一、填空題（本大題共10小題）
1．等差數(shù)列中，，則 .
2．已知隨機變量，且，其中，則 .
3．在的二項展開式中，常數(shù)項的值為 .
4．以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學競賽的19人的成績：66，75，77，69，78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，82，98，83，90，91，則這19人成績的第80百分位數(shù)是 ．
5．已知與是獨立事件，，給出下列式子：①；②；③；④；
其中正確的式子是____________.（填序號）
6．對具有線性相關關系的變量，測得一組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回歸直線方程為，據(jù)此模型預測當時，的估計值為 .
7．第24屆冬季奧林匹克運動會計劃于2022年2月4日在北京開幕，北京冬奧會的順利舉辦將成為人類擺脫和超越疫情的標志性事件，展現(xiàn)人類向更美好的未來進發(fā)的期望和理想.組織方擬將4名志愿者全部分配到3個不同的奧運場館參加接待工作（每個場館至少分配一名志愿者)，不同的分配方案有 種.
8．隨機變量的分布為，若，則 .
9．我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”.已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，，，則數(shù)列所有項的和為 .
10．在棱長為的正方體中，點分別是線段（不包括端點）上的動點，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是 .
二、單選題（本大題共5小題）
11．某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
12．某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
13．下列說法正確的是（ ）
①必然事件的概率等于1； ②互斥事件一定是對立事件；
③球的體積與半徑的關系是正相關； ④汽車的重量和百公里耗油量成正相關.
A．①②B．①③C．①④D．③④
14．空氣質量指數(shù)是反映空氣質量狀況的指數(shù)，其對應關系如下表：
為監(jiān)測某化工廠排放廢氣對周邊空氣質量指數(shù)的影響，某科學興趣小組在工廠附近某處測得10月1日—20日的數(shù)據(jù)并繪成折線圖如下：
下列敘述正確的是（ ）
A．這20天中的中位數(shù)略大于150
B．10月4日到10月11日，空氣質量越來越好
C．這20天中的空氣質量為優(yōu)的天數(shù)占25%
D．10月上旬的極差大于中旬的極差
15．某地教育局為了解“雙減”政策的落實情況，在轄區(qū)內高三年級在校學生中抽取100名學生，調查他們課后完成作業(yè)的時間，根據(jù)調查結果繪制如下頻率直方圖.根據(jù)此頻率直方圖，下列結論中不正確的是（ ）
A．所抽取的學生中有25人在2小時至小時之間完成作業(yè)
B．該地高三年級學生完成作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為
C．估計該地高三年級學生的平均做作業(yè)的時間超過小時
D．估計該地高三年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間
三、解答題（本大題共4小題）
16．已知四棱錐的底面為正方形，且平面，為中點
(1)求證：面面
(2)求異面直線與所成角的大小
17．從甲地到乙地要經(jīng)過個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．
（）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和均值．
（）若有輛車獨立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個紅燈的概率．
18．2021年春節(jié)，由賈玲導演的春節(jié)檔電影《你好，李煥英》總票房突破了50億元，影片的感人情節(jié)引起同學們廣泛熱議．開學后，某中學團委在高二年級（其中男生200名，女生150名）中，對是否觀看該影片進行了問卷調查，各班男生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為A組，各班女生觀看人數(shù)統(tǒng)計記為B組，得到莖葉圖如下．
(1)根據(jù)莖葉圖補全2×2列聯(lián)表；
(2)判斷是否有95%的把握認為觀看該影片與性別有關．
參考臨界值表：
.
19．已知有窮數(shù)列的各項均不相等，將的項從大到小重新排序后相應的項數(shù)構成新數(shù)列，稱為的“序數(shù)列”.例如，數(shù)列??滿足，則其“序數(shù)列”為1?3?2，若兩個不同數(shù)列的“序數(shù)列”相同，則稱這兩個數(shù)列互為“保序數(shù)列”.
