注意事項(xiàng)：
1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1.設(shè)全集，集合（ ）
A.B.
C.D.
2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.如圖，在正四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，設(shè)，則用表示為（ ）
A.B.
C.D.
4.已知某班級(jí)將學(xué)生分為4個(gè)不同的大組，每個(gè)大組均有14名學(xué)生，現(xiàn)從這個(gè)班級(jí)里抽取5名學(xué)生參加年級(jí)活動(dòng)，要求每個(gè)大組至少有1名同學(xué)參加，則不同的抽取結(jié)果共有（ ）
A.種B.種
C.種D.種
5.已知，則的最小值為（ ）
A.B.C.D.100
6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則下列選項(xiàng)一定正確的是（ ）
A.B.
C.D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
7.在銳角中，，則的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
8.在正四棱臺(tái)中，，且正四棱臺(tái)存在內(nèi)切球，則此正四棱臺(tái)外接球的表面積為（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分.
9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C.在上有最小值D.在上有兩個(gè)極值點(diǎn)
10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.的最小值為B.滿足的最小值是14
C.滿足的最大值是14D.數(shù)列的最小項(xiàng)為第8項(xiàng)
11.在棱長(zhǎng)為4的正方體中，為棱中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，為線段（含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，平面交于，則（ ）
A.三棱錐的體積為定值B.的最小值為
C.D.平面將正方體分成兩部分，這兩部分的體積之比為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知非零向量滿足：，且，則_____.
13.若，則_____.
14.已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且.記線段中點(diǎn)為，則的最大值為_(kāi)____.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）
已知函數(shù)在處的切線與直線平行，其中.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.
16.（15分）
某科技公司研發(fā)了一種新型的AI模型，用于圖像識(shí)別任務(wù).為了測(cè)試該模型的性能，對(duì)其進(jìn)行了500次試驗(yàn)，并記錄了每次試驗(yàn)中模型正確識(shí)別圖像的數(shù)量，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖.
（1）估計(jì)這500次試驗(yàn)中該AI模型正確識(shí)別圖像數(shù)量的均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;
（2）以頻率估計(jì)概率，隨機(jī)對(duì)該模型進(jìn)行3次試驗(yàn)，用表示這3次試驗(yàn)中正確識(shí)別圖像數(shù)量不少于20個(gè)的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
17.（15分）
在空間幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，其中.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線與雙曲線、圓相切，切點(diǎn)分別為，與漸近線相交于.兩點(diǎn).
（i）證明：為定值；
（ii）若.，求直線的方程.
19（17分）
集合為集合的子集，若數(shù)列滿足：恒為的倍數(shù)，則稱與“相關(guān)”.
（1）若，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)不同于數(shù)列且首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，使得與“相關(guān)”.（無(wú)需證明）;
（2）若數(shù)列滿足.
（i）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出;
（ii）若與"相關(guān)"，求所有滿足條件的集合.
數(shù)學(xué)試題答案與評(píng)分細(xì)則
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．
1．B ，，．
2．D
3．C
4．C 由題，其中1個(gè)大組抽取2名學(xué)生，剩下3個(gè)大組各抽取1名學(xué)生．不同的抽取結(jié)果共有．
5．B ，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，．
6．C ．
7．C 由余弦定理可知：，在銳角三角形中又有，即，解得．
8．A 作過(guò)內(nèi)切球切點(diǎn)的截面如下：
由圖可知，則，過(guò)作于．．即四棱臺(tái)的高為．
設(shè)上下底面的中心分別為．外接球球心為，半徑為．
則，解得．則外接球表面積為．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．
9．ABD，即，而，故．
對(duì)于選項(xiàng)A：最小正周期，正確．
對(duì)于選項(xiàng)B：時(shí)，為的對(duì)稱中心，正確．
對(duì)于選項(xiàng)C：時(shí)，，無(wú)最小值，錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)D：時(shí)，，結(jié)合的圖象可知，有兩個(gè)極值點(diǎn)，正確．
10．ABD由可知．
對(duì)于選項(xiàng)A：由為負(fù)，為正可知，最小，正確．
對(duì)于選項(xiàng)B：，則滿足的最小值為14，故B正確，C錯(cuò)誤．
對(duì)于選項(xiàng)D：由為負(fù)，為正，且為負(fù)，為正可知：為負(fù)．考慮到，故最大，即最小，正確．
11．AC 對(duì)于選項(xiàng)A：取中點(diǎn)，可證明四邊形為平行四邊形，則，即平面．則點(diǎn)到平面的距離恒為直線到平面的距離．而，則三棱錐的體積不變．正確．
對(duì)于選項(xiàng)B：連接，計(jì)算可知，作出平面三角形可知時(shí)，取得最小值．不正確．
對(duì)于選項(xiàng)C：由平面平面，而平面與兩個(gè)平面分別交于，則．作，則，則，．正確．
對(duì)于選項(xiàng)D：連接延長(zhǎng)至與交于，則截面為．連接．記幾何體的體積為．則
．則另一部分的體積．則．不正確．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．
．
．
解得，故．
13．240 對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，再令可得：
．
14．
，而為中點(diǎn)，故，因此：，設(shè)，則．
化簡(jiǎn)可得：．
故點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上．
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．
15．解：（1），
而，故．
（2），
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
，
的最大值為，最小值為．
16．解：（1），
故均值為29．
（2）設(shè)1次試驗(yàn)中正確識(shí)別圖像數(shù)量不少于20個(gè)的概率為，則，則
；
列的分布列如下：
17．解：在中，．
取中點(diǎn)，連接．
，四邊形為平行四邊形
又四邊形為菱形，
．
在中，．
．
平面．
（2）取中點(diǎn)，連接．
四邊形為菱形，．
．
由（1），平面．
兩兩垂直．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)平面的法向量
設(shè)平面的法向量
記二面角的平面角為，
二面角的正弦值為．
18．解：（1）由，
解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）①當(dāng)與軸垂直時(shí)，，解得．
②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)．
設(shè)與聯(lián)立可得：，
且有，故，
且．
將與聯(lián)立可得：．
，
而，故．
綜上所述，．
（3）由與圓相切可知：．
設(shè)直線為，與聯(lián)立解得．
由（1）可知，則．
而．
消去可得：，
故．
19．解：（1），（滿足要求即可）
（2）（ⅰ）．
是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
即．
兩邊同除以，有．而．
因此是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，不是9的倍數(shù)
當(dāng)時(shí)，
故只需為整數(shù)．
①時(shí)，，不是整數(shù)．
②時(shí)，，不是整數(shù)．
③時(shí)，．
而．
當(dāng)為偶數(shù)，，即．
此時(shí)．
當(dāng)為奇數(shù)，．
綜上，滿足條件集合是的子集．0
1
2
3
0.027
0.189
0.441
0.343

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