以平面.
（2）如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，
可得，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
由，令，得，所以.
由（1）知，平面，
所以平面的一個法向量為，
記平面與平面的夾角為
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
16．【正確答案】(1)更適合；
(2)；
(3)所以方案1為最佳防害方案，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)散點圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型；
（2）將兩邊同時取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；
（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).
【詳解】（1）由散點圖可以判斷,更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y與平均溫度x的回歸分析模型.
（2）對兩邊同時取對數(shù)，可得，
令，
由題可得，
，
所以，
則，
所以，則，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為.
（3）分別用，，表示3種方案的收益，
若采用方案1，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，則收益萬元；
若采用方案2，當(dāng)不發(fā)生以上的紅蜘蛛蟲害時，收益為萬元；
當(dāng)發(fā)生以上的紅蜘蛛蟲害時，收益為萬元，
所以：
同理，若采用方案3，
所以，
，
，
則，
所以方案1為最佳防害方案.
17．【正確答案】（1）；（2）.
(1)已知數(shù)列的遞推公式，用累加法求通項即可;
(2)由(1)可得，則，化簡得到對任意恒成立，分類分別求出當(dāng)時的取值范圍，再證明出時為遞增數(shù)列，即，綜合求出的取值范圍.
【詳解】解：(1)，
，
，
……
，
上式累加可得:，
，
又，∴;
(2)由(1)可得，
∴，
因為為數(shù)列中的最小項，
所以，
即，
當(dāng)時，得，∴;
當(dāng)時，;
當(dāng)時，得，∴，
令，
則，
當(dāng)時，，，
∴，
又可驗證當(dāng)時，也成立，
∴當(dāng)時，數(shù)列為遞增數(shù)列，
∴，即.
綜上所述，的取值范圍為.
18．【正確答案】(1)3；
(2)4；
(3).
【詳解】（1）因為過焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則由拋物線的性質(zhì)可得，
又由題，所以，
所以線段中點的橫坐標(biāo)即為線段中點到軸的距離為.
（2）因為頂點O關(guān)于點G的對稱點為C，所以O(shè)和C到直線l的距離相等，
所以，
由題意可知直線l斜率存在時不為0，焦點F1,0，所以可設(shè)直線l方程為，
聯(lián)立，則，
所以，
所以當(dāng)時，四邊形面積取得最小值為4.
（3）由題可設(shè)，，且直線的斜率存在且不為0，
所以可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，所以，
所以，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，所以，
所以，
若，
所以即，所以直線斜率不為0，
當(dāng)直線斜率存在時，直線的方程為，
所以
，
所以直線恒過定點，即，
所以直線的斜率為，
所以當(dāng)時；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
綜上，當(dāng)直線斜率存在時，直線斜率的取值范圍為.
當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè) ，則，
所以，
解得，所以直線的方程為
所以直線恒過定點.
綜上所述，直線斜率的取值范圍為.
19．【正確答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】解：（1）：，
則，
在0,+∞上單調(diào)遞增，
對，都有，
即對，都有，
，，
故實數(shù)的取值范圍是；
（2），
設(shè)切點，則切線方程為，
即，
即，
令，由題意得，，
令，則，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
，故的最小值為；
（3）由題意知，，
兩式相加得，
兩式相減得，即
，
即，
不妨令，記，
令，則，
在上單調(diào)遞增，則，
，則，
，
，
，即，
令，則時，，
在0,+∞上單調(diào)遞增，
又，
，
則，即．lny
5215
17713
714
27
81.3
3.6

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