(1)若數(shù)列??的“序數(shù)列”為2?3?1，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若項數(shù)均為2021的數(shù)列?互為“保序數(shù)列”，其通項公式分別為，（t為常數(shù)），求實數(shù)t的取值范圍；
(3)設，其中p?q是實常數(shù)，且，記數(shù)列的前n項和為，若當正整數(shù)時，數(shù)列的前k項與數(shù)列的前k項（都按原來的順序）總是互為“保序數(shù)列”，求p?q滿足的條件.
答案
1．【正確答案】37
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質直接得出結果.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，，
所以.
故37
2．【正確答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結果.
【詳解】由正態(tài)分布曲線的對稱性可知：，
.
故答案為.
3．【正確答案】70
【分析】根據(jù)二項式開展式的通項公式計算，即可求解.
【詳解】由題意知，展開式的通項公式為，
令，得，
所以展開式的常數(shù)項為.
故70
4．【正確答案】
【分析】根據(jù)求百分位數(shù)的解題步驟，可得答案.
【詳解】由小到大排列，則66，69，70，72，75，77，78，79，80，81，82，83，84，86，88，90，91，94，98，
由，則第位的數(shù)字就是所求百分位數(shù)，即.
故答案為.
5．【正確答案】①②④
【分析】由事件間關系的概率公式計算即可判斷.
【詳解】因為與是獨立事件，則與也是獨立事件.
又，所以，
，故①正確；
，故②正確；
，故③錯誤；
，故④正確.
故①②④
6．【正確答案】211.5
【分析】線性回歸直線方程過樣本中心點()，求出，即可得回歸直線方程，當時，求解即可．
【詳解】樣本平均數(shù)，，回歸直線方程為，
則回歸直線方程為，
當時，．
故211.5．
7．【正確答案】36
【分析】把4名志愿者分為3組，選出2人作為一組，然后將3組全排列即可.
【詳解】首先把4名志愿者分為3組，則有一個組有2人，共有種分法，
再把分好的3組分到不同的3個場館，則有種分法，
所以共有種分法.
故36.
8．【正確答案】
【分析】根據(jù)數(shù)學期望的性質可求得，并結合概率和為構造方程組求得，利用方差計算公式可求得結果.
【詳解】，，
即，又，，，
.
故答案為.
9．【正確答案】384
【分析】由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質求出公比，進而求出數(shù)列的各項；結合等差數(shù)列的性質求出，全部相加即可求解.
【詳解】由題意知，在數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，
又，設等比數(shù)列的公比為，
所以，解得，
所以，由，得，
所以數(shù)列所有項之和為
.
故384
10．【正確答案】
【分析】由線面平行的性質定理知， ∽ ， ，
設，則 ， 到平面 的距離為 ，則 ,
所以，所以四面體 的體積為，
當 時，四面體 的體積取得最大值： ．
所以答案應填： ．
考點：1、柱、錐、臺體體積；2、點、線、面的位置關系．
【思路點睛】本題考查正方形中幾何體的體積的求法，找出所求四面體的底面面積和高是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題．由線面平行的性質定理知， ∽ ，設出，則 ， 到平面 的距離為 ，表示出四面體 的體積，通過二次函數(shù)的最值，求出四面體的體積的最大值．
11．【正確答案】D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結果共有種.
故選：D.
12．【正確答案】A
【詳解】試題分析：記“一天的空氣質量為優(yōu)良”，“第二天空氣質量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.
考點：條件概率．
13．【正確答案】C
【分析】
根據(jù)事件間的關系及相關關系對選項一一判斷即可.
【詳解】
互斥事件不一定是對立事件，②錯；
③中球的體積與半徑是函數(shù)關系，不是正相關關系，③錯；①④正確，
故選：C.
14．【正確答案】C
【分析】利用折線圖中數(shù)據(jù)信息以及變換趨勢，對選項一一分析判斷即可.
