2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試專題1函數(shù)的圖象與性質(zhì)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

(2)利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn)．
命題角度? 函數(shù)圖象的識別
(1)(2024·全國甲卷)函數(shù)y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在區(qū)間[－2.8，2.8]的圖象大致為( B )
【解析】令y＝f(x)，由題知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，C；f(1)＝－1＋(e－ eq \f(1,e) )·sin 1>－1＋(e－ eq \f(1,e) )sin eq \f(π,6) ＝－1＋ eq \f(e,2) － eq \f(1,2e) >0，排除D.
(2)如圖是函數(shù)H(x)圖象的一部分，設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x，g(x)＝ eq \f(1,x) ，則H(x)可以表示為( C )
A.f(x)·g(x)
B． eq \f(f（x）,g（x）)
C．f(x)＋g(x)
D．f(x)－g(x)
【解析】易知f(x)＝sin x與g(x)＝ eq \f(1,x) 均為奇函數(shù)，由題圖可知，H(x)也為奇函數(shù)，故排除A，B；對于D，當(dāng)x→0＋時，sin x→0， eq \f(1,x) →＋∞，所以當(dāng)x→0＋時，f(x)－g(x)＝sin x－ eq \f(1,x) 0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合題意，故排除C；
對于D，f(x)＝ eq \f(5cs x,x2＋1) ，定義域?yàn)镽，f(－x)＝ eq \f(5cs （－x）,x2＋1) ＝ eq \f(5cs x,x2＋1) ＝f(x)，所以f(x)＝ eq \f(5cs x,x2＋1) 是偶函數(shù)，符合題意，故選D.
方法二：由題圖可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．因?yàn)閥＝x2＋2是偶函數(shù)，y＝ex－e－x是奇函數(shù)，所以f(x)＝ eq \f(5（ex－e－x）,x2＋2) 是奇函數(shù)，故排除A；因?yàn)閥＝x2＋1是偶函數(shù)，y＝sin x是奇函數(shù)，所以f(x)＝ eq \f(5sin x,x2＋1) 是奇函數(shù)，故排除B；因?yàn)閤2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝ eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2) >0恒成立，不符合題意，故排除C.故選D.
2．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＜0，若f(1)＝0，則不等式xf(x)＜0的解集為__________________．
解析：已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)＝－f(－x)，且f(0)＝0，又對任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) ＜0，不妨設(shè)x1＜x2＜0，則x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又f(1)＝0，所以f(－1)＝－f(1)＝0，則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖象可得不等式xf(x)＜0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞).
答案： (－∞，－1)∪(1，＋∞)
小題考法2 函數(shù)的性質(zhì)
[核心提煉]
1．函數(shù)的奇偶性
(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).
(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)).
2．函數(shù)的周期性
若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)y＝f(x)的周期為|b－a|.
