一、單選題
1．記遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（ ）
A．B．125C．155D．185
2．已知有100個(gè)半徑互不相等的同心圓，其中最小圓的半徑為1，在每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，則這100個(gè)圓中最大圓的半徑是（ ）
A．8B．9C．10D．100
3．已知雙曲線分別為的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，若的面積為，則的離心率為（ ）
A．B．2C．D．
4．若直線經(jīng)過點(diǎn) 和圓C：的圓心,并且與直線垂直,則m的值為（ ）
A．-1B．1C．-4D．4
5．如圖所示，在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知橢圓，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若直線l與OM的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在空間四邊形中，若向量，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，
C．以線段為直徑的圓與直線相切
D．當(dāng)最小時(shí)，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為
10．瑞士數(shù)學(xué)家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線，則當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論正確是（ ）
A．點(diǎn)在雙紐線上 B．點(diǎn)的軌跡方程為
C．雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱 D．滿足的點(diǎn)有1個(gè)
11．如圖，在正方體中，P為的中點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（ ）

A． B．當(dāng)時(shí)，平面
C．當(dāng)時(shí)，PQ與CD所成角的余弦值為
D．當(dāng)時(shí)，平面
12．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤全書》，在書中收錄了一個(gè)有關(guān)兔子繁殖的問題.他從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，13，…，即從數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)字都等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為斐波那契數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，并且滿足，，，則關(guān)于斐波那契數(shù)列，以下結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
13．已知向量，，，若向量與所成角為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是 .
14．若直線過直線和的交點(diǎn)，且在軸的截距是軸截距的2倍，則直線的方程是 .
15．已知正項(xiàng)等差數(shù)列中，，其中，6，構(gòu)成等比數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
16．已知一個(gè)酒杯是由一個(gè)拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，拋物線的方程為：，現(xiàn)在將一個(gè)半徑為的小球放入酒杯中，若小球能觸及杯子的最底部，則小球的半徑的取值范圍是 .
四、解答題
17．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若記為滿足不等式的正整數(shù)k的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求關(guān)于n的不等式的最大正整數(shù)解.
19．已知圓C過點(diǎn)且圓心在直線上
(1)求圓C的方程，并求過點(diǎn)的切線方程．
(2)若過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且三角形ABC的面積為10，求直線l的方程．
20．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.

(1)求點(diǎn)到平面ABCD的距離；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
21．已知拋物線，為的焦點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)、，且點(diǎn)位于第一象限.
(1)若直線經(jīng)過的焦點(diǎn)，且，求直線的方程；
(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值.
22．已知橢圓C:的離心率為長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為.
(1)求C的方程；
(2)不經(jīng)過點(diǎn)A的直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓過點(diǎn)，試證明直線過一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)；
答案：
1．C
【詳解】設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為，則．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即①，
當(dāng)時(shí)，，即②．
聯(lián)立①②，結(jié)合，解得，.所以.
故選：C
2．C
【詳解】設(shè)這100個(gè)圓的半徑從小到大依次為，則由題知，
每相鄰的兩個(gè)圓中，小圓的切線被大圓截得的弦長(zhǎng)都為2，
有，則是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，，
所以，得.故選：C.
3．B
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，
由題設(shè)知，，則，
所以，且，易知，
又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以，

因?yàn)?，所以?br>則，
化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去）.所以，，故C的離心率為.
故選：B
4．A
【詳解】解：圓C：的圓心坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn) 和圓C：的圓心,所以直線的斜率為，又因?yàn)樵撝本€與直線垂直, 所以，解得 ，
故選：A
5．B
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以,
故選：B
6．D
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以不滿足的情況，
所以，
對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，滿足；
當(dāng)時(shí)，，不滿足，
故不恒成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，滿足；
當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知為遞減數(shù)列，此時(shí)，
且恒成立，所以，也滿足；所以，故D正確；
故選：D.
7．D
【詳解】設(shè)，，，
將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓C的方程可得，，
兩式相減可得.
又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以，所以，
所以，，
又直線l與OM的斜率之積為，
所以，即，
所以橢圓C的離心率.故選：D.
8．B
【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段的中點(diǎn)，
所以，，.
因?yàn)?，，?br>所以，
，
所以，.
故選：B.
9．ACD
【詳解】對(duì)于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，
聯(lián)立，消整理得，
則，代入得，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以 的最小值為，故A正確；
對(duì)于B，結(jié)合A可得，，
由，得，解得，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，
設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，
則，，，
所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；
對(duì)于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，
則可設(shè)切線的方程為，
聯(lián)立，消整理得，
則，解得，所以切線的方程為，
聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確．
故選：ACD．
10．BCD
【詳解】由雙紐線的定義可得：，
即，化簡(jiǎn)得：，
則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為，故B正確；
當(dāng)時(shí)代入方程得，顯然不滿足方程，
所以點(diǎn)不在雙紐線上故A錯(cuò)誤；
把x換成，y換成，方程不變，所以雙紐線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故C正確；
因?yàn)?，若滿足，則點(diǎn)P在y軸上，
在方程中令，解得，
所以滿足的點(diǎn)為，故D正確；
故選：BCD.
11．ABC
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，
所以，，
所以，所以，A正確；
當(dāng)時(shí)，，所以，
又平面，平面，
從而平面，B正確；
當(dāng)時(shí)，，，
所以PQ與CD所成角的余弦值為，C正確；
當(dāng)時(shí)，，，
，
所以不垂直于，所以不垂直于平面，D錯(cuò)誤．

