一、選擇題：本大題共8個小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．下列方程中，①x2+6＝3x；②1x2=7；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．用一個平面去截棱柱、圓錐、棱錐，相同的截面形狀是（ ）
A．長方形B．圓C．三角形D．梯形
3．下列運算正確的是（ ）
A．2m+2＝4mB．m2?m3＝m5C．（2m）3＝6m3D．m3÷m3＝m
4．如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B，C兩點落在B1，C1處，若∠AEB1＝70°，則∠BEF＝（ ）
A．70°B．60°C．65°D．55°
5．黃金分割被很多人認為是“最美比例”，是因為它符合人們的視覺習慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例”的鸚鵡螺，點B是線段AC的黃金分割點，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的長為（ ）cm．
A．24?85B．48?165C．85?8D．165?16
6．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象與反比例函數(shù)y=mx(m≠0)圖象交于點A（﹣1，2），B（2，﹣1），則不等式kx+b≤mx的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2D．﹣1≤x＜0或x≥2
7．下列說法正確的是（ ）
A．對角線相等的平行四邊形是菱形
B．對角線互相垂直的矩形是正方形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形
8．如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（ ）
A．ACCE=BDDFB．ACCD=ECEFC．CEAE=DFBFD．AEAC=BFBD
二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。
9．已知點A（x1，y1）與點B（x2，y2）都在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，且x1＜0＜x2，那么y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
10．我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是215000000米．將數(shù)字215000000用科學記數(shù)法表示為 ．
11．化簡：（x+2?5x?2）÷x?32x?4= ．
12．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，則△DEF的面積為 ．
13．已知△ABC中，D為AB的中點．按以下步驟作圖：①分別以點A、點C圓心，以大于12AC長為半徑作弧；②過兩弧相交的兩點作直線交AC于點AE；③連接DE．若△ADE的周長為5cm，則△ABC的周長為 ．
三、解答題：本大題共5個小題，共48分。
14．（12分）（1）計算：(12)?1?25+(π?2024)0+|3?2|；
（2）解方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
15．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（0，1），B（3，0），C（2，2），（每個方格的邊長均為1個單位長度）．
（1）作△ABC關于y軸的軸對稱圖形△AB2C2，請在平面直角坐標系中畫出△AB2C2，并填寫B(tài)2，C2的坐標．
點B2的坐標為（ ， ）；點C2的坐標為（ ， ）．
（2）△A1B1C1的頂點坐標分別為A1（0，3），B1（6，1），C1（4，5），若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標為（ ， ）．
16．（8分）由天府新區(qū)管委會主辦，四川天府新區(qū)太平街道承辦的“莓好世界．莓好相約”四花卉（果類）生態(tài)旅游節(jié)暨天府新區(qū)第十八屆冬草莓節(jié)在2023年12月9日舉行．某校九年級三班助農(nóng)興趣小組針對本班級同學，就新區(qū)草莓節(jié)的關注程度進行了調查統(tǒng)計，將調查結果分為不關注，關注，比較關注，非常關注四類（分別用A，B，C，D表示），并根據(jù)調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）九年級三班一共 人，其中B類所對應的圓心角為 ．
（2）九年級一共有600名學生，根據(jù)上述調查結果，估計九年級學生選擇D類的有多少人．
（3）為了能夠更好的宣傳新區(qū)草莓節(jié)，現(xiàn)從非常關注草莓節(jié)的甲乙丙丁四名學生中任選兩人撰寫宣傳稿，請用樹狀圖或列表法求恰好選到甲和乙的概率．
17．（10分）如圖，已知菱形ABCD，點E、F是對角線BD所在直線上的兩點，且∠AED＝45°，DF＝BE，連接CE、AF、CF，得四邊形AECF．
（1）求證：四邊形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面積．
