1．（2分）2018年中國(guó)與“一帶一路”沿線國(guó)家貨物貿(mào)易進(jìn)出口總額達(dá)到13000億美元．用科學(xué)記數(shù)法表示13000是（ ）
A．0.13×105B．1.3×104C．13×103D．130×102
2．（2分）計(jì)算（a2b）3的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)2b3B．a(chǎn)5b3C．a(chǎn)6bD．a(chǎn)6b3
3．（2分）面積為4的正方形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．4的平方根B．4的算術(shù)平方根
C．4開(kāi)平方的結(jié)果D．4的立方根
4．（2分）實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a＞b且ac＜bc，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可以是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）下列整數(shù)中，與10﹣?zhàn)罱咏氖牵? ）
A．4B．5C．6D．7
6．（2分）如圖，△A'B'C'是由△ABC經(jīng)過(guò)平移得到的，△A'B'C還可以看作是△ABC經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)；②1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對(duì)稱(chēng)；③2次旋轉(zhuǎn)；④2次軸對(duì)稱(chēng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．③④
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）﹣2的相反數(shù)是 ；的倒數(shù)是 ．
8．（2分）計(jì)算﹣的結(jié)果是 ．
9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab的結(jié)果是 ．
10．（2分）已知2+是關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0的一個(gè)根，則m＝ ．
11．（2分）結(jié)合圖，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)定理“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的推理形式：∵ ，∴a∥b．
12．（2分）無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm．
13．（2分）為了了解某區(qū)初中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了該區(qū)500名初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．整理樣本數(shù)據(jù)，得到下表：
根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該區(qū)12000名初中學(xué)生視力不低于4.8的人數(shù)是 ．
14．（2分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝ ．
15．（2分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng) ．
16．（2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是 ．
三、解答題（本大題共11小題，共88分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（7分）計(jì)算（x+y）（x2﹣xy+y2）
18．（7分）解方程：﹣1＝．
19．（7分）如圖，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，CE∥AB，AC與DE相交于點(diǎn)F．求證：△ADF≌△CEF．
20．（8分）如圖是某市連續(xù)5天的天氣情況．
（1）利用方差判斷該市這5天的日最高氣溫波動(dòng)大還是日最低氣溫波動(dòng)大；
（2）根據(jù)如圖提供的信息，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)不同類(lèi)型的結(jié)論．
21．（8分）某校計(jì)劃在暑假第二周的星期一至星期四開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每位學(xué)生選擇兩天參加活動(dòng)．
（1）甲同學(xué)隨機(jī)選擇兩天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，其中有一天是星期二的概率是 ．
22．（7分）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證：PA＝PC．
23．（8分）已知一次函數(shù)y1＝kx+2（k為常數(shù)，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）當(dāng)k＝﹣2時(shí)，若y1＞y2，求x的取值范圍．
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，y1＞y2．結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出k的取值范圍．
24．（8分）如圖，山頂有一塔AB，塔高33m．計(jì)劃在塔的正下方沿直線CD開(kāi)通穿山隧道EF．從與E點(diǎn)相距80m的C處測(cè)得A、B的仰角分別為27°、22°，從與F點(diǎn)相距50m的D處測(cè)得A的仰角為45°．求隧道EF的長(zhǎng)度．
（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
25．（8分）某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造．如圖，原廣場(chǎng)長(zhǎng)50m，寬40m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長(zhǎng)與寬的比為3：2．?dāng)U充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元，擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元．如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元，擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別是多少米？
26．（9分）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．
小明的作法
1．如圖②，在邊AC上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G．
2．以點(diǎn)D為圓心，DG長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E．
3．在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．
（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形．
（2）小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個(gè)數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化……請(qǐng)你繼續(xù)探索，直接寫(xiě)出菱形的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)的取值范圍．
27．（11分）【概念認(rèn)識(shí)】
城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【數(shù)學(xué)理解】
（1）①已知點(diǎn)A（﹣2，1），則d（O，A）＝ ．
②函數(shù)y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，d（O，B）＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ．