故選：ABC.
12．BC
【詳解】斐波那契數(shù)列中，，，，
，A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，三個(gè)式子相加，得：，B正確；
當(dāng)時(shí)，，則
，C正確；
當(dāng)時(shí)，，則
，D錯(cuò)誤.
故選：BC
13．
【詳解】由向量，，可得，
因?yàn)椋傻?，解得?br>所以，所以與，
又因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，
所以，解得，
若向量與共線，則，解得，
所以實(shí)數(shù)的范圍是.
故答案為.
14．或
【詳解】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)在軸的截距與在軸的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，
將代入得，解得，故直線的方程為；
當(dāng)在軸的截距與在軸的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，
將代入得，解得，
故直線方程為，即，所以直線的方程為或.
故或
15．
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則.
因?yàn)?，且?，構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，
整理得，解得或（舍去）.
所以，則，
所以.
由，?.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
即；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.
即.
（或當(dāng)時(shí).由，等；當(dāng)時(shí)，由，得）
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故
16．
【詳解】取軸截面進(jìn)行分析，
設(shè)小球?qū)?yīng)的圓心為，拋物線上任意一點(diǎn)，且，
所以，
當(dāng)?shù)淖钚≈翟谔幦〉綍r(shí)，此時(shí)小球能觸及杯底，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，故此時(shí)半徑的取值范圍是，
故答案為.
17．(1)(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，
解得，或，又，所以，
故，
（2）令，
則，
兩邊乘以得，，
錯(cuò)位相減整理得，，
所以.
18．【詳解】（1）由取倒數(shù)得，即，
又，所以，所以為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
則，故.
（2）由，得，
則，則，
所以這樣的有個(gè)，故，則，
所以，
則，
兩式相減得：，
所以，易知為遞增數(shù)列，
又因?yàn)?，，?br>所以，故，則最大正整數(shù)解為8.
19．
【詳解】（1）由對(duì)稱性可知圓心C在線段的垂直平分線上，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，故的垂直平分線的斜率為，
故的垂直平分線方程為，即，
聯(lián)立與，解得，
故圓心坐標(biāo)為，半徑為，
故圓C的方程為，
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，不是圓C的切線，
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，則，解得，
故過點(diǎn)的切線方程為，即；
（2）將代入圓C，，
故點(diǎn)在圓C外，
當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓無交點(diǎn)，舍去，
設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，
則圓心到直線的距離，
又半徑，故由垂徑定理得，
又三角形ABC的面積為10，
所以，解得或，
由于，故或均滿足要求，
當(dāng)時(shí)，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上，直線l的方程為或或.
20．
【詳解】（1）由題設(shè)，知，所以.
又，所以為等邊三角形，所以.
在中，，所以.
即，則.
所以，即，
又，且平面，所以平面.
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
如圖1，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平?
所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離.
在中，，所以.
即點(diǎn)到平面的距離為.

（2）如圖2，連接OC，則，且平面ABCD，
所以，所以PO，BD，OC兩兩互相垂直.
以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
則，
所以.
若上存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，則，
所以.
設(shè)是平面的法向量，
則，解得，
不妨取，則平面的一個(gè)法向量為.
同理，設(shè)是平面的法向量，
則，解得，不妨取，
則，所以平面的一個(gè)法向量為，
所以，
化簡(jiǎn)整理得，解得或.
即或.
故在的三等分點(diǎn)處存在點(diǎn)，可使得平面與平面夾角的余弦值為.

21．
【詳解】（1）解：依題意知，.
若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，可得，則，
由韋達(dá)定理可得，
所以，，
解得，所以，直線的方程為或，
即或.
（2）解：若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，可得，則，
由韋達(dá)定理可得，則，即.
不妨設(shè)，則，
所以，的面積為，
的面積為，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).
所以的最小值為.
22．【詳解】（1）橢圓：的離心率為，長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)為，
可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
可得，且
即
設(shè)，所以，
由題意得，即，
可得
，
所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)過，不符合題意（舍去）；
當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)過，符合題意，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，則點(diǎn)，
于是，解得，直線過點(diǎn)，
綜上可得，直線過定點(diǎn).

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