18．（10分）如圖，函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象過點A（n，2）和B（85，2n﹣3）兩點．
（1）求n和k的值；
（2）將直線OA沿x軸向左移動得直線DE，交x軸于點D，交y軸于點E，交y=kx（x＞0）于點C，若S△ACO＝6，求直線DE解析式；
（3）在（2）的條件下，第二象限內是否存在點F，使得△DEF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
一、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。
19．如圖，為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為3m的正方形，使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內，現(xiàn)向正方形內隨機投擲小石子（假設小石子落在正方形內每一點都是等可能的），經(jīng)過大量重復投擲試驗，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.25附近，由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積是 m2．
20．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m+1＝0有兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若x12+x22+x1x2＝6，則m的值為 ．
21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=12x+2圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，過該函數(shù)圖象上一點C（4，4）作CD⊥x軸于點D，點E是線段AB上一動點，連接BD，EO，若以B，E，O為頂點的三角形與△BCD相似，則點E的坐標為 ．
22．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，將△BOC沿直線BD翻折得到△BOF，BF交AD于點E，則S△BED＝ ．
23．如圖所示，AB＝4，AC＝2，以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD＝PD，則PB的取值范圍為 ．
二、解答題：本大題共3個小題，共30分。
24．（8分）某菜市場有A、B兩類攤位，A類攤位數(shù)是B類攤位數(shù)的2倍．管理單位每月底按A類每個攤位50元、B類每個攤位80元收取當月管理費，每月可收取管理費4500元，該菜市場全部攤位都有商戶經(jīng)營且各攤位均按時全額繳納管理費．
（1）分別求出該菜市場A、B兩類攤位數(shù)；
（2）為推進環(huán)保袋的使用，管理單位在十月份推出活動一：“使用環(huán)保袋送禮物”，A、B兩類攤位的商戶分別有40%和20%參加了此項活動．為提高大家使用環(huán)保袋的積極性，十一月份準備把活動一升級為活動二：“使用環(huán)保袋抵扣管理費”，同時終止活動一．經(jīng)調查與測算，參加活動一的商戶會全部參加活動二，參加活動二的商戶會顯著增加，這樣，十一月份參加活動二的A類攤位的總個數(shù)將在十月份參加活動一的A類攤位個數(shù)的基礎上增加2a%，每個攤位的管理費將會減少310a%；十一月份參加活動二的B類攤位的總個數(shù)將在十月份參加活動一的B類攤位個數(shù)的基礎上增加6a%，每個攤位的管理費將會減少14a%．
①用含a的代數(shù)式分別表示出十一月份參加活動二的A、B兩類攤位數(shù)；
②若參加活動二的這部分商戶十一月份總共繳納的管理費比他們按原方式共繳納的管理費將減少500元，求a的值．
25．（10分）如圖，直線y=32x與雙曲線y=kx(k≠0)交于A，B兩點，點A的坐標為（m，﹣3），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；
（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）點P是直線AB上一個動點，是否存在點P，使得△OBC與△PBD相似？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
26．1：2是一個很有趣的比．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在AB上截取點D，使AD＝AC，則AD：AB＝1：2，我們稱點D為AB的“趣點”．
（1）若點E為AC的“趣點”（CE＜AE），連接DE，
①求證：S△ADES△ABC=12；
②在AB上方構造△EDF，使△EDF∽△CDB，設EF交CB于點Q．試探究：點Q是否為BC的“趣點”？說明理由．
（2）把（1）中的點E移動到與點A重合，②中條件不變，請在備用圖中畫出圖形，若AB＝6，求CD?QF的值．
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．下列方程中，①x2+6＝3x；②1x2=7；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，直接判斷即可．