（2）函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖②所示．求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C，使d（O，C）＝3．
（3）函數(shù)y＝x2﹣5x+7（x≥0）的圖象如圖③所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d（O，D）的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【問(wèn)題解決】
（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）
2024年江蘇省南京市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．（2分）2018年中國(guó)與“一帶一路”沿線國(guó)家貨物貿(mào)易進(jìn)出口總額達(dá)到13000億美元．用科學(xué)記數(shù)法表示13000是（ ）
A．0.13×105B．1.3×104C．13×103D．130×102
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：13000＝1.3×104
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
2．（2分）計(jì)算（a2b）3的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)2b3B．a(chǎn)5b3C．a(chǎn)6bD．a(chǎn)6b3
【分析】根據(jù)積的乘方法則解答即可．
【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了冪的運(yùn)算，熟練掌握法則是解答本題的關(guān)鍵．積的乘方，等于每個(gè)因式乘方的積．
3．（2分）面積為4的正方形的邊長(zhǎng)是（ ）
A．4的平方根B．4的算術(shù)平方根
C．4開(kāi)平方的結(jié)果D．4的立方根
【分析】已知正方形面積求邊長(zhǎng)就是求面積的算術(shù)平方根；
【解答】解：面積為4的正方形的邊長(zhǎng)是，即為4的算術(shù)平方根；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根；熟練掌握正方形面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系，算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a＞b且ac＜bc，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，先判斷c的正負(fù)．再確定符合條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的大致位置．
【解答】解：因?yàn)閍＞b且ac＜bc，
所以c＜0．
選項(xiàng)A符合a＞b，c＜0條件，故滿(mǎn)足條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置可以是A．
選項(xiàng)B不滿(mǎn)足a＞b，選項(xiàng)C、D不滿(mǎn)足c＜0，故滿(mǎn)足條件的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置不可以是B、C、D．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的位置和不等式的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷c的正負(fù)．
5．（2分）下列整數(shù)中，與10﹣?zhàn)罱咏氖牵? ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由于9＜13＜16，可判斷與4最接近，從而可判斷與10﹣?zhàn)罱咏恼麛?shù)為6．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴與最接近的是4，
∴與10﹣?zhàn)罱咏氖?．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，熟練掌握估算無(wú)理數(shù)的方法是解本題的關(guān)鍵．
6．（2分）如圖，△A'B'C'是由△ABC經(jīng)過(guò)平移得到的，△A'B'C還可以看作是△ABC經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)；②1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對(duì)稱(chēng)；③2次旋轉(zhuǎn)；④2次軸對(duì)稱(chēng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．③④
【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱(chēng)變換，即可使△ABC與△A'B'C'重合．
【解答】解：先將△ABC繞著B(niǎo)'C的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，再將所得的三角形繞著B(niǎo)'C'的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，即可得到△A'B'C'；
先將△ABC沿著B(niǎo)'C的垂直平分線翻折，再將所得的三角形沿著B(niǎo)'C'的垂直平分線翻折，即可得到△A'B'C'；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了幾何變換的類(lèi)型，在軸對(duì)稱(chēng)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對(duì)稱(chēng)軸，且這兩條直線的夾角被對(duì)稱(chēng)軸平分．在旋轉(zhuǎn)變換下，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
7．（2分）﹣2的相反數(shù)是 2 ；的倒數(shù)是 2 ．
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，可得答案．
【解答】解：﹣2的相反數(shù)是 2；的倒數(shù)是 2，
故答案為：2，2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倒數(shù)，分子分母交換位置是求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的關(guān)鍵．
8．（2分）計(jì)算﹣的結(jié)果是 0 ．
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣2＝0．
故答案為0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab的結(jié)果是 （a+b）2 ．
【分析】直接利用多項(xiàng)式乘法去括號(hào)，進(jìn)而合并同類(lèi)項(xiàng)，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（a﹣b）2+4ab
＝a2﹣2ab+b2+4ab
＝a2+2ab+9b2
＝（a+b）2．
故答案為：（a+b）2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了運(yùn)用公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．
10．（2分）已知2+是關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0的一個(gè)根，則m＝ 1 ．
【分析】把x＝2+代入方程得到關(guān)于m的方程，然后解關(guān)于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，
解得m＝1．
故答案為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
11．（2分）結(jié)合圖，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)定理“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的推理形式：∵ ∠1+∠3＝180° ，∴a∥b．
【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平）．
