1.已知集合A={x∈N|x≤5}，集合B={x|x(x?2)>0}，則A∩B=( )
A. {2,3,4}B. {3,4,5}C. [2,5)D. (2,5]
2.已知z=1?i2+2i，則z?z?=( )
A. 14B. iC. 0D. 1
3.已知向量a=(1,1)，b=(1,?1).若(λa+b)//(a+μb)，則( )
A. λ+μ=1B. λ+μ=?1C. λμ=1D. λμ=?1
4.設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x?a)在區(qū)間(?1,0)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( )
A. (?∞,?2]B. [?2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
5.設(shè)橢圓C1：x2a2+y2=1(a>1)，C2：x24+y2=1的離心率分別為e1，e2，若e2= 3e1，則a=( )
A. 2 33B. 2C. 3D. 6
6.過點(diǎn)(0,?2)與圓x2+y2?4x?1=0相切的兩條直線的夾角為2α，則sinα=( )
A. 1B. 154C. 104D. 64
7.記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{Snn}為等差數(shù)列，則( )
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8.已知 2sin(θ?π4)cs(π+θ)=cs2θ，且sinθ≠0，則tan(θ+π6)的值為( )
A. 3B. 33C. 2? 3D. 2+ 3
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，且成等差數(shù)列，其中x1是最小值，x6是最大值，則下列各選項(xiàng)正確的是( )
A. x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)
B. x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)
C. x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差
D. x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差
10.拉普拉斯稱贊對(duì)數(shù)是一項(xiàng)“使天文學(xué)家壽命倍增”的發(fā)明，對(duì)數(shù)可以將大數(shù)之間的乘除運(yùn)算簡(jiǎn)化為加減運(yùn)算.2017年5月23日至27日，圍棋世界冠軍柯潔與DeepMind公司開發(fā)的程序“AlphaG”進(jìn)行三局人機(jī)對(duì)弈，以復(fù)雜的圍棋來測(cè)試人工智能圍棋復(fù)雜度的上限約為M=3361，而根據(jù)有關(guān)資料，可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)約為N=1080.(參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301，lg3=0.477.)若兩數(shù)常用對(duì)數(shù)之差的絕對(duì)值不超過1，則稱兩數(shù)“可相互替代”.下列數(shù)值與MN的值“可相互替代”的有( )
A. 1091B. 1092C. 1093D. 1094
11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)=xf(y)+yf(x)，則( )
A. f(0)=0B. f(?1)=0
C. f(x)是奇函數(shù)D. x=0為f(x)的極大值點(diǎn)
12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有( )
A. 直徑為0.99m的球體B. 所有棱長均為1.4m的四面體
C. 底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D. 底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，則不同的選課方案共有______種(用數(shù)字作答)．
14.在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A1B1=1，AA1= 2，則該棱臺(tái)的表面積為______．
15.已知函數(shù)f(x)=csωx?1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是______．
16.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，F(xiàn)1A?F1B=0，BF2=35BA，則C的離心率為______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A?C)=sinB．
(1)求sinA；
(2)設(shè)AB=5，求AB邊上的高．
18.(本小題12分)
如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．
(1)證明：OA⊥CD；
(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積．
19.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)?x．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>2lna+32．
20.(本小題12分)
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>1.令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和．
(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若{bn}為等差數(shù)列，且S99?T99=99，求d．
21.(本小題12分)
一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)．
(Ⅰ)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；
(Ⅱ)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1，當(dāng)E(X)>1時(shí)，p1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2 2，求△PAQ的面積．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
解一元二次不等式求集合B，利用集合交運(yùn)算求A∩B．
【解答】
解：由題設(shè)A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x>2或xs22，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)閤6>x5，x2>x1，所以x6?x1>x5?x2，選項(xiàng)D正確．
故選：BD．
根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差和極差的概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題逐一判定即可．
本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差和極差的概念與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．
10.【答案】BC
【解析】解：lgMN=lgM?lgN=lg3361?lg1080
=361lg3?80=361×0.477?80
=92.197，
所以lgMN+1=93.197,lgMN?1=91.197，
所以“可相互替代”的數(shù)的范圍是[1091.197,1093.197].
