1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．（4分）計(jì)算a3?（﹣a）的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)2 B．﹣a2C．a(chǎn)4D．﹣a4
3．（4分）一個(gè)由圓柱和長(zhǎng)方體組成的幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）2024年“五一”假日期間，我省銀聯(lián)網(wǎng)絡(luò)交易總金額接近161億元，其中161億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
5．（4分）已知點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
6．（4分）在某時(shí)段由50輛車通過一個(gè)雷達(dá)測(cè)速點(diǎn)，工作人員將測(cè)得的車速繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這50輛車的車速的眾數(shù)（單位：km/h）為（ ）
A．60B．50C．40D．15
7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G．若EF＝EG，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
8．（4分）據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，2018年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為90.3萬億，比2017年增長(zhǎng)6.6%．假設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率保持不變，則國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是（ ）
A．2024年B．2020年C．2021年D．2022年
9．（4分）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，則（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
10．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．4C．6D．8
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．（5分）計(jì)算÷的結(jié)果是 ．
12．（5分）命題“如果a+b＝0，那么a，b互為相反數(shù)”的逆命題為 ．
13．（5分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為 ．
14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的圖象相交于P，Q兩點(diǎn)．若平移直線l，可以使P，Q都在x軸的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．
16．（8分）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的12×12的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）為端點(diǎn)的線段AB．
（1）將線段AB向右平移5個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到線段CD，請(qǐng)畫出線段CD．
（2）以線段CD為一邊，作一個(gè)菱形CDEF，且點(diǎn)E，F(xiàn)也為格點(diǎn)．（作出一個(gè)菱形即可）
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．（8分）為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長(zhǎng)為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工．甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多掘進(jìn)2米，按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天？
18．（8分）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：＝+，
第2個(gè)等式：＝+，
第3個(gè)等式：＝+，
第4個(gè)等式：＝+，
第5個(gè)等式：＝+，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示），并證明．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．（10分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓．已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB＝41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
20．（10分）如圖，點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求證：△BCE≌△ADF；
（2）設(shè)?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值．
六、（本題滿分12分）
21．（12分）為監(jiān)控某條生產(chǎn)線上產(chǎn)品的質(zhì)量，檢測(cè)員每個(gè)相同時(shí)間抽取一件產(chǎn)品，并測(cè)量其尺寸，在一天的抽檢結(jié)束后，檢測(cè)員將測(cè)得的個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序整理成如下表格：
按照生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品等次規(guī)定如下：
注：在統(tǒng)計(jì)優(yōu)等品個(gè)數(shù)時(shí)，將特等品計(jì)算在內(nèi)；在統(tǒng)計(jì)合格品個(gè)數(shù)時(shí)，將優(yōu)等品（含特等品）計(jì)算在內(nèi)．
（1）已知此次抽檢的合格率為80%，請(qǐng)判斷編號(hào)為?的產(chǎn)品是否為合格品，并說明理由．
（2）已知此次抽檢出的優(yōu)等品尺寸的中位數(shù)為9cm．
（i）求a的值；
（ii）將這些優(yōu)等品分成兩組，一組尺寸大于9cm，另一組尺寸不大于9cm，從這兩組中各隨機(jī)抽取1件進(jìn)行復(fù)檢，求抽到的2件產(chǎn)品都是特等品的概率．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）一次函數(shù)y＝kx+4與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)
（1）求k，a，c的值；
（2）過點(diǎn)A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記W＝OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值．
八、（本題滿分14分）
23．（14分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求證：△PAB∽△PBC；
（2）求證：PA＝2PC；
（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．
2024年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．
1．（4分）在﹣2，﹣1，0，1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【分析】有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而小，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得
﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴在﹣2，﹣1，0，1這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是﹣2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的其值反而?。?br>2．（4分）計(jì)算a3?（﹣a）的結(jié)果是（ ）
A．a(chǎn)2 B．﹣a2C．a(chǎn)4D．﹣a4
【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則求出答案．