【解答】解：方程①③⑤符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
方程②是分式方程，④是二元一次方程．
故選：C．
【點評】本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的條件是解決本題的關鍵．一元二次方程的條件：（1）方程是整式方程；
（2）方程只含有一個未知數(shù)；
（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
2．用一個平面去截棱柱、圓錐、棱錐，相同的截面形狀是（ ）
A．長方形B．圓C．三角形D．梯形
【分析】根據(jù)棱柱、圓錐、棱錐的形狀特點判斷即可．
【解答】解：∵用一個平面去截棱柱、圓錐、棱錐，
∴都能得到的截面圖形是三角形，
故選：C．
【點評】本題考查了幾何體的截面，熟練掌握每一個幾何體的特征是解題的關鍵．
3．下列運算正確的是（ ）
A．2m+2＝4mB．m2?m3＝m5C．（2m）3＝6m3D．m3÷m3＝m
【分析】根據(jù)合并同類項法則；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、2m與2不能合并，故此選項不符合題意；
B、m2?m3＝m5，故此選項符合題意；
C、（2m）3＝8m3，故此選項不符合題意；
D、m3÷m3＝1，故此選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．
4．如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B，C兩點落在B1，C1處，若∠AEB1＝70°，則∠BEF＝（ ）
A．70°B．60°C．65°D．55°
【分析】根據(jù)折疊的性質可得出∠BEF＝∠B1EF，再根據(jù)∠AEB1＝70°，即可得出∠BEF的度數(shù)．
【解答】解：∵把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B，C兩點落在B1，C1處，
∴∠BEF＝∠B1EF，
∵∠AEB1＝70°，∠AEB1+∠BEF+∠AEB1＝180°，
∴∠BEF＝（180°﹣∠AEB1）=12×(180°?70°)=55°．
故選：D．
【點評】本題考查的是平行線的性質以及翻折變換，注意翻折前后不變的邊和角是解此題的關鍵．
5．黃金分割被很多人認為是“最美比例”，是因為它符合人們的視覺習慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例”的鸚鵡螺，點B是線段AC的黃金分割點，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的長為（ ）cm．
A．24?85B．48?165C．85?8D．165?16
【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AB=5?12AC，把AC＝16代入計算即可得到答案．
【解答】解：∵點B是線段AC的黃金分割點（AB＞BC），
∴AB=5?12AC，
∵AC＝16，
∴AB=5?12×16＝85?8，
故選：C．
【點評】本題考查了黃金分割的有關計算，掌握黃金分割的定義是解決本題的關鍵．
6．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象與反比例函數(shù)y=mx(m≠0)圖象交于點A（﹣1，2），B（2，﹣1），則不等式kx+b≤mx的解集是（ ）
A．x≤﹣1或x≥2B．﹣1≤x＜0或0＜x≤2
C．x≤﹣1或0＜x≤2D．﹣1≤x＜0或x≥2
【分析】利用函數(shù)圖象得到當一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象在反比例函數(shù)y=mx(m≠0)圖象下方時x的取值即可．
【解答】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象不在反比例函數(shù)y=mx(m≠0)圖象上方時，x的取值范圍是：﹣1≤x＜0或x≥2，
∴不等式kx+b≤mx的解集是：﹣1≤x＜0或x≥2，
故選：D．
【點評】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結合是解題的關鍵．
7．下列說法正確的是（ ）
A．對角線相等的平行四邊形是菱形
B．對角線互相垂直的矩形是正方形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，矩形，菱形，正方形的判定定理即可得到結論．
【解答】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，故不符合題意；
B、對角線互相垂直的矩形是正方形，故符合題意；
C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故不符合題意；
D、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的判定，菱形的判定，熟練掌握正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的判定，菱形的判定是解題的關鍵．
