（考試時間：120分鐘總分：150分）
注意事項：
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義計算即可.
【詳解】由題可得.
故選：C.
2. 已知復數(shù)滿足，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復數(shù)的四則運算即可得解.
【詳解】.
故選：B.
3. 關于空間向量，以下說法正確的是（）
A. 若，則的夾角是鈍角
B. 若，則
C. 若，則
D. 空間中任何兩個向量都是共面向量
【答案】D
【解析】
【分析】由空間向量數(shù)量積的定義即可判斷A，由空間向量的位置關系即可判斷BC，由共面向量的定義即可判斷D.
【詳解】對于，若夾角為，則成立，錯誤；
對于，若，則不一定垂直，錯誤；
對于C，若，當時，不一定平行，C錯誤
對于D，若空間任何兩個向量必然共面，D正確.
故選：D.
4. 直線與直線，則的充要條件是（）
A. 3B. C. 3或D. 1或
【答案】B
【解析】
【分析】由一般式直線方程平行條件求的值，并檢驗.
【詳解】由直線與直線平行，
得，即，即或，
當時，，即，重合，舍去；
當時，，，滿足.
綜上.
故選：B
5. 已知，是不同的直線，，是不同的平面，下列命題中，正確的是（）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，，，則
D. 若，，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)空間中的直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關系和符號表示，判斷選項中的命題是否正確即可．
【詳解】在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；
在B中，若，，則，故B錯誤；
在C中，必須平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，此時兩平面才平行，故C錯誤；
在D中，，時，過作平面，所以，且，所以，故D正確.
故選：D.
6. 已知三邊所在直線方程為，，，則邊上的高所在直線的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)邊上的高和直線垂直得到，聯(lián)立直線和的方程得到，然后寫直線方程即可.
【詳解】設則邊上的高所在直線的斜率為，，，，
聯(lián)立，得，
∴邊上的高所在直線的方程為.
故選：A.
7. 棱長為2的正方體中，是中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】的中點為，有，余弦定理求即可；或建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線所成的角.
【詳解】解法一：連接，取的中點，連接，如圖所示，
分別是的中點，，則是異面直線與所成角或其補角.
正方體棱長為2，面對角線長為，由正方體的結(jié)構(gòu)可知，
中，，，則，
同理，在中，，，
由余弦定理可知.
所以異面直線與所成角的余弦值是.
解法二：以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
有，，
所以異面直線與所成角的余弦值是.
故選：A.
8. 幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點是銳角的一邊上的兩點，試著在邊上找一點，使得最大”.如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓的切點.根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，點在軸上移動，當取得最大值時，該圓的方程是（）
A
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出線段的垂直平分線，依題意圓的圓心在直線上，
故設該圓圓心為，又因為該圓與軸相切，所以圓的半徑，根據(jù)，得到方程求出的值，即可得解.
【詳解】由題意可知，點為過兩點且和軸相切的圓的切點，線段中點坐標為，又，
所以線段的垂直平分線方程為，
所以以為弦的圓的圓心在直線上，
故設該圓圓心為，又因為該圓與軸相切，所以圓的半徑，
又，所以，解得或，
當時，是鈍角，故舍去.
所以此時圓的方程為.
故選：C
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.
9. 在平面直角坐標系中，已知圓，直線與圓相切于點，直線與軸、軸分別交于點.下列說法正確的是（）
A.
B.
C.
D. 若是圓上的動點，則的最大值是
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)直線與圓相切求出直線斜率k判斷A，求出在坐標軸上的截距判斷B，根據(jù)直角三角形判斷C，再由圓上動點與定點的距離轉(zhuǎn)化為圓心到定點距離求最值判斷D.
【詳解】如圖，
因為，
所以圓心到直線的距離等于半徑2，
即，解得直線斜率，所以A正確.
中，令，則，令，則，
，故B正確.
因為點A坐標為，則，所以.
所以選項C正確.
的最大值等于，所以選項D不正確.
故選：ABC
10. 如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點，若，，，則下列正確的是（）
A. B.
C. 的長為D.
【答案】AD
【解析】
【分析】AB選項，根據(jù)空間向量基本定理進行求解；C選項，表達出，平方后由空間向量數(shù)量積公式得到，得到模長；D選項，利用空間向量夾角余弦公式進行求解.
【詳解】A選項，，A正確，
B選項，，B錯誤：
C選項，，
則
，
則，C錯誤：
D選項，對于，
，
故，又，
則，D正確.
故選：AD.
11. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，，側(cè)面為正三角形，則下列說法正確的是（）
A.
B平面平面
C. 二面角的平面角是
D. 三棱錐外接球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，然后根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)即可得到；B選項，根據(jù)二面角平面角的定義得到是二面角的平面角，然后通過勾股定理得到即可說明二面角是直二面角，即可證明面面垂直；C選項，根據(jù)，平面得到，，即可得到是二面角的平面角；D選項，根據(jù)球心的性質(zhì)得到是三棱錐外接球的外心，然后利用勾股定理得到外接球半徑即可求外接球的表面積.
【詳解】
取中點，連接，，
因為和都是等邊三角形，則，，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以，故A正確；
是二面角的平面角，，又，
所以，即，所以二面角是直二面角，
所以平面平面，故B正確；
因為四邊形為菱形，所以，
因為，平面，所以，平面，
因為平面，所以，所以是二面角的平面角，故C錯誤；
因為，平面，所以平面，同理平面，
設分別是和的中心，如圖，作與交于點，
則平面，平面，所以是三棱錐外接球的外心，
由于，是正方形，，而，
所以即為外接球半徑，
三棱錐外接球的表面積為，故D正確.
故選：ABD.
12. 已知與交于兩點，為曲線上的動點，則（）
A. 到直線距離最小值為
B
C. 存在點，使得為等邊三角形
D. 最小值為2
【答案】AB
【解析】
【分析】設，利用點到直線的距離結(jié)合基本不等式即可判斷 A ，求出A, B坐標，計算出的表達式，利用換元法和配方法即可判斷BD，通過假設存在這樣的等邊三角形，利用等邊三角形性質(zhì)求出點M的坐標，再進行驗證即可.
【詳解】設，
對A，則點到直線的距離，
當且僅當，即時等號成立，故A正確；
對，聯(lián)立有，解得或，
則不妨假設，
則，
令則，
