(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長).
(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長).
(3)S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l，S圓臺表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分別為上、下底面半徑，l為母線長).
(4)S球表＝4πR2(R為球的半徑).
2．空間幾何體的體積公式
(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為柱體的高).
(2)V錐體＝ eq \f(1,3) Sh(S為底面面積，h為錐體的高).
(3)V臺體＝ eq \f(1,3) (S′＋ eq \r(S′S) ＋S)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為臺體的高).
(4)V球＝ eq \f(4,3) πR3(R為球的半徑).
命題角度? 空間幾何體的表面積
(1)(2024·菏澤三模)已知圓臺O1O2的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面的周長為16，則該圓臺的表面積為( C )
A．24π B．25π
C．26π D．27π
【解析】 如圖，作出圓臺的軸截面ABDC，設(shè)上底面圓O1的半徑為r，則下底面圓O2的半徑是3r，故軸截面的周長為
16＝4＋4＋2r＋6r，解得r＝1，所以上、下底面圓的面積分別為π，9π，圓臺的側(cè)面積S側(cè)＝π(1＋3)×4＝16π，
所以圓臺的表面積為π＋9π＋16π＝26π.
(2)如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________．
【解析】 設(shè)正方體的棱長為1，則其表面積為6，三棱錐D1-AB1C為正四面體，其每個面都是邊長為 eq \r(2) 的正三角形，其表面積為4× eq \f(1,2) × eq \r(2) × eq \f(\r(6),2) ＝2 eq \r(3) ，所以三棱錐D1-AB1C的表面積與正方體的表面積的比為1∶ eq \r(3) .
【答案】 1∶ eq \r(3)
破解空間幾何體的表面積問題的關(guān)鍵
(1)會轉(zhuǎn)化：將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化．
(2)會分類：能識別所給的幾何體是規(guī)則的幾何體，還是不規(guī)則的幾何體，還是簡單的組合體．
(3)用公式：對于規(guī)則的幾何體或簡單的組合體，只需利用公式即可求解，需注意所求的是表面積還是側(cè)面積；對于不規(guī)則的幾何體，將所給幾何體割補成柱體、錐體、臺體，先求出這些柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積．
1．已知一個圓錐和一個圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積的比值為( C )
A. eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(3),3) D． eq \r(3)
解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則圓錐的母線長l＝2r，圓柱的母線長等于圓錐的高h＝ eq \r(3) r，記圓錐和圓柱的側(cè)面積分別為S1，S2，則 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(πrl,2πrh) ＝ eq \f(\r(3),3) .
2．如圖所示是某研究性學習小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分，它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體，已知正四棱臺上底、下底、側(cè)棱的長度(單位：dm)分別為2，6，4，正三棱柱各側(cè)棱長度均相等，則該結(jié)構(gòu)的表面積(單位：dm2)為( A )
A．34 eq \r(3) ＋8 B．34 eq \r(3) ＋44
C．34 eq \r(3) ＋48 D．34 eq \r(5) ＋8
解析：由題可得正三棱柱的底面積為 eq \f(1,2) ×2×2×sin 60°＝ eq \r(3) (dm2)，則正三棱柱的外露表面積為2× eq \r(3) ＋2×2×2＝8＋2 eq \r(3) (dm2).正四棱臺側(cè)面梯形的高為 eq \r(42－（\f(6－2,2)）2) ＝2 eq \r(3) (dm)，則正四棱臺的外露表面積為4× eq \f(1,2) ×(2＋6)×2 eq \r(3) ＝32 eq \r(3) (dm2)，
故該結(jié)構(gòu)的表面積為32 eq \r(3) ＋8＋2 eq \r(3) ＝34 eq \r(3) ＋8(dm2).
命題角度? 空間幾何體的體積
(1)(2024·新課標Ⅰ卷)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為 eq \r(3) ，則圓錐的體積為( B )
A．2 eq \r(3) π B．3 eq \r(3) π
C．6 eq \r(3) π D．9 eq \r(3) π
【解析】 設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑均為r，因為它們的高均為 eq \r(3) ，且側(cè)面積相等，所以2πr× eq \r(3) ＝πr· eq \r(（\r(3)）2＋r2) ，得r2＝9，所以圓錐的體積V＝ eq \f(1,3) πr2× eq \r(3) ＝3 eq \r(3) π.
(2)(2024·全國甲卷)已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為r1，下底面半徑均為r2，圓臺甲、乙的母線長分別為2(r2－r1)，3(r2－r1)，則圓臺甲與乙的體積之比為________．
【解析】 兩圓臺的上、下底面積對應相等，則兩圓臺的體積之比為高之比，根據(jù)母線、半徑與高的關(guān)系可得甲與乙的體積之比為 eq \f(\r(4（r2－r1）2－（r2－r1）2),\r(9（r2－r1）2－（r2－r1）2)) ＝ eq \f(\r(3),\r(8)) ＝ eq \f(\r(6),4) .
【答案】 eq \f(\r(6),4)
破解空間幾何體的體積問題的常用方法
(1)公式法：對于規(guī)則幾何體，可以直接利用公式求解．
(2)割補法：把不規(guī)則的圖形分割(補)成規(guī)則的圖形，便于計算其體積．
(3)等體積法：當一個幾何體的底面積和高較難求解時，可以用等體積法求解．等體積法通過選擇合適的底面來求幾何體的體積，多用來求錐體的體積．
1.(2024·天津卷)一個五面體ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，則該五面體的體積為( C )
A． eq \f(\r(3),6) B． eq \f(3\r(3),4) ＋ eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(3\r(3),4) － eq \f(1,2)
解析：因為AD∥BE∥CF，且兩兩之間距離為1，則該五面體可以分成一個側(cè)棱長為1的三棱柱和一個底面為梯形的四棱錐，其中三棱柱的體積等于棱長均為1的直三棱柱的體積，四棱錐的高為 eq \f(\r(3),2) ，底面是上底為1、下底為2、高為1的梯形，故該五面體的體積V＝ eq \f(1,2) ×1× eq \f(\r(3),2) ×1＋ eq \f(1,3) × eq \f(3,2) × eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),2) .
2．某學校組織學生到一個木工工廠參加勞動，在木工師傅指導下要把一個體積為27 cm3的圓錐切割成一個圓柱，切割過程中磨損忽略不計，則圓柱體積的最大值為________ cm3.
解析： 設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為H，圓柱的底面半徑為r(0

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