8．如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、F，下列結論不正確的是（ ）
A．ACCE=BDDFB．ACCD=ECEFC．CEAE=DFBFD．AEAC=BFBD
【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ACCE=BDDF，CEAE=DFBF，AEAC=BFBD；
∴選項A、C、D正確，
故選：B．
【點評】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．
二、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。
9．已知點A（x1，y1）與點B（x2，y2）都在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，且x1＜0＜x2，那么y1 ＞ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【分析】由k＜0，雙曲線在第二，四象限，根據(jù)x1＜0＜x2即可判斷A在第二象限，B在第四象限，從而判定y1＞y2．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，
∴雙曲線在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第二象限，B在第四象限，
∴y1＞y2；
故答案為：＞．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質，掌握反比例函數(shù)y=kx圖象和性質是解題的關鍵，即當k＞0時圖象在第一三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減小，當k＜0時圖象在第二四象限內，且在每個象限內y隨x的增大而增大．
10．我國的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是215000000米．將數(shù)字215000000用科學記數(shù)法表示為 2.15×108 ．
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．
【解答】解：215000000用科學記數(shù)法表示為2.15×108．
故答案為：2.15×108．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
11．化簡：（x+2?5x?2）÷x?32x?4= 2x+6 ．
【分析】直接將括號里面通分運算，再利用分式的混合運算計算得出答案．
【解答】解：原式＝[(x+2)(x?2)x?2?5x?2]?2(x?2)x?3
=(x?3)(x+3)x?2?2(x?2)x?3
＝2（x+3）
＝2x+6．
故答案為：2x+6．
【點評】此題主要考查了分式的混合運算，正確化簡分式是解題關鍵．
12．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為O，OA：AD＝3：4，S△ABC＝9，則△DEF的面積為 49 ．
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AB∥DE，得到△OAB∽△ODE，求出ABDE，根據(jù)相似三角形的性質計算即可．
【解答】解：∵OA：AD＝3：4，
∴OA：OD＝3：7，
∵△ABC與△DEF是位似圖形，
∴AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OAOD=37，
∴S△ABCS△DEF=（37）2=949，
∵S△ABC＝9，
∴△DEF的面積為49，
故答案為：49．
【點評】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
13．已知△ABC中，D為AB的中點．按以下步驟作圖：①分別以點A、點C圓心，以大于12AC長為半徑作弧；②過兩弧相交的兩點作直線交AC于點AE；③連接DE．若△ADE的周長為5cm，則△ABC的周長為 10cm ．
【分析】利用基本作圖得到E為AC的垂直平分線與AC的交點，則AE＝EC，再證明DE為△ABC的中位線得到DE=12BC，然后利用AD+DE+AE＝5cm得到AB+BC+AC＝10cm．
【解答】解：由作法得點E為AC的垂直平分線與AC的交點，
∴AE＝EC，
∵D為AB的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=12BC且DE∥BC，
∴△AED∽△ACB．
∵△ADE的周長為5cm，
△ABC的周長＝2×△ADE的周長＝10cm．
故答案為：10cm．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質．
三、解答題：本大題共5個小題，共48分。
14．（1）計算：(12)?1?25+(π?2024)0+|3?2|；
（2）解方程：3（x+4）2＝x（x+4）．
【分析】（1）分別根據(jù)絕對值的性質、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪及化簡二次根式計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)運算的法則進行計算即可；