則，
當，即，即或（舍去）時取等，故B正確.，D不正確，最小值為1.
對C，若要為等邊三角形，則首先點為線段的垂直平分線和曲線的交點，則垂直平分線的所在直線的方程為，
將其與曲線聯(lián)立得
解得或（舍去），
此時，而，則
，
則不存在點，使得為等邊三角形，故錯誤.
故選：.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 直線過點且與軸?軸分別交于，兩點，若恰為線段的中點，則直線的方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意設出點，的坐標，利用中點坐標公式求出，，再寫出直線的方程即可.
【詳解】設點?，
由中點坐標公式得：，
解得：，，
由直線過點?，
直線的方程為：，
即.
故答案為：.
14. 已知?是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若滿足，則的最大值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)數(shù)量積公式展開，再化簡，利用三角函數(shù)的有界性求最值.
【詳解】，
，即，.
故答案為：
15. 在平面直角坐標系中，已知，點是直線上一動點，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出點關于的對稱點，利用求解即可.
【詳解】設點關于的對稱點，則,
則，
當且僅當三點共線時等號成立.
故答案為：
16. 已知圓，點，若圓上任意一點都滿足，則實數(shù)的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設點，利用題中條件得到，轉(zhuǎn)化為點到點的距離，進一步得到圓上的點到的距離的最小值大于，列出不等式，解出即可.
【詳解】設點，則
即：，則，
設，即，即圓上的點到點的距離的最小值大于，
又圓心，半徑，則圓上的點到的距離的最小值為，
故只需，即，
解得：
故答案為：.
四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知圓，直線過點.
（1）當直線與圓相切時，求直線的斜率；
（2）線段的端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解出即可；（2）建立點和點之間的關系式，再利用點的坐標滿足的關系式得到點的坐標滿足的條件，即可求出.
【小問1詳解】
已知的圓心是，半徑是，
設直線斜率為
則直線方程是，即，
則圓心到直線距離為，
解得直線的斜率.
【小問2詳解】
設點則，
由點是的中點得，
所以①
因為在圓上運動，所以②
①代入②得，
化簡得點的軌跡方程是.
18. 在中，已知角所對的邊分別為，且.
（1）求；
（2）若的面積為，且，求的周長.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用二倍角公式化簡得到，即可得到；
（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理列方程得到，，然后借助完全平方公式得到，即可求三角形周長.
【小問1詳解】
由，可得，
解得或（舍去），
又，
.
【小問2詳解】
，
，
由得，
又由余弦定理得，，
解得，
的周長為.
19. 如圖，在正四棱柱中，，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）若正四棱柱的外接球的表面積是，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于，連接，則，利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）求出正四棱柱的外接球半徑，進而可求出，根據(jù)，即可求解.
【小問1詳解】
連接交于，連接；
分別是的中點，
平面平面，
平面.
【小問2詳解】
設，正四棱柱的外接球的半徑為，
因為正四棱柱的外接球的表面積，解得，
由題意為正四棱柱的外接球的直徑，
由，得，
解得或（舍），即.
20. 甲、乙兩位同學進行跳繩比賽，比賽規(guī)則如下：進行兩輪跳繩比賽，每人每輪比賽在規(guī)定時間內(nèi)跳繩200次及以上得1分，跳繩不夠200次得0分，兩輪結(jié)束總得分高的為跳繩王，得分相同則進行加賽直至有一方勝出為止.根據(jù)以往成績分析，已知甲在規(guī)定時間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為，乙在規(guī)定時間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為，且每輪比賽中甲、乙兩人跳繩的成績互不影響.
（1）求兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率；
（2）求不進行加賽甲就獲得跳繩王的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由相互獨立事件的概率計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果；
【小問1詳解】
設“甲第輪得一分”，設“乙第i輪得一分”，
設“兩輪比賽甲得分”，設“兩輪比賽乙得分”，
所以兩輪比賽結(jié)束乙得分為1分的概率為；
【小問2詳解】
設“不進行加賽甲就獲得跳繩王”.
所以不進行加賽甲就獲得跳繩王的概率為.
21. 如圖，已知直圓柱的上、下底面圓心分別為，是圓柱的軸截面，正方形內(nèi)接于下底面圓，點是中點，.
（1）求證：平面平面；
（2）若點為線段上的動點，求直線與平面所成角的余弦值的最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）只需證明平面即可；（2）用向量法求角度及基本不等式即可
【小問1詳解】
的中點為中點，，又，可得，
又直圓柱的上、下底面圓心分別為平面
平面.
且平面平面；
又因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，過作軸//，建立如圖所示空間直角坐標系.
則，
所以，
設，
；
設平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
設直線與平面所成角為，
，
令，則時，，
.
22. 已知圓為圓上一點.
（1）求的取值范圍；
（2）圓的圓心為，與圓相交于、兩點，為圓上相異于、的點，直線分別與軸交于點、，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：將轉(zhuǎn)化為動點與定點確定的直線的斜率，然后根據(jù)相切求斜率即可；
方法二：將轉(zhuǎn)化為動點與定點確定的直線的斜率，然后利用勾股定理和傾斜角求斜率即可；
（2）設，，，然后寫出直線和的方程，即可得到，，然后根據(jù)三角形面積公式得到，最后根據(jù)的范圍求最值即可.
【小問1詳解】
方法一：可看做動點與定點確定的直線的斜率，
此時，
過點的直線可設為，即，
圓半徑為2，當點到直線的距離為2時，直線與圓相切，，
解得
則即的取值范圍為；
方法二：可看做動點與定點確定的直線的斜率，
此時，
過點做切線與圓切于點，
則，，根據(jù)勾股定理可得，
則，
同理，，
則即的取值范圍為.
【小問2詳解】
由對稱性，可設，，
設且，則，
直線方程為：，
直線方程為：，
分別令，可得，，
，
觀察易發(fā)現(xiàn)，同在的上側(cè)或下側(cè)，則
，同時，
或，同時，
則
，
于是，，
所以，當時，的取到最大值4.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線求最值或范圍問題：
（1）幾何的思路：通過幾何的知識取求最值或范圍，例如（1）中將轉(zhuǎn)化為斜率；
（2）代數(shù)思路：將要求的用代數(shù)表示出來，然后通過函數(shù)或不等式的思路求最值或范圍.