3．函數(shù)圖象的對稱中心和對稱軸
(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．
(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ eq \f(a＋b,2) 對稱．
命題角度? 奇偶性、周期性與對稱性
(1)(多選)(2024·新鄉(xiāng)三模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(－x)，且f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，若f( eq \f(5,2) )＝1，則( BCD )
A．f(2 024)＝1
B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－3對稱
C．f(x)是周期函數(shù)
D． eq \i\su(k＝1,2 025, ) (－1)kkf(k－ eq \f(1,2) )＝2 025
【解析】由f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)，得f(x＋1)＋f(x＋3)＝f(－2)，
則f(x－1)＝f(x＋3)，即f(x)＝f(x＋4)，因此f(x)是周期為4的周期函數(shù)，C正確；
在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝－1，得f(－2)＋f(0)＝f(－2)，
則f(0)＝0，因此f(2 024)＝f(0)＝0，A錯誤；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(－x)＝f[(x－12)＋6]＝f(x－6)，因此f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－3對稱，B正確；
由f(x＋6)＝f(－x)，得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱，
因此直線x＝－3＋4n及x＝3＋4n(n∈Z)均為f(x)圖象的對稱軸，
則f(－2)＝f(8)＝f(0)＝0，f( eq \f(7,2) )＝f( eq \f(5,2) )＝1，在f(x－1)＋f(x＋1)＝f(－2)中，令x＝ eq \f(3,2) ，得f( eq \f(3,2) －1)＋f( eq \f(3,2) ＋1)＝f(－2)＝0，
即f( eq \f(1,2) )＝－f( eq \f(5,2) )＝－1，
則f( eq \f(1,2) )＝f( eq \f(9,2) )＝f( eq \f(3,2) )＝－1，
故 eq \i\su(k＝1,2 025, ) (－1)kkf(k－ eq \f(1,2) )＝－f( eq \f(1,2) )＋2f( eq \f(3,2) )－3f( eq \f(5,2) )＋4f( eq \f(7,2) )－…－2 025f( eq \f(4 049,2) )＝(1－2－3＋4)＋…＋(2 021－2 022－2 023＋2 024)＋2 025＝2 025，D正確．
(2)(2024·武漢模擬)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，f(5.5)＝4，g(x)＝(x－1)f(x)，若g(x＋1)是偶函數(shù)，則g(－0.5)＝________．
【解析】因?yàn)間(x＋1)是偶函數(shù)，且g(x＋1)＝xf(x＋1)，其中y＝x為奇函數(shù)，所以y＝f(x＋1)必為奇函數(shù)，則f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即有f(－x)＝－f(x＋2)，
又因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函數(shù)y＝f(x)的周期為4.
由函數(shù)g(x＋1)是偶函數(shù)，
可得g(－x＋1)＝xf(x＋1)，
所以g(－0.5)＝g(－1.5＋1)＝1.5 f(2.5)＝1.5 f(－2.5)＝1.5f(－2.5＋4×2)＝1.5f(5.5)＝6.
【答案】 6
函數(shù)的奇偶性、周期性及對稱性
(1)奇偶性：具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上，其圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切，研究問題時可以轉(zhuǎn)化到部分(一般取一半)區(qū)間上，注意偶函數(shù)常用結(jié)論f(x)＝f(|x|).
(2)周期性：利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，把不在已知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解．
(3)對稱性：常圍繞圖象的對稱中心或?qū)ΨQ軸設(shè)置試題背景，利用圖象對稱中心或?qū)ΨQ軸的性質(zhì)簡化所求問題．
命題角度? 函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
(1)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－2ax－a，x＜0，,ex＋ln （x＋1），x≥0)) 在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( B )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x2.
由函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減可知f(ln 10)>f(3)>f(3 eq \s\up6(\f(5,4)) )，即b＞a＞c.
【答案】 b＞a＞c
函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略
(1)比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．
(2)在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．
(3)利用單調(diào)性求解最值問題，應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求解．
(4)利用單調(diào)性求參數(shù)時，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．
1．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是( D )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
解析：函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則有函數(shù)y＝x(x－a)＝(x－ eq \f(a,2) )2－ eq \f(a2,4) 在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，因此 eq \f(a,2) ≥1，解得a≥2，所以a的取值范圍是[2，＋∞).