【解答】解：a3?（﹣a）＝﹣a3?a＝﹣a4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．
3．（4分）一個(gè)由圓柱和長(zhǎng)方體組成的幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中．
【解答】解：幾何體的俯視圖是：
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的正面看得到的視圖．
4．（4分）2024年“五一”假日期間，我省銀聯(lián)網(wǎng)絡(luò)交易總金額接近161億元，其中161億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：根據(jù)題意161億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.61×1010 ．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
5．（4分）已知點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A'的坐標(biāo)為（1，3），然后把A′的坐標(biāo)代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：點(diǎn)A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．
6．（4分）在某時(shí)段由50輛車通過一個(gè)雷達(dá)測(cè)速點(diǎn)，工作人員將測(cè)得的車速繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這50輛車的車速的眾數(shù)（單位：km/h）為（ ）
A．60B．50C．40D．15
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得．
【解答】解：由條形圖知，50個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第25、26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即中位數(shù)為＝＝40，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查眾數(shù)，熟練掌握眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段AD上，EF⊥AC于點(diǎn)F，EG⊥EF交AB于點(diǎn)G．若EF＝EG，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
【分析】根據(jù)題意和三角形相似的判定和性質(zhì)，可以求得CD的長(zhǎng)，本題得以解決．
【解答】解：作DH∥EG交AB于點(diǎn)H，則△AEG∽△ADH，
∴，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
設(shè)DH＝x，則CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴，
即，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
8．（4分）據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，2018年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為90.3萬億，比2017年增長(zhǎng)6.6%．假設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率保持不變，則國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是（ ）
A．2024年B．2020年C．2021年D．2022年
【分析】根據(jù)題意分別求出2024年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值、2020年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值，得到答案．
【解答】解：2024年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（萬億），
2020年全年國內(nèi)生產(chǎn)總值為：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（萬億），
∴國內(nèi)生產(chǎn)總值首次突破100萬億的年份是2020年，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則、正確列出算式是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，則（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】根據(jù)a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b與a、c的關(guān)系，從而可以判斷b的正負(fù)和b2﹣ac的正負(fù)情況，本題得以解決．
【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷出b和b2﹣ac的正負(fù)情況．
10．（4分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，點(diǎn)P在正方形的邊上，則滿足PE+PF＝9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．4C．6D．8
【分析】作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，可得點(diǎn)N到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】解：如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，
∴EC＝8，F(xiàn)C＝4，
∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱
∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°
∴∠ACM＝90°
∴EM＝＝4
則在線段BC存在點(diǎn)N到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為4＜9
∴在線段BC上點(diǎn)N的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使PE+PF＝9，
同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF＝9．
即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足PE+PF＝9，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，最短路徑問題，在BC上找到點(diǎn)N使點(diǎn)N到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小是本題的關(guān)鍵．
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．（5分）計(jì)算÷的結(jié)果是 3 ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把化簡(jiǎn)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：．
故答案為：3
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的乘除法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
12．（5分）命題“如果a+b＝0，那么a，b互為相反數(shù)”的逆命題為 如果a，b互為相反數(shù)，那么a+b＝0 ．
【分析】根據(jù)互逆命題的定義寫出逆命題即可．
【解答】解：命題“如果a+b＝0，那么a，b互為相反數(shù)”的逆命題為：
如果a，b互為相反數(shù)，那么a+b＝0；
故答案為：如果a，b互為相反數(shù)，那么a+b＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題與定理、互逆命題，掌握逆命題的確定方法是解題的關(guān)鍵．
13．（5分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為 ．
【分析】連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連接BE，于是得到∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于E，連接BE，