相關試卷

廣西南寧市2023_2024學年高二數(shù)學上學期10月月考試題含解析：

這是一份廣西南寧市2023_2024學年高二數(shù)學上學期10月月考試題含解析，共18頁。試卷主要包含了考試結(jié)束后，請將答題卡交回， 直線的傾斜角的取值范圍， 已知直線l1， 已知直線等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省2023_2024學年高二數(shù)學上學期10月聯(lián)考試題含解析：

這是一份湖北省2023_2024學年高二數(shù)學上學期10月聯(lián)考試題含解析，共22頁。試卷主要包含了 若，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

重慶市2023_2024學年高二數(shù)學上學期12月聯(lián)考試題含解析：

這是一份重慶市2023_2024學年高二數(shù)學上學期12月聯(lián)考試題含解析，共23頁。試卷主要包含了考試結(jié)束后，將答題卡交回等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

安徽省2023_2024學年高二數(shù)學上學期12月聯(lián)考試題含解析

安徽省2023_2024學年高二數(shù)學上學期12月聯(lián)考試題含解析
湖北省2023_2024學年高二數(shù)學上學期期中聯(lián)考試題含解析

湖北省2023_2024學年高二數(shù)學上學期期中聯(lián)考試題含解析
廣西壯族自治區(qū)2023_2024學年高三數(shù)學上學期11月聯(lián)考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)2023_2024學年高三數(shù)學上學期11月聯(lián)考試題含解析
湖南部分校聯(lián)考2023_2024學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析

湖南部分校聯(lián)考2023_2024學年高二數(shù)學上學期期中試題含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部