2．已知函數(shù)f(x)＝a－ eq \f(2,ex＋1) (a∈R)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)? A )
A.(－1，1) B．(－2，2)
C．(－3，3) D．(－4，4)
解析：方法一：由f(x)是奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x)，所以a－ eq \f(2,e－x＋1) ＝－a＋ eq \f(2,ex＋1) ，得2a＝ eq \f(2,ex＋1) ＋ eq \f(2,e－x＋1) ＝2，所以a＝1，所以f(x)＝1－ eq \f(2,ex＋1) ，因?yàn)閑x＋1>1，所以0< eq \f(1,ex＋1) 3(x－1)－7＋2(x－2)－3＝5x－17，所以f(5)>8；
……
發(fā)現(xiàn)1，2及當(dāng)x≥3且x∈N*時，f(x)大于的數(shù)字構(gòu)成斐波那契數(shù)列(去掉第1項(xiàng))1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，
所以f(10)>89，A錯誤；f(20)>f(16)>1 597>1 000，B正確；f(x)沒有上界，所以C，D錯誤．
小題考法3 函數(shù)與方程
[核心提煉]
1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的聯(lián)系
函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．
2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)0時，曲線y＝x3－3x與曲線y＝－(x－1)2＋a有兩個交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【解析】令x3－3x＝－(x－1)2＋a，則a＝x3－3x＋(x－1)2，設(shè)h(x)＝x3－3x＋(x－1)2，則h′(x)＝3x2－3＋2(x－1)＝(3x＋5)(x－1)，因?yàn)閤>0，所以3x＋5>0，當(dāng)01，010p010 eq \s\up6(\f(Lp3,20)) ，所以10eq \s\up8( eq \f(Lp2,20) － eq \f(Lp3,20) )>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正確；因?yàn)?eq \f(100p2,p1) ＝ eq \f(100p010\s\up6(\f(Lp2,20)),p010\s\up6(\f(Lp1,20))) ＝10eq \s\up8( eq \f(Lp2,20) － eq \f(Lp1,20) )＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.
11．(多選)已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(－1)＝f(3)＝2，則下列結(jié)論中一定正確的是( AB )
A．f(－2)＞－2
B．f(x)有3個零點(diǎn)
C．f(2)＜－2
D．f(f(5))＞f(f(－ eq \f(1,2) ))
解析：由題意得，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，f(0)＝0，由f(－1)＝f(3)＝2，得f(1)＝f(－3)＝－2.
對于A，因?yàn)閒(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以f(－2)＞f(－3)＝－2，故A正確；
對于B，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝－2，f(3)＝2，故在(0，＋∞)上有且只有一個x0∈(1，3)，使f(x0)＝0，同理f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且f(－1)＝2，f(－3)＝－2，故在(－∞，0)上有且只有一個x1∈(－3，－1)，使f(x1)＝0，又f(0)＝0，所以f(x) 有3個零點(diǎn)，故B正確；
對于C，因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(2)＞f(1)＝－2，故C錯誤；
對于D，f(5)＞f(3)＝2，f(－ eq \f(1,2) )＞f(－1)＝2，易知 f(5)與f(－ eq \f(1,2) )無法比較大小，故D不一定正確．故選AB.
12．若函數(shù)y＝ eq \r(ax2－x＋2) 的定義域?yàn)閇－2，1]，則實(shí)數(shù)a的值為________．
解析：y＝ eq \r(ax2－x＋2) 的定義域滿足ax2－x＋2≥0，解集為[－2，1]，故a＜0且 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＝（－2）＋1，,\f(2,a)＝（－2）×1，)) 解得a＝－1.
答案：－1
13．已知函數(shù)f(x)＝5－x－3x3，若f(a－1)＋f(2a)≥10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析：令g(x)＝x＋3x3，因?yàn)間(－x)＝－x－3x3＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，由函數(shù)y＝x，y＝3x3都是增函數(shù)，可得g(x)＝x＋3x3為增函數(shù)，f(x)＝5－x－3x3＝5－g(x)，則不等式f(a－1)＋f(2a)≥10，即為5－g(a－1)＋5－g(2a)≥10，即－g(a－1)≥g(2a)，即g(1－a)≥g(2a)，所以1－a≥2a，解得a≤ eq \f(1,3) ，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞， eq \f(1,3) ].
答案：(－∞， eq \f(1,3) ]
14．(2024·廣州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，f(x＋2)為偶函數(shù)，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4個不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________．
解析：由f(x＋2)為偶函數(shù)可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，又f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)是周期函數(shù)，周期為8.
作出函數(shù)f(x)在[0，12]上的大致圖象趨勢如圖所示，作出直線y＝m，由圖可知，若f(x)的圖象與直線y＝m在[0，12]上有4個交點(diǎn)，則f(2)

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