一、選擇題
1．已知集合,,求( )
A.B.C.D.
2．方程的正數(shù)解所在的區(qū)間是( )
A.B.C.D.
3．衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間會揮發(fā),使得體積縮小,剛放進(jìn)的新丸體積為a,經(jīng)過t天后,體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為.已知新丸經(jīng)過25天后,體積變?yōu)?則新丸經(jīng)過75天,體積變?yōu)? )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù),且,則( )
A.B.5C.D.1
5．某地一年之內(nèi)12個(gè)月的降水量分別為,,,,,,,,,,,.則該地區(qū)的降水量的分位數(shù)和分位數(shù)分別為( )
A.,B.,C.,D.,
6．設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c分別滿足,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.B.
C.D.
7．已知一個(gè)樣本容量為10的樣本平均數(shù)為5,方差為1.6.現(xiàn)將樣本中的3個(gè)數(shù)據(jù)4,5,6去掉,則去掉后剩余樣本容量為7的樣本平均數(shù)和是( )
A.5,1B.5,2C.5,3D.4,3
8．已知函數(shù),且,,時(shí),都有恒成立,則a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列命題正確的是( )
A.“”是“”的必要不充分條件
B.冪函數(shù)是奇函數(shù)
C.函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)至多有1個(gè)
D.函數(shù)的最小值是2
10．下列命題不正確的是( )
A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
B.若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是
C.若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是
D.若是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是
11．已知定義在上的函數(shù)滿足對,,都有,且.當(dāng)時(shí),都有成立,則下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)是奇函數(shù)
B.
C.不等式的解集是
D.
三、填空題
12．________________.
13．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足,且存在這樣的x,y使不等式成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍_______________.
四、雙空題
14．已知函數(shù).若函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________,4個(gè)零點(diǎn)之和的取值范圍是______________.
五、解答題
15．已知集合,.
(1)求能使成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求能使命題“”為假命題的實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16．隨著城鎮(zhèn)化不斷發(fā)展,老舊小區(qū)改造及管理已經(jīng)引起政府部門的高度重視,為了解某小區(qū)業(yè)主對小區(qū)物業(yè)服務(wù)的滿意程度,現(xiàn)從該小區(qū)隨機(jī)抽查了n戶業(yè)主,根據(jù)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意度評分,將評分分成六段：,,,得到如下頻率分布直方圖.已知評分在之間的有5戶.
(1)求n和a的值;
(2)從中按分層抽樣的方法抽取26人成立物業(yè)服務(wù)監(jiān)督小組,則從,,,中分別抽取幾人？
(3)估計(jì)滿意度評分的平均數(shù)和中位數(shù).
17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義法證明;
(3)解關(guān)于的不等式.
18．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)若,使得成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
19．對于定義在R上的函數(shù),若其在區(qū)間上存在最小值m和最大值M,且滿足,則稱是區(qū)間上的“聚焦函數(shù)”.現(xiàn)已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值和最小值,并判斷是否是上的“聚焦函數(shù)”;
(2)若函數(shù)是上的“聚焦函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知,若函數(shù)是上的“聚焦函數(shù)”,求的最大值.
參考答案
1．答案：D
解析：,或,
則.
故選：D.
2．答案：B
解析：因?yàn)榈慕饧礊榍€與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
作出函數(shù),的圖象：
設(shè),
則,,,,,
則,
則函數(shù)的零點(diǎn)存在區(qū)間是.
故選：B.
3．答案：C
解析：分別設(shè)和時(shí)的體積為,,則,即.
又當(dāng)時(shí).
故選：C.
4．答案：C
解析：由題意,,即,
所以.
故選：C.
5．答案：A
解析：先將數(shù)據(jù)從小到大排列：,,,,,,,,,,,.
由,可知分位數(shù)是53;
由,可知分位數(shù)是.
故選：A.
6．答案：B
解析：令函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
,而,則;
令函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
,
,而,因此;
令函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞增,
,而,因此,
所以a,b,c的大小關(guān)系為.
故選：B
7．答案：B
解析：由均值得.
方差
得.
設(shè).則
,
故選：B.
8．答案：D
解析：,,時(shí),都有恒成立.
則不妨設(shè),則.
設(shè)函數(shù),則,且,即,
則函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,符合題意.
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,不合題意舍去.
(3)當(dāng)時(shí),若使函數(shù)在上單調(diào)遞減,只需即,.
綜上所述,.
故選：D.