故答案為：∠1+∠3＝180°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行的判定，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．
12．（2分）無(wú)蓋圓柱形杯子的展開(kāi)圖如圖所示．將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．
【分析】根據(jù)題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：由題意可得：
杯子內(nèi)的筷子長(zhǎng)度為：＝15，
則筷子露在杯子外面的筷子長(zhǎng)度為：20﹣15＝5（cm）．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
13．（2分）為了了解某區(qū)初中學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了該區(qū)500名初中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．整理樣本數(shù)據(jù)，得到下表：
根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該區(qū)12000名初中學(xué)生視力不低于4.8的人數(shù)是 7200 ．
【分析】用總?cè)藬?shù)乘以樣本中視力不低于4.8的人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的比例即可得．
【解答】解：估計(jì)該區(qū)12000名初中學(xué)生視力不低于4.8的人數(shù)是12000×＝7200（人），
故答案為：7200．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用樣本估計(jì)總體，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與方差 ）．一般來(lái)說(shuō)，用樣本去估計(jì)總體時(shí)，樣本越具有代表性、容量越大，這時(shí)對(duì)總體的估計(jì)也就越精確．
14．（2分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A+∠C＝ 219° ．
【分析】連接AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到結(jié)論．
【解答】解：連接AB，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，
∵∠DAB+∠C＝180°，
∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，
故答案為：219°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，則AC的長(zhǎng) ．
【分析】作AM⊥BC于E，由角平分線的性質(zhì)得出＝＝，設(shè)AC＝2x，則BC＝3x，由線段垂直平分線得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出＝＝，NE＝x，BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果．
【解答】解：作AM⊥BC于E，如圖所示：
∵CD平分∠ACB，
∴＝＝，
設(shè)AC＝2x，則BC＝3x，
∵M(jìn)N是BC的垂直平分線，
∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，
∴MN∥AE，
∴＝＝，
∴NE＝x，
∴BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，
由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，
即52﹣（x）2＝（2x）2﹣（x）2，
解得：x＝，
∴AC＝2x＝；
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，則BC的長(zhǎng)的取值范圍是 4＜BC≤ ．
【分析】作△ABC的外接圓，求出當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，BC是直徑最長(zhǎng)＝；當(dāng)∠BAC＝∠ABC時(shí)，△ABC是等邊三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：作△ABC的外接圓，如圖所示：
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，BC是直徑最長(zhǎng)，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝；
當(dāng)∠BAC＝∠ABC時(shí)，△ABC是等邊三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC長(zhǎng)的取值范圍是4＜BC≤；
故答案為：4＜BC≤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)；作出△ABC的外接圓進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共11小題，共88分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．（7分）計(jì)算（x+y）（x2﹣xy+y2）
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，可表示為（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，計(jì)算即可．
【解答】解：（x+y）（x2﹣xy+y2），
＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，
＝x3+y3．
故答案為：x3+y3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則．注意不要漏項(xiàng)，漏字母，有同類(lèi)項(xiàng)的合并同類(lèi)項(xiàng)．
18．（7分）解方程：﹣1＝．
【分析】方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（x+1）（x﹣1）化為整式方程，然后解方程即可，最后進(jìn)行檢驗(yàn)．
【解答】解：方程兩邊都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，
即x2+x﹣x2+1＝3，
解得x＝2
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．
19．（7分）如圖，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，CE∥AB，AC與DE相交于點(diǎn)F．求證：△ADF≌△CEF．
【分析】依據(jù)四邊形DBCE是平行四邊形，即可得出BD＝CE，依據(jù)CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
【解答】證明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四邊形DBCE是平行四邊形，
∴BD＝CE，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，
∴AD＝EC，
∵CE∥AD，
∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，
∴△ADF≌△CEF（ASA）．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定，兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
20．（8分）如圖是某市連續(xù)5天的天氣情況．
（1）利用方差判斷該市這5天的日最高氣溫波動(dòng)大還是日最低氣溫波動(dòng)大；
（2）根據(jù)如圖提供的信息，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)不同類(lèi)型的結(jié)論．
【分析】（1）方差：一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差；