（2）利用因式分解法求出x的值即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣5+1+2?3
=?3；
（2）3（x+4）2＝x（x+4），
3（x+4）2﹣x（x+4）＝0，
（x+4）（3x+12﹣x）＝0，
∴x+4＝0或3x+12﹣x＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣6．
【點評】本題考查的是實數(shù)的運算以及因式分解法解一元二次方程，熟知絕對值的性質、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的計算法則是解答①的關鍵；熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法是解答②的關鍵．
15．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（0，1），B（3，0），C（2，2），（每個方格的邊長均為1個單位長度）．
（1）作△ABC關于y軸的軸對稱圖形△AB2C2，請在平面直角坐標系中畫出△AB2C2，并填寫B(tài)2，C2的坐標．
點B2的坐標為（ ﹣3 ， 0 ）；點C2的坐標為（ ﹣2 ， 2 ）．
（2）△A1B1C1的頂點坐標分別為A1（0，3），B1（6，1），C1（4，5），若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標為（ 0 ， ﹣1 ）．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質作圖，即可得出答案．
（2）連接AA1，BB1，CC1，相交于點M，則點M即為位似中心，即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖，△AB2C2即為所求．
點B2的坐標為（﹣3，0），點C2的坐標為（﹣2，2）．
故答案為：﹣3；0；﹣2；2．
（2）如圖，作射線A1A，B1B，C1C，相交于點M，
則點M為△ABC與△A1B1C1的位似中心，
∴點M的坐標為（0，﹣1）．
故答案為：0；﹣1．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、位似變換，熟練掌握軸對稱的性質、位似的性質是解答本題的關鍵．
16．由天府新區(qū)管委會主辦，四川天府新區(qū)太平街道承辦的“莓好世界．莓好相約”四花卉（果類）生態(tài)旅游節(jié)暨天府新區(qū)第十八屆冬草莓節(jié)在2023年12月9日舉行．某校九年級三班助農(nóng)興趣小組針對本班級同學，就新區(qū)草莓節(jié)的關注程度進行了調查統(tǒng)計，將調查結果分為不關注，關注，比較關注，非常關注四類（分別用A，B，C，D表示），并根據(jù)調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
（1）九年級三班一共 40 人，其中B類所對應的圓心角為 36° ．
（2）九年級一共有600名學生，根據(jù)上述調查結果，估計九年級學生選擇D類的有多少人．
（3）為了能夠更好的宣傳新區(qū)草莓節(jié)，現(xiàn)從非常關注草莓節(jié)的甲乙丙丁四名學生中任選兩人撰寫宣傳稿，請用樹狀圖或列表法求恰好選到甲和乙的概率．
【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中C的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中C的百分比可得九年級三班的人數(shù)；用360°乘以樣本中B的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．
（2）求出選擇D類的人數(shù)，進而可得D類的人數(shù)所占的百分比，根據(jù)用樣本估計總體，用600乘以D類的百分比，即可得出答案．
（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)以及恰好選到甲和乙的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）九年級三班共有的人數(shù)為16÷40%＝40（人）．
B類所對應的圓心角為360°×440=36°．
故答案為：40；36°．
（2）選擇A類的人數(shù)為40×108360=12（人），
∴選擇D類的人數(shù)為40﹣12﹣4﹣16＝8（人），
600×840=120（人）．
∴估計九年級學生選擇D類的約有120人．
（3）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結果，其中恰好選到甲和乙的結果有2種，
∴恰好選到甲和乙的概率為212=16．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，能夠讀懂統(tǒng)計圖，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關鍵．
17．如圖，已知菱形ABCD，點E、F是對角線BD所在直線上的兩點，且∠AED＝45°，DF＝BE，連接CE、AF、CF，得四邊形AECF．
（1）求證：四邊形AECF是正方形；
（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面積．