故選：BC．
先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得lgMN，進(jìn)而得到lgMN+1,lgMN?1，則“可相互替代”的數(shù)的范圍即可求解．
本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．
11.【答案】ABC
【解析】解：因?yàn)閒(xy)=xf(y)+yf(x)，
對(duì)于選項(xiàng)A：令x=y=0，
此時(shí)f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：令x=y=1，
此時(shí)f(1)=f(1)+f(1)，
所以f(1)=0，
令x=y=?1，
此時(shí)f(1)=?f(?1)?f(?1)=?2f(?1)=0，
所以f(?1)=0，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
令y=?1，
此時(shí)f(?x)=xf(?1)?f(x)=?f(x)，
所以f(x)是奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，不妨令f(x)=0，符合題意，
此時(shí)函數(shù)f(x)無極值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
由題意，利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項(xiàng)A，B，C，舉反例f(x)=0即可排除選項(xiàng)D．
本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力．
12.【答案】ABD
【解析】解：對(duì)于A，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1>0.99，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，如圖，
正方體內(nèi)部最大的正四面體D?A1BC1的棱長為 12+12= 2>1.4，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，棱長為1的正方體的體對(duì)角線為 3(1.2)2=1.44，選項(xiàng)D正確．
故選：ABD．
對(duì)于A，由正方體的內(nèi)切球直徑大于0.99可判斷；對(duì)于B，由正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長大于1.4可判斷；對(duì)于C，由正方體的體對(duì)角線小于1.8可判斷；對(duì)于D，取E，F(xiàn)，G，H，I，J都為棱中點(diǎn)，則六邊形EFGHIJ為正六邊形，由正六邊形的內(nèi)切圓直徑大于1.2可判斷．
本題考查簡(jiǎn)單幾何體的體積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中點(diǎn)題．
13.【答案】84
【解析】解：當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C82=28種；
當(dāng)從8門課中選修3門，則不同的選課方案共有C83=56種；
綜上所述：不同的選課方案共有28+56=84種．
故答案為：84．
利用組合知識(shí)分別求選修2門或3門課的選課方案可得答案．
本題考查組合的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
14.【答案】5+3 7
【解析】解：如圖，過A1作A1M⊥AB，垂足為M，
所以A1M為四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的側(cè)面的高，
因?yàn)锳B=2,A1B1=1,AA1= 2，
則AM=12(AB?A1B1)=12,A1M= A1A2?AM2= 2?14= 72，
S梯形A1B1BA=12(AB+A1B1)A1M=3 74，
所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積為4S梯形A1B1BA=3 7，
正四棱臺(tái)的上底面積為SA1B1C1D1=1，正四棱臺(tái)的下底面積為SABCD=4，
則該棱臺(tái)的表面積為5+3 7．
故答案為：5+3 7．
過A1作A1M⊥AB，求出四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的側(cè)面面積、上下底面積可得答案．
本題考查了正四棱臺(tái)的表面積計(jì)算，屬于中檔題．
15.【答案】[2,3)
【解析】解：x∈[0,2π]，函數(shù)的周期為2πω(ω>0)，csωx?1=0，可得csωx=1，
函數(shù)f(x)=csωx?1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，
可得2?2πω≤2π0)，則E(0,13,2t3)，
因?yàn)镺A⊥平面BCD，故平面BCD的一個(gè)法向量為OA=(0,0,t)，
設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，
又BC=( 32,32,0),BE=(0,43,2t3)，
所以由n?BC=0n?BE=0，得 32x+32y=043y+2t3z=0，
令x= 3，則y=?1，z=2t，故n=( 3,?1,2t)，
因?yàn)槎娼荅?BC?D的大小為45°，
所以|cs|=|n?OA||n||OA|=2t 4+4t2= 22，
解得t=1，所以O(shè)A=1，
又S△OCD=12×1×1× 32= 34，所以S△BCD= 32，
故VA?BCD=13S△BCD?OA=13× 32×1= 36．
方法二：
過E作EF⊥BD，交BD于點(diǎn)F，過F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG，
由題意可知，EF/?/AO，又AO⊥平面BCD
所以EF⊥平面BCD，又BC?平面BCD，
所以EF⊥BC，又BC⊥FG，F(xiàn)G∩EF=F，F(xiàn)G、EF?平面EFG，
所以BC⊥平面EFG，又EG?平面EFG，
所以BC⊥EG，
則∠EGF為二面角E?BC?D的平面角，即∠EGF=45°，
又CD=DO=OB=OC=1，
所以∠BOC=120°，則∠OCB=∠OBC=30°，
故∠BCD=90°，
所以FG//CD，
因?yàn)镈EAD=DFOD=EFAO=23，
則AO=32EF,OF=13,DF=23，
所以BFBD=GFCD，則GF=1+132=23，
