一 函數(shù)與方程思想
應(yīng)用1 借助函數(shù)關(guān)系解決問題
在方程、不等式、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、圓錐曲線等數(shù)學(xué)問題中，將原有隱含的函數(shù)關(guān)系凸顯出來，從而充分運(yùn)用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)方法使問題順利獲解．
如圖1，將一張邊長為20的正方形紙片ABCD剪去四個(gè)全等的等腰三角形：△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再將剩下的陰影部分折成一個(gè)正四棱錐P-EFGH，使點(diǎn)E與點(diǎn)E1重合，點(diǎn)F與點(diǎn)F1重合，點(diǎn)G與點(diǎn)G1重合，點(diǎn)H與點(diǎn)H1重合，點(diǎn)A，B，C，D重合于點(diǎn)O，如圖2.則正四棱錐P-EFGH的體積的最大值為( D )
A． eq \f(32\r(10),3) B． eq \f(64\r(10),3)
C． eq \f(128\r(10),3) D． eq \f(256\r(10),3)
【解析】 根據(jù)題意，PG是側(cè)棱，底面EFGH的對(duì)角線的一半是GC，在圖1中，作點(diǎn)P到邊DC的垂線，
設(shè)GC＝x，00，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于x軸的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)1Q與y軸的交點(diǎn)為R，F(xiàn)1Q⊥PR，則C的離心率為( B )
A． eq \r(2) B． eq \r(3)
C．2 D． eq \r(5)
【解析】 方法一：由題意得F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，設(shè)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))) ，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))) ，R(0，y0)，因?yàn)?＝ eq \f(c＋（－c）,2) ，所以R為F1Q的中點(diǎn)，所以y0＝－ eq \f(b2,2a) ，即R eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(b2,2a))) .又F1Q⊥PR，所以kF1Q·kPR＝－1，即－ eq \f(b2,2ac) · eq \f(3b2,2ac) ＝－1，即 eq \r(3) b2＝2ac.因?yàn)閎2＝c2－a2，所以 eq \r(3) c2－2ac－ eq \r(3) a2＝0，方程兩邊同時(shí)除以a2得， eq \r(3) e2－2e－ eq \r(3) ＝0，解得e＝ eq \r(3) 或e＝－ eq \f(\r(3),3) (舍去)，所以e＝ eq \r(3) ，故選B.
方法二：由題意得F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，不妨設(shè)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a))) ，Q eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a))) ，R(0，y0)，因?yàn)?＝ eq \f(c＋（－c）,2) ，所以R為F1Q的中點(diǎn)，連接PF1(圖略)，又F1Q⊥PR，所以|PF1|＝|PQ|.由對(duì)稱性得|PF1|＝|F1Q|，所以|PF1|＝|PQ|＝|F1Q|，即△PF1Q為等邊三角形，所以 eq \f(|PF2|,|F1F2|) ＝tan ∠PF1F2，即 eq \f(b2,2ac) ＝ eq \f(\r(3),3) ，即 eq \r(3) b2＝2ac.又b2＝c2－a2，所以 eq \r(3) c2－2ac－ eq \r(3) a2＝0，方程兩邊同時(shí)除以a2得， eq \r(3) e2－2e－ eq \r(3) ＝0，解得e＝ eq \r(3) 或e＝－ eq \f(\r(3),3) (舍去)，所以e＝ eq \r(3) ，故選B.
此題是一道典型的求離心率的題目，一般需要通過a，b，c之間的關(guān)系，得出關(guān)于a，c的方程，經(jīng)過恒等變形就可以求出離心率．
應(yīng)用5 轉(zhuǎn)換方程形式解決問題
把題目中給定的方程根據(jù)題意轉(zhuǎn)換形式，凸顯其隱含條件，充分發(fā)揮其方程性質(zhì)，運(yùn)用有關(guān)方程的解的定理(如根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、實(shí)根分布的充要條件)使原問題獲解，這是方程思想應(yīng)用的又一個(gè)方法．
已知sin (α＋β)＝ eq \f(2,3) ，sin (α－β)＝ eq \f(1,5) ，則 eq \f(tan α,tan β) 的值為________．
【解析】 方法一：由已知條件及正弦的和(差)角公式，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin αcs β＋cs αsin β＝\f(2,3)，,sin αcs β－cs αsin β＝\f(1,5)，))
所以sin αcs β＝ eq \f(13,30) ，cs αsin β＝ eq \f(7,30) .
從而 eq \f(tan α,tan β) ＝ eq \f(sin αcs β,cs αsin β) ＝ eq \f(13,7) .
方法二：因?yàn)?eq \f(sin （α＋β）,sin （α－β）) ＝ eq \f(10,3) ，
且 eq \f(sin （α＋β）,sin （α－β）) ＝ eq \f(\f(sin （α＋β）,cs αcs β),\f(sin （α－β）,cs αcs β)) ＝ eq \f(tan α＋tan β,tan α－tan β) ＝ eq \f(\f(tan α,tan β)＋1,\f(tan α,tan β)－1) .
所以得到方程 eq \f(\f(tan α,tan β)＋1,\f(tan α,tan β)－1) ＝ eq \f(10,3) ，解方程得 eq \f(tan α,tan β) ＝ eq \f(13,7) .
【答案】 eq \f(13,7)
本例可運(yùn)用方程的思想，把已知條件通過變形看作關(guān)于 eq \f(tan α,tan β) 的方程來求解，從而獲得欲求的三角函數(shù)表達(dá)式的值．
二 數(shù)形結(jié)合思想
應(yīng)用1 巧借函數(shù)圖象解決問題
(1)已知函數(shù)y＝2x＋x，y＝ln x＋x，y＝lg x＋x的零點(diǎn)依次為x1，x2，x3，則( D )
A．x1

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