1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫清楚，然后貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
2. 已知，則的最小值為（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
3. 若函數(shù)，則的定義域為（）
A. B.
C. D.
4. 新課程互助學習小組在學習二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時，經(jīng)過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）
A. B. C. D.
5. 若角終邊經(jīng)過點，則的值為（）
A. B. 1C. D.
6. 函數(shù)的大致圖象是（）
A. B.
C. D.
7. 若，，，，則下列說法正確的是（）
A. 若，，則
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，則
8. 已知，，則與之間的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D. 無法比較
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 與終邊相同角是（）
A. B. C. D.
10. 高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是（）
A. 在上是減函數(shù)B.
C. 的值域是D. 的值域是
11. 已知函數(shù)（，為自然對數(shù)底數(shù)），則（）
A. 函數(shù)至多有2個零點B. ，使得是R上增函數(shù)
C. 當時，的值域為D. 當時，方程有且只有1個實數(shù)根
12. ，，為正實數(shù)，若，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若是上的奇函數(shù)，且，已知，則______.
14. 函數(shù)的值域為______.
15. 函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為______.
16. 已知是定義域為R的奇函數(shù)，的部分解析式為，若方程的解為，，，且，則的取值范圍為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
18. 計算下列各式的值：
（1）；
（2）.
19. 已知函數(shù).
（1）證明函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
20. 首屆全國學生（青年）運動會于2023年11月5日在廣西南寧舉行，假設(shè)你是某紀念章公司委托的專營店銷售總監(jiān).現(xiàn)有一款紀念章，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀念章需向?qū)W青會組委會上交特許經(jīng)營管理費2元用于活動公益開支，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀念章的銷售價格為元..
（1）請你寫出專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲利潤（元）與每枚紀念章的銷售價格（元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該專營店一年內(nèi)的利潤最大？最大利潤為多少元？
21. 已知函數(shù)的定義域為，對，總有成立.若時，.
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求解關(guān)于的不等式的解集.
22. 已知函數(shù)（且）.
（1）若當時，函數(shù)在有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得當?shù)亩x域為時，值域為，若存在，求出實數(shù)的范圍；若不存在，請說明理由.
2023年廣西三新學術(shù)聯(lián)盟高一年級12月聯(lián)考數(shù)學
本卷滿分：150分，考試時間：120分鐘
注意事項：
1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、學校、班級、準考證號填寫清楚，然后貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效.
一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用交集的定義，直接求解即可.
【詳解】，，故
故選：B
2. 已知，則的最小值為（）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】變形后由基本不等式求出最值.
【詳解】因為，所以，
所以，
當且僅當,即時，等號成立.
故選：B
3. 若函數(shù)，則的定義域為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及分式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】的定義域滿足：，解得且，
所以定義域為，
故選：A
4. 新課程互助學習小組在學習二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時，經(jīng)過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，先求出的符號，根據(jù)二分法結(jié)合零點存在定理，即可得出答案.
【詳解】令，可知，.
又，則，
所以，根據(jù)二分法結(jié)合零點存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.
又，
所以，根據(jù)二分法結(jié)合零點存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.
故選：B.
5. 若角終邊經(jīng)過點，則的值為（）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解.
【詳解】因為角終邊經(jīng)過點，所以，
所以
，
故選:C.
6. 函數(shù)的大致圖象是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】采用排除法先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊點的函數(shù)值的符號進行判斷.
【詳解】從函數(shù)圖象看，定義域都一樣，關(guān)于原點對稱，
∵，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除BD；
又，∴可排除A.
故選：C
7. 若，，，，則下列說法正確的是（）
A. 若，，則
B. 若，則
C. 若，，則
D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的相關(guān)性質(zhì)可推理判斷選項A,D,通過舉反例判斷選項B,C.
【詳解】對于A選項，由可得，因，故不能判斷的值正負，故A項錯誤；
對于B選項，因時，，故B項錯誤；
對于C選項，取滿足，，但是有，故C項錯誤；
對于D選項，因，故，又因，故，由不等式的同向皆正可乘性可得：，
移項得：，故D項正確.