所以EF=GF=23，則AO=32EF=1，
所以VA?BCD=13S△BCD?AO=13×12× 3×1×1= 36．
【解析】本題考查了面面垂直和線面垂直的性質(zhì)，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般要建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題，屬于中檔題．
(1)利用等腰三角形中線就是高，得到AO⊥BD，然后利用面面垂直的性質(zhì)，得到AO⊥平面BCD，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明AO⊥CD；
(2)方法一：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0,t)，利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求出t的值，然后利用錐體的體積公式求解即可．
方法二：過E作EF⊥BD，交BD于點(diǎn)F，過F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)EG，求出∠BCD=90°，AO=32EF=1，然后利用錐體的體積公式求解即可．
19.【答案】解：(1)因?yàn)閒(x)=a(ex+a)?x，定義域?yàn)镽，f′(x)=aex?1，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=aex?10時(shí)，令f′(x)=aex?1=0，解得x=?lna，
當(dāng)x0，則f(x)在(?lna,+∞)上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；
當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減，f(x)在(?lna,+∞)上單調(diào)遞增．
證明：(2)由(1)得，f(x)min=f(?lna)=a(e?lna+a)+lna=1+a2+lna，
要證f(x)>2lna+32，即證1+a2+lna>2lna+32，即證a2?12?lna>0恒成立，
令g(a)=a2?12?lna(a>0)，則g′(a)=2a?1a=2a2?1a，
令g′(a) 22，
所以g(a)在(0, 22)上單調(diào)遞減，在( 22,+∞)上單調(diào)遞增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2?12?ln 22=ln 2>0，則g(a)>0恒成立，
所以當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>2lna+32恒成立，證畢．
【解析】(1)先求導(dǎo)，再分類討論a≤0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為a2?12?lna>0的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)g(a)=a2?12?lna(a>0)，利用導(dǎo)數(shù)證得g(a)>0即可．
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于難題．
20.【答案】解：(1)由3a2=3a1+a3，可得3(a1+d)=3a1+a1+2d，
即為d=a1，an=a1+(n?1)d=nd，
則bn=n2+nan=n+1d．
由S3+T3=21，可得d+2d+3d+2d+3d+4d=21，
化為2d2?7d+3=0，又d>1，
解得d=3，
則an=3n，n∈N*；
(2)由{an}為等差數(shù)列，{bn}為等差數(shù)列，且bn=n2+nan，
根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)an=tn，d=t>1；
或設(shè)an=k(n+1)，d=k>1，
①當(dāng)an=tn，d=t>1時(shí)，bn=n+1t，
則S99?T99=12×99×(t+99t)?12×99×(2t+100t)=99，
化為50t2?t?51=0，又d=t>1，
解得d=t=5150；
②當(dāng)an=k(n+1)，d=k>1時(shí)，bn=nk，
則S99?T99=12×99×(2k+100k)?12×99×(1k+99k)=99，
化為51k?50k=1，
即51k2?k?50=0，又d=k>1，
此時(shí)k無解，
綜合可得d=5150．
【解析】(1)根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，建立方程組，即可求解；
(2)根據(jù)題意及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，可設(shè)an=tn，且d=t>1；或設(shè)an=k(n+1)，且d=k>1，再分類討論，建立方程，即可求解．
本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，屬于中檔題．
21.【答案】(Ⅰ)解：由題意，P0=0.4，P1=0.3，P2=0.2，P3=0.1，
故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1；
(Ⅱ)證明：由題意可知，p0+p1+p2+p3=1，則E(X)=p1+2p2+3p3，
所以p0+p1x+p2x2+p3x3=x，變形為p0?(1?p1)x+p2x2+p3x3=0，
所以p0+p2x2+p3x3?(p0+p2+p3)x=0，
即p0(1?x)+p2x(x?1)+p3x(x?1)(x+1)=0，
即(x?1)[p3x2+(p2+p3)x?p0]=0，
令f(x)=p3x2+(p2+p3)x?p0，
則f(x)的對(duì)稱軸為x=?p2+p32p30，f(x)的正實(shí)根x0

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深圳明德實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三模擬考試數(shù)學(xué)試卷

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2023菏澤山大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二上學(xué)期第二次階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

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