【分析】（1）連接AC，根據(jù)對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，先證AECF是菱形，然后根據(jù)∠AED＝45°，可證∠AEC＝90°，從而證得四邊形AECF是正方形；
（2）由（1）可得AC＝EF，所以可以求出菱形ABCD的對角線長度，然后利用菱形的面積等于對角線的乘積的一半即可求解．
【解答】解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴BE+OB＝DF+DO，
∴FO＝EO，
∴EF與AC垂直且互相平分，
∴四邊形AECF是菱形，
∴∠AEF＝∠CEF，
又∵∠AED＝45°，
∴∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形；
（2）∵BD＝4，BE＝3，
∴FD＝3，
∴EF＝10，
∴AC＝10，
∴菱形ABCD的面積=12AC?BD=12×10×4＝20．
【點評】本題考查了正方形的判定和性質，菱形的性質和判定，關鍵是掌握菱形的基本性質．
18．如圖，函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象過點A（n，2）和B（85，2n﹣3）兩點．
（1）求n和k的值；
（2）將直線OA沿x軸向左移動得直線DE，交x軸于點D，交y軸于點E，交y=kx（x＞0）于點C，若S△ACO＝6，求直線DE解析式；
（3）在（2）的條件下，第二象限內是否存在點F，使得△DEF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把A、B點坐標代入反比例函數(shù)解析式列出n、k的方程組便可求得n、k的值；
（2）由A點坐標求得直線OA的解析式，設C（m，8m），過C作CH⊥x軸與OA交于點H，根據(jù)S△ACO＝6，列出m的方程求得C點坐標，由平移性質設直線DE的解析式，再代入C點坐標便可求得結果；
（3）先求出D、E的坐標，再分三種情況：①當∠EDF＝90°，DE＝DF時，②當∠DEF＝90°，DE＝EF時，③當∠DFE＝90°，DF＝EF時，分別構造全等三角形求得F點坐標便可．
【解答】解：（1）∵函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象過點A（n，2）和B（85，2n﹣3）兩點．
∴2n=k85(2n?3)=k，
解得，n=4k=8；
（2）由（1）知，A（4，2），
設直線OA的解析式為y＝ax（a≠0），則
2＝4a，
∴a=12，
∴直線OA的解析式為：y=12x，
由（1）知反比例函數(shù)的解析式為：y=8x，
設C（m，8m），過C作CH⊥x軸與OA交于點H，如圖1，
則H（m，12m），
∴CH=8m?12m，
∵S△ACO＝6，
∴12(8m?12m)×4=6，
解得，m＝﹣8（舍），或m＝2，
∴C（2，4），
∵將直線OA沿x軸向左移動得直線DE，
∴設直線DE的解析式為：y=12x+c，
把C（2，4）代入y=12x+c中，得4＝1+c，
解得，c＝3，
∴直線DE的解析式為：y=12x+3；
（3）令x＝0，得y=12x+3＝3，
令y＝0，得y=12x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴D（﹣6，0），E（0，3），
①當∠EDF＝90°，DE＝DF時，如圖2，過F作FG⊥x軸于點G，
∵∠ODE+∠FDG＝∠ODE+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠GDF，
∵∠DOE＝∠FGD＝90°，DE＝FD，
∴△ODE≌△GFD（AAS），
∴DG＝0E＝3，F(xiàn)G＝DO＝6，
∴F（﹣9，6）；
②當∠DEF＝90°，DE＝EF時，如圖3，過F作FG⊥y軸于點G，
∵∠ODE+∠DEO＝∠GEF+∠OED＝90°，
∴∠ODE＝∠GEF，
∵∠DOE＝∠FGE＝90°，DE＝EF，
∴△ODE≌△GEF（AAS），
∴EG＝DO＝6，F(xiàn)G＝EO＝3，
∴F（﹣3，9）；
③當∠DFE＝90°，DF＝EF時，如圖4，過點F作FG⊥x軸于點G，作FH⊥y軸于點H，
∴∠DFE＝∠GFH＝90°，
∴∠DFG＝∠EFH，
∵∠DGF＝∠EHF＝90°，DF＝EF，
∴△DGF≌△EHF（AAS），
∴GF＝HF，DG＝EH，
∵∠FGO＝∠GOH＝∠OHF＝90°，
∴四邊形OGFH為正方形，
∴OG＝OH，即6﹣DG＝3+EH，
∴DG＝EH=32，
∴OG＝OH=92，
∴F（?92，92）；
綜上，第二象限內存在點F，使得△DEF為等腰直角三角形，其F點的坐標為（﹣9，6）或（﹣3，9）或（?92，92）．
【點評】本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質，待定系數(shù)法，三角形的面積，平移的性質，一次函數(shù)的圖象與性質，全等三角形的性質與判定，第（3）題的關鍵在于構造全等三角形和分情況討論．
一、填空題：本大題共5個小題，每小題4分，共20分。
19．如圖，為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為3m的正方形，使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內，現(xiàn)向正方形內隨機投擲小石子（假設小石子落在正方形內每一點都是等可能的），經(jīng)過大量重復投擲試驗，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.25附近，由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積是 94 m2．