【詳解】對于A，由折線圖知100以上有10個，100以下有10個，中位數(shù)是100兩邊最近的兩個數(shù)的均值，觀察這兩個數(shù)，比100大的數(shù)離100遠點，因此兩者均值大于100但小于150，故A錯誤；
對于B，由折線圖知10月4日到10月11日，越來越大，則空氣質量越來越差，故B錯誤；
對于C，由折線圖知小于50的有5天，則20天中的空氣質量為優(yōu)的天數(shù)占25%，故C正確；
對于D，由折線圖知10月上旬的最小值與中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，則10月上旬的極差小于中旬的極差，故D錯誤；
故選：C.
15．【正確答案】D
【分析】
對A，利用直方圖中2小時至小時之間的頻率判斷A;
對B，計算超過3小時的頻率可判斷B;
對C，根據(jù)直方圖中平均數(shù)的公式計算，可判斷C;
對D，計算做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間的頻率，可判斷D.
【詳解】
對A，直方圖中2小時至小時之間的頻率為，故所抽取的學生中有25人在2小時至小時之間完成作業(yè)，故A正確；
對B，由直方圖得超過3小時的頻率為,所以B正確；
對C，直方圖可計算學生做作業(yè)的時間的平均數(shù)為：，所以C正確；
對D，做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間的頻率為，所以D錯誤.
故選:D．
16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定，結合題目條件，證明面即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式來解決.
【詳解】（1）
連接，交于點，根據(jù)正方形性質，對角線，又面，平面，
故，由，面，故面，而面，
根據(jù)面面垂直的判定，面面.
（2）由平面，平面，故，，由，
故下以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，正方形邊長為：，
則，，，，根據(jù)中點坐標公式：，
故，，故，
異面直線與所成角的范圍是，
故所成角的大小為.
17．【正確答案】(1)見解析；（2）.
【詳解】試題分析：表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù), 的所有可能取值為0,1,2,3.分別求出相應的概率值，列出隨機變量的分布列并計算數(shù)學期望，表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，這2輛車共遇到1個紅燈就是包括第一輛遇到1次紅燈且第2輛沒遇上和第一輛沒遇上紅燈且第2輛遇上1次紅燈兩個事件的概率的和.
試題解析：（Ⅰ）解：隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，隨機變量的分布列為
隨機變量的數(shù)學期望.（Ⅱ）解：設表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為
.
所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.
【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些？當隨機變量取這些值時所對應的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望.；列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題.
18．【正確答案】(1)詳見解析；
(2)有95%的把握認為觀看該影片與性別有關.
【分析】（1）根據(jù)條件可得列聯(lián)表；
（2）計算，進而即得.
【詳解】（1）根據(jù)莖葉圖可得男生觀看人數(shù)為，
女生觀看人數(shù)為，
所以可得列聯(lián)表：
（2）由題可得，
所以有95%的把握認為觀看該影片與性別有關．
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）由題意得出不等式即可求出；
（2）作差判斷增減，得出序數(shù)列即可求解；
（3）討論或，，，，根據(jù)數(shù)列的單調性結合題意可得.
【詳解】（1）由題意得，即，解得；
（2），
當時，，即，當時，，即，
故，
又，，，因此的序數(shù)列為，…，2021．
又因、互為“保序數(shù)列”，故，
只需滿足，解得：．
（3）① 當或時，數(shù)列中有相等的項，不滿足題意.
② 當時，數(shù)列單調遞增，故也應單調遞增，
從而對且恒成立.又數(shù)列單調遞增，故.
③ 當時，數(shù)列單調遞減，故也應單調遞減，
從而對且恒成立.
又數(shù)列單調遞減，故.
④ 當時，數(shù)列單調遞減，且；單調遞增，且，
于是對且恒成立，即，從而.
另一方面，對且恒成立，即，從而.
綜上，，即.
此時，，滿足題意.
綜上，當時，、滿足的條件是；
當時，、滿足的條件是；
當時，、滿足的條件是.2
4
5
6
8
20
40
60
70
80
指數(shù)值
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
空氣質量
優(yōu)
良
輕度污染
中度污染
重度污染
嚴重污染
觀看
沒觀看
合計
男生
200
女生
150
合計
350
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
觀看
沒觀看
合計
男生
140
60
200
女生
120
30
150
合計
260
90
350

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