（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）
注意事項：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名?班級?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米，黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A.2 B. C.4 D.
3.梯形（如圖）是一水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測），若軸，軸，，則平面圖形的面積是（ ）
A. B. C.20 D.10
4.已知向量滿足，則為（ ）
A. B. C. D.
5.若為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
6.在中，為邊上的點(diǎn)且，則（ ）
A. B.
C. D.
7.已知三棱錐的所有棱長均為，球?yàn)槿忮F的外接球，則球的體積為（ ）
A. B. C. D.
8.已知中，點(diǎn)在邊上，.當(dāng)取得最小值時，則的值為（ ）
A. B. C. D.
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.下列四個正方體圖形中，為正方體的兩個頂點(diǎn)，分別為其所在棱的中點(diǎn)，則平面的圖形是（ ）
A. B.
C. D.
10.初春時節(jié)，南部戰(zhàn)區(qū)海軍某登陸艦支隊多艘艦艇組成編隊，奔赴多個海區(qū)開展實(shí)戰(zhàn)化海上訓(xùn)練.在一次海上訓(xùn)練中，雷達(dá)兵在處發(fā)現(xiàn)在北偏東方向，相距30公里的水面處，有一艘艦艇發(fā)出液貨補(bǔ)給需求，它正以每小時50公里的速度沿南偏東方向前進(jìn)，這個雷達(dá)兵立馬協(xié)調(diào)在處的艦艇以每小時70公里的速度，沿北偏東方向與艦艇對接并進(jìn)行橫向液貨補(bǔ)給.若規(guī)艇要在最短的時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)橫向液貨補(bǔ)給，則（ ）
A.艦艇所需的時間為2小時
B.艦艇與艦艇對接時距離雷達(dá)兵（處）距離為70公里
C.
D.艦艇與艦艇對接時距離處為50公里
11.已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為為底面直徑，，點(diǎn)在底面圓周上，且二面角為，則（ ）
A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側(cè)面積為
C. D.的面積為2
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，則__________.
13.底面邊長為的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為__________.
14.在中，已知角所對的邊分別為，若，則角的最大值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知棱長為1的正方體中.
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成的角.
16.（15分）已知中三個內(nèi)角所對的邊為，且.
（1）若，求的值；
（2）若時，求的周長.
17.（15分）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請說明理由.
18.（17分）如圖，邊長為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).將，分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積；
（3）求二面角的正弦值.
19.（17分）在中，角的對邊分別是，滿足.
（1）求角的大??；
（2）若點(diǎn)在邊上，且是的角平分線，且，求的最小值.
2024年春季學(xué)期高一年級校聯(lián)體第二次聯(lián)考
數(shù)學(xué)科參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
1.【答案】A
【詳解】因?yàn)?，故，故，即為第一象限，故選：A.
2.【答案】D
【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則，解得，故選：D.
3.【答案】C
【詳解】根據(jù)題意還原成平面圖形，則為直角梯形，，，所以面積為，故選：C.
4.【答案】C
【詳解】：因?yàn)?，即?br>則，整理得，
又因?yàn)?，即?br>則，所以.故選C.
5.【答案】B
【詳解】選項有可能在平面內(nèi)，故A錯誤；
選項B，因，則，使得.因，
則，使得，即，故B正確；
選項C，有可能在平面內(nèi)，故C錯誤；
選項D，有可能在平面內(nèi)，故錯誤.故選：B.
6.【答案】B
【詳解】由題意得，，所以，
所以.故選：B.
7.【答案】C
【詳解】因?yàn)槿忮F的所有棱長均為，故可把已知
三棱錐放置在正方體上，如圖所示，
設(shè)正方體的棱長為，則，解得，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，故球的半徑，
所以球的體積，故選C.
8.【答案】D
【詳解】設(shè)，
則在中，，
在中，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以當(dāng)取最小值時，.
所以.故選D.
9.【答案】AD
【詳解】對于A：連接，如圖①所示.由，可知平面平面，所以平面.故選A；
對于B：連接交于，連接，如圖②所示.由于是的中點(diǎn)，不是的中點(diǎn)，所以在平面內(nèi)與相交，所以直線與平面相交，故不選B；
對于C：連接，如圖③所示.則，而與相交，即與平面相交，所以直線與平面相交，故不選C；
對于D：連接，如圖④所示.
則，由線面平行的判定定理可知平面.綜上所述，平面的圖形是A和D.
故選：AD
10.【答案】BCD
【詳解】如圖，設(shè)艦艇經(jīng)過小時后在處與艦艇匯合，則
.
根據(jù)余弦定理得，
解得或（舍去），
故.由正弦定理得，
解得.
故選：BCD.
11.【答案】BD
【詳解】依題意，，所以，
A選項，圓錐的體積為A選項錯誤；
B選項，圓錐的側(cè)面積為B選項正確；
C選項，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，
則，所以是二面角
的平面角，則，所以，
故，則C選項錯誤；
D選項，，所以D選項正確.
故選：BD.
12.【答案】
【解析】由，即，可得，所以.故答案為：.
13.【答案】56
【詳解】方法一（割補(bǔ)法）：由于，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的
體積為，
截去的正四棱錐的體積為，
所以棱臺的體積為.
方法二：（臺體的體積公式）棱臺的體積為.故答案為：56.
14.【答案】
【詳解】由余弦定理，代入，得，整理得：，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時取“，因?yàn)?，所以，所以角的最大值?
15.【詳解】如圖，
（1）連接，在正方體中，因?yàn)槠矫?br>平面則，
因?yàn)椋?br>，
所以平面，
又平面，
所以
（2）連接，設(shè)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，則，
因?yàn)椋?br>所以平面，
所以為直線在平面上的射影，為直線與平面所成的角，
因?yàn)檎襟w棱長為1，則，
所以，
故直線與平面所成的角為
16.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，
，
，
（2），
又因?yàn)?，所?br>由余弦定理得，
，即
的周長為.
17.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接.
因?yàn)闉檎襟w，底面為正方形，對角線交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以在中，是的中位線，
所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面
（2）當(dāng)上的點(diǎn)為中點(diǎn)時，即滿足平面平面，
理由如下：
連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以
，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面
由（1）知平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面
18.【詳解】（1）證明：折疊前，因?yàn)樵谡叫沃?，，折疊后即有，
又平面，
所以平面，
（2）由（1）得平面，所以，
由題意知，故，
故；
（3）取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?br>所以有平面平面，
所以即為二面角的平面角，
又由（1）得平面平面，故，
而，
，
故，
即二面角的正弦值為.
19.（1）【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>因?yàn)椋?br>所以，整理得
...
因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，
所以，所以，
所以，即.
又因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，
因?yàn)椋?br>所以，
化簡得，所以，
即.
當(dāng)且僅當(dāng)`，即時，等號成立，
因此的最小值為

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