【分析】用正方形的面積乘以小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定的常數(shù)0.25即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意可估計不規(guī)則區(qū)域的面積是3×3×0.25=94（m2），
故答案為：94．
【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當實驗的所有可能結果不是有限個或結果個數(shù)很多，或各種可能結果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．
20．已知關于x的一元二次方程x2﹣2x+m+1＝0有兩個實數(shù)根分別為x1，x2，若x12+x22+x1x2＝6，則m的值為 ﹣3 ．
【分析】由方程根的情況，根據(jù)判別式可得到關于m的不等式，則可求得m的取值范圍；由根與系數(shù)的關系可用m表示出兩根之和與兩根之積，代入已知條件可得到關于m的方程，即可求得m的值．
【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x+m+1＝0有兩個實數(shù)根分別為x1，x2，
∴Δ≥0，即（﹣2）2﹣4×（m+1）≥0，x1+x2＝2，x1x2＝m+1，
解得m≤0；
∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣x1x2＝4﹣（m+1）＝6，
解得m＝﹣3（符合題意）．
故m的值為﹣3．
故答案為：﹣3．
【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關系及根的判別式，掌握兩根之和、兩根之積與方程系數(shù)的關系是解題的關鍵．
21．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=12x+2圖象分別交x軸，y軸于A，B兩點，過該函數(shù)圖象上一點C（4，4）作CD⊥x軸于點D，點E是線段AB上一動點，連接BD，EO，若以B，E，O為頂點的三角形與△BCD相似，則點E的坐標為 （?85，65）或（﹣2，1） ．
【分析】設E（t，12t+2），先利用一次函數(shù)解析式確定A（﹣4，0），B（0，2），利用勾股定理計算出BC＝25，由于CD∥OB，則∠EBO＝∠BCD，根據(jù)相似三角形的判定方法，當BECB=BOCD時，△BEO∽△CBD，利用相似比求出BE=5，利用兩點間的距離公式得到t2+（12t+2﹣2）2＝5，解方程得到此時E點坐標；當BECD=BOCB時，△BEO∽△CDB，同樣方法求此時E點坐標．
【解答】解：設E（t，12t+2），
當y＝0時，12x+2＝0，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
當y＝0時，y=12x+2＝2，
∴B（0，2），
∵C（4，4），CD⊥x軸，
∴CD＝4，BC=42+(4?2)2=25，
∵CD∥OB，
∴∠EBO＝∠BCD，
∴當BECB=BOCD時，△BEO∽△CBD，
即BE25=24，
解得BE=5，
∴t2+（12t+2﹣2）2＝5，
解得t1＝2（舍去），t2＝﹣2，
此時E點坐標為（﹣2，1）；
當BECD=BOCB時，△BEO∽△CDB，
即BE4=225，
解得BE=455，
∴t2+（12t+2﹣2）2=165，
解得t1=85（舍去），t2=?85，
此時E點坐標為（?85，65），
綜上所述，E點坐標為（?85，65）或（﹣2，1）．
故答案為：（?85，65）或（﹣2，1）．
【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．也考查了一次函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
22．如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，∠ABC＝120°，AB＝6，BC＝13，將△BOC沿直線BD翻折得到△BOF，BF交AD于點E，則S△BED＝ 381403 ．
【分析】由折疊的性質可知，∠CBO＝∠OBE，再由平行四邊形的性質，可得BE＝ED，過點B作BG⊥AD于點G，在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，求出AG＝3，BG＝33，設ED＝x，則BE＝x，GE＝10﹣x'，在Rt△BEG中，由勾股定理得x2=(33)2+（10﹣x）2，解得x=12720，可求S△BED=12×DE×BG=381403．
【解答】解：由折疊的性質可知，∠CBO＝∠OBE，
∵平行四邊形ABCD，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠CBE＝2∠OBE，
∵∠BEG＝∠OBE+∠BDE，
∴∠OBE＝∠ODE，
∴BE＝ED，