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差，通常用s2來(lái)表示，計(jì)算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可簡(jiǎn)單記憶為“方差等于差方的平均數(shù)”）．
【解答】解：（1）這5天的日最高氣溫和日最低氣溫的平均數(shù)分別是
＝＝24，＝＝18，
方差分別是
＝＝0.8，
＝＝8.8，
∴＜，
∴該市這5天的日最低氣溫波動(dòng)大；
（2）25日、26日、27日的天氣依次為大雨、中雨、晴，空氣質(zhì)量依次良、優(yōu)、優(yōu)，說(shuō)明下雨后空氣質(zhì)量改善了．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差，正確理解方差的意義是解題的關(guān)鍵．方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．
21．（8分）某校計(jì)劃在暑假第二周的星期一至星期四開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每位學(xué)生選擇兩天參加活動(dòng)．
（1）甲同學(xué)隨機(jī)選擇兩天，其中有一天是星期二的概率是多少？
（2）乙同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，其中有一天是星期二的概率是 ．
【分析】（1）由樹(shù)狀圖得出共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中有一天是星期二的結(jié)果有6個(gè)，由概率公式即可得出結(jié)果；
（2）乙同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，共有3個(gè)等可能的結(jié)果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的結(jié)果有2個(gè)，由概率公式即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖所示：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中有一天是星期二的結(jié)果有6個(gè)，
∴甲同學(xué)隨機(jī)選擇兩天，其中有一天是星期二的概率為＝；
（2）乙同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，共有3個(gè)等可能的結(jié)果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；
其中有一天是星期二的結(jié)果有2個(gè)，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），
∴乙同學(xué)隨機(jī)選擇連續(xù)的兩天，其中有一天是星期二的概率是；
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
22．（7分）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證：PA＝PC．
【分析】連接AC，由圓心角、弧、弦的關(guān)系得出＝，進(jìn)而得出＝，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等得出∠C＝∠A，根據(jù)等角對(duì)等邊證得結(jié)論．
【解答】證明：連接AC，
∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
23．（8分）已知一次函數(shù)y1＝kx+2（k為常數(shù)，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）當(dāng)k＝﹣2時(shí)，若y1＞y2，求x的取值范圍．
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，y1＞y2．結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出k的取值范圍．
【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；
（2）先計(jì)算出x＝1對(duì)應(yīng)的y2的函數(shù)值，然后根據(jù)x＜1時(shí)，一次函數(shù)y1＝kx+2（k為常數(shù)，k≠0）的圖象在直線y2＝x﹣3的上方確定k的范圍．
【解答】解：（1）k＝﹣2時(shí)，y1＝﹣2x+2，
根據(jù)題意得﹣2x+2＞x﹣3，
解得x＜；
（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，
當(dāng)﹣4≤k＜0時(shí)，y1＞y2；
當(dāng)0＜k≤1時(shí)，y1＞y2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
24．（8分）如圖，山頂有一塔AB，塔高33m．計(jì)劃在塔的正下方沿直線CD開(kāi)通穿山隧道EF．從與E點(diǎn)相距80m的C處測(cè)得A、B的仰角分別為27°、22°，從與F點(diǎn)相距50m的D處測(cè)得A的仰角為45°．求隧道EF的長(zhǎng)度．
（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）
【分析】延長(zhǎng)AB交CD于H，利用正切的定義用CH表示出AH、BH，根據(jù)題意列式求出CH，計(jì)算即可．
【解答】解：延長(zhǎng)AB交CD于H，
則AH⊥CD，
在Rt△AHD中，∠D＝45°，
∴AH＝DH，
在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，
∴AH＝CH?tan∠ACH≈0.51CH，
在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，
∴BH＝CH?tan∠BCH≈0.4CH，
由題意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，
解得，CH＝300，
∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，
∴AH＝AB+BH＝153，
∴DH＝AH＝153，
∴HF＝DH﹣DF＝103，
∴EF＝EH+FH＝323，
答：隧道EF的長(zhǎng)度為323m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
25．（8分）某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造．如圖，原廣場(chǎng)長(zhǎng)50m，寬40m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長(zhǎng)與寬的比為3：2．?dāng)U充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元，擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元．如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元，擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別是多少米？
【分析】設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm，根據(jù)矩形的面積公式和總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量列出方程并解答．
【解答】解：設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為3xm，寬為2xm，
依題意得：3x?2x?100+30（3x?2x﹣50×40）＝642000
解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．
所以3x＝90，2x＝60，
答：擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長(zhǎng)為90m，寬為60m．
【點(diǎn)評(píng)】題考查了列二元一次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量的運(yùn)用，解答時(shí)找準(zhǔn)題目中的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵．
26．（9分）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E、F在邊AB上，點(diǎn)G在邊BC上．