9．答案：AC
解析：A中,若,則,“”不是“”的充分條件,,“”是“”的必要條件,因此A正確;
B中,冪函數(shù),則,即,所以是偶函數(shù),因此B錯(cuò)誤;
C中,函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn),若函數(shù)定義域內(nèi)有0,則與y軸的交點(diǎn)為1個(gè),若函數(shù)定義域內(nèi)沒有0,則與y軸的交點(diǎn)為0個(gè),C正確;
D中,函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)即取等號,最小值取不到2,因此D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：ACD
解析：A：函數(shù)為對勾函數(shù),該函數(shù)遞減區(qū)間是和,
單調(diào)區(qū)間之間不能用并集符號,因此A錯(cuò)誤;
B：,
則函數(shù)在遞增時(shí)只需即,因此B正確;
C：在區(qū)間上單調(diào)遞減,
則,即,因此C錯(cuò)誤;
D：是R上的增函數(shù),
則當(dāng)時(shí),,
由于,此時(shí)不滿足在R上為增函數(shù);
當(dāng)即時(shí),此時(shí)表示開口向上的拋物線,
在時(shí)不可能單調(diào)遞增,此時(shí)不滿足題意,
當(dāng)即時(shí),需滿足,則,此時(shí)滿足題意,D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
11．答案：BD
解析：A：令,則,即;
令,則,則;
令,則,所以函數(shù)是偶函數(shù),故A錯(cuò)誤;
B：任取,且,則,
則,,
,,
在上單調(diào)遞增,又因函數(shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)遞減;
因?yàn)?又,所以,
又函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,故B正確;
C：因?yàn)?所以;
則不等式等價(jià)于,又函數(shù)是偶函數(shù),
則且,,
解得且,故C錯(cuò)誤;
D：令,則,則.
則
,故D正確;
故選：BD.
12．答案：
解析：
.
故答案為：.
13．答案：
解析：,,
則有,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
存在這樣的x,y使不等式成立,
,解得或.
故答案為：
14．答案：;
解析：由題意,,則函數(shù)的大致圖象如下：
由函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn),
得函數(shù)的圖象與直線有4個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示,
則,解得.
設(shè)函數(shù)的四個(gè)零點(diǎn)從小到大依次為,,,,
由,得,即,解得,
由二次函數(shù)的對稱性可知,
由圖可知,又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增,
所以,
因此,.
故答案為：;.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得,即,
解得或,則或;
由可知,
當(dāng)時(shí),,解得;
當(dāng)時(shí),有或,解得;
綜上所述,,即a的取值范圍是.
(2)因?yàn)槊}“”為假命題,所以.
先假設(shè),
當(dāng)時(shí),,即時(shí),滿足;
當(dāng)時(shí),有,此時(shí)無解,故不符合題意;
綜上所述,若,則,則時(shí),,
因此,a的取值范圍是.
16．答案：(1),
(2)2人,4人,8人,12人
(3)平均數(shù)74,中位數(shù)為75
解析：(1)由題意可知
,
(2)由題意可知,,,,抽取比例為.
則若抽取26人,則中抽取2人,中抽取4人,中抽取8人,中抽取12人.
(3)平均數(shù)：
中位數(shù)：
17．答案：(1),
(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明見解析
(3)
解析：(1)由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),
可知,即,則.
由,解得,
則滿足題意,故,;
(2)由(1)可得,此時(shí)為奇函數(shù),滿足題意.
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明如下：
任取,,且,
則
因?yàn)?所以,,
所以,即,
因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(3)由題意,函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),
則由,得,
即,
又函數(shù)是定義在區(qū)間上的單調(diào)遞增函數(shù),
所以,解得.
則關(guān)于m的不等式的解集為.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1),當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號.
函數(shù)的值域是.
(2)由題意可知函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集,
設(shè),當(dāng)時(shí),.
則.
即函數(shù)在上的值域是.
,
設(shè),當(dāng)時(shí),,
,
①當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?不合題意舍去.
②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
且,,,
所以函數(shù)即函數(shù)的值域,
所以,無解.
③當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
且,,,
所以函數(shù)即函數(shù)的值域,
所以,解得.
綜上所述,m的取值范圍是.
19．答案：(1)最大值為,最小值為,函數(shù)是“聚焦函數(shù)”
(2)
(3)4
解析：(1)當(dāng)時(shí),
則,.
因?yàn)?
所以函數(shù)是“聚焦函數(shù)”.
(2)①當(dāng)即時(shí),
.
此時(shí).
②當(dāng)即時(shí),
,.
此時(shí).
③當(dāng)即時(shí),
.
此時(shí).
④當(dāng)即時(shí),
,.
此時(shí).
綜上所述,a的取值范圍是.
(3)由可得.
①當(dāng)即時(shí),.
,,.
②當(dāng)即時(shí),.
,,.
綜上所述,的最大值為4.當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí),
取得最大值4.

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