故選：D.
8. 已知，，則與之間的大小關(guān)系是（）
A. B. C. D. 無法比較
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法比較大小.
【詳解】，
所以
所以
故選：C
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 與終邊相同的角是（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】借助終邊相同角的定義即可得.
【詳解】與終邊相同的角為，
對A選項：，故A錯誤；
對B選項：，故B正確；
對C選項：，故C正確；
對D選項：，故D錯誤.
故選：BC.
10. 高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，.已知函數(shù)，，則下列敘述中正確的是（）
A. 在上是減函數(shù)B.
C. 的值域是D. 的值域是
【答案】CD
【解析】
【分析】先對分離常數(shù)得到，即可研究函數(shù)的單調(diào)性和值域，進而可得的值域與，從而得解.
【詳解】因為，
而在定義域上單調(diào)遞增，且，
在上單調(diào)遞增，
所以在上是增函數(shù)，故A錯誤；
且，，故C正確；
所以，D正確；
而，故B錯誤.
故選：CD.
11. 已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）
A. 函數(shù)至多有2個零點B. ，使得是R上的增函數(shù)
C. 當時，的值域為D. 當時，方程有且只有1個實數(shù)根
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，考查每段的零點情況即可判定A;根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可判定B；分段求出函數(shù)值的取值范圍，可判定C，令，解出方程可判定D.
【詳解】當時，，符合條件，故是函數(shù)的一個零點，
當時，令，
由韋達定理知，兩個根之和，
故方程不可能有兩個正根，也不可能有一正根一個根為零，
若方程有一負根一正根，則，解得，
即方程至多有一個正根，
綜上可知，函數(shù)至多有2個零點，故A正確；
因為函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，
故在上單調(diào)遞減，
則不存在，使得是R上的增函數(shù)，故B錯誤；
當時，，
當時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，
故在上單調(diào)遞減，
所以，當時，
則函數(shù)的值域為，不符合題意，故C錯誤；
當時，，
令，則方程，可化為，
若，則，解得，
若，則，解得或者，均不符合條件，
故只有，
即，此時只有為其根，
故時，方程有且只有1個實數(shù)根，則D正確，
故選：AD.
12. ，，為正實數(shù)，若，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】將變形得到即可得、、間的大小關(guān)系，再分別構(gòu)造出、化簡后即可得、、大小關(guān)系.
【詳解】由，
即有，由，則，
故A正確，B錯誤，
因為，
故，
因為，故，
同理，因為
故，
因為，故，即有，
故C正確，D錯誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若是上的奇函數(shù)，且，已知，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法進行求解即可.
【詳解】因為是上的奇函數(shù)，，所以，
所以，
故答案為：
14. 函數(shù)的值域為______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函數(shù)的定義域，再換元令，則，求出的范圍，再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)的值域.
【詳解】由，得，
令，則，
因為，，
所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，所以函數(shù)的值域為.
故答案為：
15. 函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判斷為奇函數(shù)且在定義域上單調(diào)遞增，所以可轉(zhuǎn)化為，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可解出的范圍.
【詳解】因為，是恒成立的，
所以的定義域為R，
，
所以為奇函數(shù)，當時，為遞增函數(shù)，又為遞增函數(shù)，在其定義域上為增函數(shù)，故為增函數(shù)，
而，所以在R上為增函數(shù)，
所以可化為，
所以，即，解得，
故答案為：.
16. 已知是定義域為R的奇函數(shù)，的部分解析式為，若方程的解為，，，且，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求出時的解析式，然后畫出函數(shù)的圖象，由有四個根，可得，結(jié)合圖象，找到的范圍，利用對勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可.