小明的作法
1．如圖②，在邊AC上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于點(diǎn)G．
2．以點(diǎn)D為圓心，DG長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E．
3．在EB上截取EF＝ED，連接FG，則四邊形DEFG為所求作的菱形．
（1）證明小明所作的四邊形DEFG是菱形．
（2）小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個(gè)數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化……請(qǐng)你繼續(xù)探索，直接寫(xiě)出菱形的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的四邊形是菱形證明即可．
（2）求出幾種特殊位置的CD的值判斷即可．
【解答】（1）證明：∵DE＝DG，EF＝DE，
∴DG＝EF，
∵DG∥EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形，
∵DG＝DE，
∴四邊形DEFG是菱形．
（2）如圖1中，當(dāng)四邊形DEFG是正方形時(shí)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
則CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴+x＝3，
∴x＝，
∴CD＝x＝，
觀察圖象可知：0≤CD＜時(shí)，菱形的個(gè)數(shù)為0．
如圖2中，當(dāng)四邊形DAEG是菱形時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為m．
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
∴CD＝3﹣＝，
如圖3中，當(dāng)四邊形DEBG是菱形時(shí)，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為n．
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝，
∴CD＝＝，
觀察圖象可知：當(dāng)0≤CD＜或＜CD≤時(shí)，菱形的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)CD＝或＜CD≤時(shí)，菱形的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)＜CD≤時(shí)，菱形的個(gè)數(shù)為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，作圖﹣復(fù)雜作圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型，題目有一定難度．
27．（11分）【概念認(rèn)識(shí)】
城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【數(shù)學(xué)理解】
（1）①已知點(diǎn)A（﹣2，1），則d（O，A）＝ 3 ．
②函數(shù)y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，d（O，B）＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 （1，2） ．
（2）函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖②所示．求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C，使d（O，C）＝3．
（3）函數(shù)y＝x2﹣5x+7（x≥0）的圖象如圖③所示，D是圖象上一點(diǎn)，求d（O，D）的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)．
【問(wèn)題解決】
（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點(diǎn)，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫(huà)出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）
【分析】（1）①根據(jù)定義可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由兩點(diǎn)間距離：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及點(diǎn)B是函數(shù)y＝﹣2x+4的圖象上的一點(diǎn)，可得出方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由條件知x＞0，根據(jù)題意得，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可證得該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C，使d（O，C）＝3．
（3）根據(jù)條件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去絕對(duì)值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；
（4）以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將函數(shù)y＝﹣x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，設(shè)交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN，垂足為H，修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處，可由d（O，P）≥d（O，E）證明結(jié)論即可．
【解答】解：（1）①由題意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②設(shè)B（x，y），由定義兩點(diǎn)間的距離可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴，
解得：，
∴B（1，2），
故答案為：3，（1，2）；
（2）假設(shè)函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)C（x，y）使d（O，C）＝3，
根據(jù)題意，得，
∵x＞0，
∴，，
∴，
∴x2+4＝3x，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C，使d（O，C）＝3．
（3）設(shè)D（x，y），
根據(jù)題意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，
∵，
又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，d（O，D）有最小值3，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2，1）．
（4）如圖，以M為原點(diǎn)，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將函數(shù)y＝﹣x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點(diǎn)時(shí)停止，
設(shè)交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥MN，垂足為H，修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處．
理由：設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線l1與x軸相交于點(diǎn)F．在景觀湖邊界所在曲線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l2∥l1，l2與x軸相交于點(diǎn)G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有新定義，解方程（組），二次函數(shù)的性質(zhì)等．
視力
4.7以下
4.7
4.8
4.9
4.9以上
人數(shù)
102
98
80
93
127
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