則∠E＝∠A＝30°，∠EBC＝90°，
∵⊙O的半徑為2，
∴CE＝4，
∴BC＝CE＝2，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
14．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的圖象相交于P，Q兩點(diǎn)．若平移直線l，可以使P，Q都在x軸的下方，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a＞1或a＜﹣1 ．
【分析】由y＝x﹣a+1與x軸的交點(diǎn)為（1﹣a，0），可知當(dāng)P，Q都在x軸的下方時(shí)，x直線l與x軸的交點(diǎn)要在（1﹣a，0）的左側(cè)，即可求解；
【解答】解：y＝x﹣a+1與x軸的交點(diǎn)為（1﹣a，0），
∵平移直線l，可以使P，Q都在x軸的下方，
∴當(dāng)x＝1﹣a時(shí)，y＝（1﹣a）2﹣2a（1﹣a）＜0，
∴a2﹣1＞0，
∴a＞1或a＜﹣1；
故答案為a＞1或a＜﹣1；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)圖象及性質(zhì)；數(shù)形結(jié)合的分析問題，將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＝1﹣a時(shí)，二次函數(shù)y＜0是解題的關(guān)鍵．
三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．（8分）解方程：（x﹣1）2＝4．
【分析】利用直接開平方法，方程兩邊直接開平方即可．
【解答】解：兩邊直接開平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直接開平方法，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號(hào)且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號(hào)且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．
（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點(diǎn)．
16．（8分）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的12×12的網(wǎng)格中，給出了以格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）為端點(diǎn)的線段AB．
（1）將線段AB向右平移5個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到線段CD，請(qǐng)畫出線段CD．
（2）以線段CD為一邊，作一個(gè)菱形CDEF，且點(diǎn)E，F(xiàn)也為格點(diǎn)．（作出一個(gè)菱形即可）
【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出C，D點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用菱形的判定方法進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：線段CD即為所求；
（2）如圖：菱形CDEF即為所求，答案不唯一．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定以及平移變換，正確掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．
四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．（8分）為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長(zhǎng)為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)負(fù)責(zé)施工．甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米．已知甲工程隊(duì)每天比乙工程隊(duì)多掘進(jìn)2米，按此速度完成這項(xiàng)隧道貫穿工程，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作多少天？
【分析】設(shè)甲工程隊(duì)每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)（x﹣2）米．根據(jù)“甲工程隊(duì)獨(dú)立工作2天后，乙工程隊(duì)加入，兩工程隊(duì)又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進(jìn)26米”列出方程，然后求工作時(shí)間．
【解答】解：設(shè)甲工程隊(duì)每天掘進(jìn)x米，則乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)（x﹣2）米，
由題意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程隊(duì)每天掘進(jìn)5米，
（天）
答：甲乙兩個(gè)工程隊(duì)還需聯(lián)合工作10天．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出兩隊(duì)的工效，進(jìn)而得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
18．（8分）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：＝+，
第2個(gè)等式：＝+，
第3個(gè)等式：＝+，
第4個(gè)等式：＝+，
第5個(gè)等式：＝+，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)已知等式即可得；
（2）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，再利用分式的混合運(yùn)算法則驗(yàn)證即可．
【解答】解：（1）第6個(gè)等式為：，
故答案為：；
（2）
證明：∵右邊＝＝左邊．
∴等式成立，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出的規(guī)律，并熟練加以運(yùn)用．
五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．（10分）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具．如圖1，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理．如圖2，筒車盛水桶的運(yùn)行軌跡是以軸心O為圓心的圓．已知圓心在水面上方，且圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，∠OAB＝41.3°，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)（C，O的連線垂直于AB），求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【分析】連接CO并延長(zhǎng)，與AB交于點(diǎn)D，由CD與AB垂直，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，在直角三角形AOD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OA，進(jìn)而求出OD，由CO+OD求出CD的長(zhǎng)即可．
【解答】解：連接CO并延長(zhǎng)，與AB交于點(diǎn)D，
∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米），
在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，
∴cs41.3°＝，即OA＝＝＝4（米），
tan41.3°＝，即OD＝AD?tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
則CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，垂徑定理，以及圓周角定理，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求證：△BCE≌△ADF；
（2）設(shè)?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值．
【分析】（1）根據(jù)ASA證明：△BCE≌△ADF；