【詳解】當時，，又為奇函數(shù)，
所以，當時，，
又為奇函數(shù)，所以，畫出圖象如下：
由圖可知，當時，函數(shù)與交點橫坐標，
當時，函數(shù)與交點橫坐標為，
結(jié)合圖象知，由對勾函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，數(shù)形幾何分析方程根的范圍，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解范圍.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】17. ；
18. .
【解析】
【分析】（1）先解對數(shù)不等式求集合A，然后由并集運算可得；
（2）由知，分和利用數(shù)軸討論即可.
【小問1詳解】
由得，即，
若，則，
所以，.
【小問2詳解】
若，則，
當，即時，，滿足題意；
當，即時，由圖可得，無實數(shù)解.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
18. 計算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，化簡求解即可得出答案；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡求解即可得出答案.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
19. 已知函數(shù).
（1）證明函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先分析的定義域，然后根據(jù)的關(guān)系進行判斷即可；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為“”，利用基本不等式求解出，則的范圍可求.
【小問1詳解】
的定義域為，且定義域關(guān)于原點對稱，
又因為，
所以為偶函數(shù)；
【小問2詳解】
因為，且，
所以，當且僅當時取等號，
所以，
又因為，恒成立，即，
所以，解得或，
所以的取值范圍為.
20. 首屆全國學生（青年）運動會于2023年11月5日在廣西南寧舉行，假設(shè)你是某紀念章公司委托的專營店銷售總監(jiān).現(xiàn)有一款紀念章，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀念章需向?qū)W青會組委會上交特許經(jīng)營管理費2元用于活動公益開支，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀念章的銷售價格為元..
（1）請你寫出專營店一年內(nèi)銷售這種紀念章所獲利潤（元）與每枚紀念章的銷售價格（元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每枚紀念章銷售價格為多少元時，該專營店一年內(nèi)的利潤最大？最大利潤為多少元？
【答案】（1）
（2）當每枚紀念章銷售價格為元時，該專營店一年內(nèi)的利潤最大，最大利潤為元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，得到與的函數(shù)關(guān)系式.
（2）分別求出各段函數(shù)的最大值比較即得解.
小問1詳解】
依題意，
所以.
【小問2詳解】
因為，
所以當時，則， (元)，
當時，則或24時，(元)，
綜上：當時，該特許專營店獲得的利潤最大為元.
即當每枚紀念章銷售價格為元時，該專營店一年內(nèi)的利潤最大，最大利潤為元.
21. 已知函數(shù)的定義域為，對，總有成立.若時，.
（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若，求解關(guān)于的不等式的解集.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）賦值法求出，，且，則，根據(jù)單調(diào)性的定義結(jié)合已知即可證明；
（2）賦值法求出，根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式化為.求解結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.
【小問1詳解】
在上單調(diào)遞減，證明如下：
令，由已知可得，，
則.
由已知可得，.
，且，則，
則，
所以，，
所以，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
令，由已知可得.
又，
不等式化為.
由（1）知，在上單調(diào)遞減，
所以，.
又，，
所以，所以有，
整理可得，，
解得，所以，.
所以，不等式的解集為.
22. 已知函數(shù)（且）.
（1）若當時，函數(shù)在有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)，使得當?shù)亩x域為時，值域為，若存在，求出實數(shù)的范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，即的范圍就是在上的值域；
（2）由題可得，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個互異實根，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題求解即可.
【小問1詳解】
由，得或．
∴的定義域為；
令，任取，
則，
因為，，，所以，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增；
又，∴在上為單調(diào)遞減，
且當；
函數(shù)在有且只有一個零點，
即在有且只有一個解，∵函數(shù)在的值域為，
∴取值范圍是．
【小問2詳解】
假設(shè)存在這樣的實數(shù)，使得當?shù)亩x域為時，值域為，
由且，可得．
又由（1）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).
則在上為減函數(shù)，得.
即在上有兩個互異實根，由得，
即，有兩個大于1的相異零點.
由，函數(shù)開口向上，且對稱軸為，
則，解得．
故存在這樣的實數(shù)符合題意．

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