（2）根據(jù)點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，可知：S△BEC+S△AED＝S?ABCD，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EAB+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）∵點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，
∴S△BEC+S△AED＝S?ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四邊形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S?ABCD，
∵?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，
∴＝＝2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用三角形和平行四邊形邊的關(guān)系得出面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．
六、（本題滿分12分）
21．（12分）為監(jiān)控某條生產(chǎn)線上產(chǎn)品的質(zhì)量，檢測(cè)員每個(gè)相同時(shí)間抽取一件產(chǎn)品，并測(cè)量其尺寸，在一天的抽檢結(jié)束后，檢測(cè)員將測(cè)得的個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序整理成如下表格：
按照生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品等次規(guī)定如下：
注：在統(tǒng)計(jì)優(yōu)等品個(gè)數(shù)時(shí)，將特等品計(jì)算在內(nèi)；在統(tǒng)計(jì)合格品個(gè)數(shù)時(shí)，將優(yōu)等品（含特等品）計(jì)算在內(nèi)．
（1）已知此次抽檢的合格率為80%，請(qǐng)判斷編號(hào)為?的產(chǎn)品是否為合格品，并說明理由．
（2）已知此次抽檢出的優(yōu)等品尺寸的中位數(shù)為9cm．
（i）求a的值；
（ii）將這些優(yōu)等品分成兩組，一組尺寸大于9cm，另一組尺寸不大于9cm，從這兩組中各隨機(jī)抽取1件進(jìn)行復(fù)檢，求抽到的2件產(chǎn)品都是特等品的概率．
【分析】（1）由15×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3個(gè)，給出的數(shù)據(jù)只有①②兩個(gè)不合格可得答案；
（2）（i）由可得答案；（ii）由特等品為⑦⑧⑨⑩，畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解可得．
【解答】解：（1）不合格．
因?yàn)?5×80%＝12，不合格的有15﹣12＝3個(gè)，給出的數(shù)據(jù)只有①②兩個(gè)不合格；
（2）（i）優(yōu)等品有⑥～?，中位數(shù)在⑧8.98，⑨a之間，
∴，
解得a＝9.02
（ii）大于9cm的有⑨⑩?，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品為⑦⑧⑨⑩
畫樹狀圖為：
共有九種等可能的情況，其中抽到兩種產(chǎn)品都是特等品的情況有4種．
∴抽到兩種產(chǎn)品都是特等品的概率P＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是利用樹狀圖求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
七、（本題滿分12分）
22．（12分）一次函數(shù)y＝kx+4與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)
（1）求k，a，c的值；
（2）過點(diǎn)A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象相交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記W＝OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值．
【分析】（1）由交點(diǎn)為（1，2），代入y＝kx+4，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函數(shù)的頂點(diǎn)在y軸上，即x＝0，則可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求c值，最后可求a的值
（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0，可求x的值，再利用根與系數(shù)的關(guān)系式，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得，k+4＝﹣2，解得k＝﹣2，
又∵二次函數(shù)頂點(diǎn)為（0，4），
∴c＝4
把（1，2）帶入二次函數(shù)表達(dá)式得a+c＝2，解得a＝﹣2
（2）由（1）得二次函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴，設(shè)B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，m）（x2，m），則，
∴W＝OA2+BC2＝
∴當(dāng)m＝1時(shí)，W取得最小值7
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，此類問題，通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再利用根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可．
八、（本題滿分14分）
23．（14分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求證：△PAB∽△PBC；
（2）求證：PA＝2PC；
（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12＝h2?h3．
【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出∠PBC＝∠PAB，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出Rt△AEP∽R(shí)t△CDP，得出，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，判斷出，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
又∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°
∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC
∴
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于點(diǎn)D，E，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°
∴∠APC＝90°，
∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°
∴∠EAP＝∠PCD，
∴Rt△AEP∽R(shí)t△CDP，
∴，即，
∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴
∴．
即：h12＝h2?h3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出∠EAP＝∠PCD是解本題的關(guān)鍵．
編號(hào)
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
?
?
?
?
?
尺寸（cm）
8.72
8.88
8.92
8.93
8.94
8.96
8.97
8.98
a
9.03
9.04
9.06
9.07
9.08
b
尺寸（單位：cm）
產(chǎn)品等次
8.97≤x≤9.03
特等品
8.95≤x≤9.05
優(yōu)等品
8.90≤x≤9.10
合格品
x＜8.90或x＞9.10
非合格品
編號(hào)
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
?
?
?
?
?
尺寸（cm）
8.72
8.88
8.92
8.93
8.94
8.96
8.97
8.98
a
9.03
9.04
9.06
9.07
9.08
b
尺寸（單位：cm）
產(chǎn)品等次
8.97≤x≤9.03
特等品
8.95≤x≤9.05
優(yōu)等品
8.90≤x≤9.10
合格品
x＜8.90或x＞9.10
非合格品

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