過點B作BG⊥AD于點G，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AB＝6，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°，
∴AG＝3，BG=36?9=33，
設ED＝x，則BE＝x，
∵BC＝13，
∴GE＝10﹣x'，
在Rt△BEG中，BE2＝BG2+GE2，
∴x2=(33)2+（10﹣x）2，
解得x=12720，
∴S△BED=12×DE×BG=12×12720×33=381403，
故答案為381403．
【點評】本題考查折疊的性質，熟練掌握折疊的性質、應用勾股定理是解題的關鍵．
23．如圖所示，AB＝4，AC＝2，以BC為底邊向上構造等腰直角三角形BCD，連接AD并延長至點P，使AD＝PD，則PB的取值范圍為 4﹣22≤PB≤4+22 ．
【分析】以AB為斜邊作等腰直角三角形ABF，延長AF至點E．使AF＝EF，連接EP，BE．利用等腰直角三角形的性質得出△ABC∽△FBD，利用相似三角形的性質求出DF=2，再利用三角形中位線的性質求出PE＝22，由△ABF是等腰直角三角形，AF＝FE，得出BF垂直平分AE，進而求出BE＝4，繼而利用三角形的三邊關系即可求出答案．
【解答】解：如圖，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABF，延長AF至點E．使AF＝EF，連接EP，BE．
∵△CBD和△ABF都是等腰直角三角形，
∴BCBD=BABF=2，∠CBD＝∠ABF＝45°，
∴∠CBD﹣∠CBF＝∠ABF﹣∠CBF，即∠FBD＝∠ABC，
∴△ABC∽△FBD，
∴ACDF=BCBD=2，
∵AC＝2，
∴DF=AC2=22=2，
∵AD＝DP，AF＝FE，
∴DF是△AEP的中位線，
∴EP＝2DF＝22，
∵△ABF是等腰直角三角形，AF＝FE，
∴BF垂直平分AE，
∴BA＝BE，
∵AB＝4，
∴BE＝4，
∴4﹣22≤PB≤4+22，
故答案為：4﹣22≤PB≤4+22．
【點評】本題考查了等腰直角三角形，掌握等腰直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形中位線的性質，線段垂直平分線的判定與性質，三角形的三邊關系是解決問題的關鍵．
二、解答題：本大題共3個小題，共30分。
24．某菜市場有A、B兩類攤位，A類攤位數(shù)是B類攤位數(shù)的2倍．管理單位每月底按A類每個攤位50元、B類每個攤位80元收取當月管理費，每月可收取管理費4500元，該菜市場全部攤位都有商戶經(jīng)營且各攤位均按時全額繳納管理費．
（1）分別求出該菜市場A、B兩類攤位數(shù)；
（2）為推進環(huán)保袋的使用，管理單位在十月份推出活動一：“使用環(huán)保袋送禮物”，A、B兩類攤位的商戶分別有40%和20%參加了此項活動．為提高大家使用環(huán)保袋的積極性，十一月份準備把活動一升級為活動二：“使用環(huán)保袋抵扣管理費”，同時終止活動一．經(jīng)調查與測算，參加活動一的商戶會全部參加活動二，參加活動二的商戶會顯著增加，這樣，十一月份參加活動二的A類攤位的總個數(shù)將在十月份參加活動一的A類攤位個數(shù)的基礎上增加2a%，每個攤位的管理費將會減少310a%；十一月份參加活動二的B類攤位的總個數(shù)將在十月份參加活動一的B類攤位個數(shù)的基礎上增加6a%，每個攤位的管理費將會減少14a%．
①用含a的代數(shù)式分別表示出十一月份參加活動二的A、B兩類攤位數(shù)；
②若參加活動二的這部分商戶十一月份總共繳納的管理費比他們按原方式共繳納的管理費將減少500元，求a的值．
【分析】（1）設該菜市場有x個A類攤位，y個B類攤位，根據(jù)“A類攤位數(shù)是B類攤位數(shù)的2倍，且每月可收取管理費4500元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出該菜市場A，B兩類攤位數(shù)；
（2）①根據(jù)十一月份參加活動二與十月份參加活動一的攤位數(shù)之間的關系，可用含x的代數(shù)式表示出十一月份參加活動二的A，B兩類攤位數(shù)；
②利用十一月份共繳納的管理費減少的總額＝每個攤位管理費減少的金額×參加活動二的攤位數(shù)，即可得出關于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值．
【解答】解：（1）設該菜市場有x個A類攤位，y個B類攤位，
依題意得：x=2y50x+80y=4500，
解得：x=50y=25．
答：該菜市場有50個A類攤位，25個B類攤位．
（2）①依題意得：十一月份參加活動二的A類攤位有50×40%（1+2a%）＝20（1+2a%）個，B類攤位有25×20%（1+6a%）＝5（1+6a%）個；
②依題意得：50×310a%×20（1+2a%）+80×14a%×5（1+6a%）＝500，
整理得：3a2+100a﹣12500＝0，
解得：a1＝50，a2=?2503（不合題意，舍去）．
答：a的值為50．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、列代數(shù)式以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）①根據(jù)各數(shù)量之間的關系，用含a的代數(shù)式表示出十一月份參加活動二的A，B兩類攤位數(shù)；②找準等量關系，正確列出一元二次方程．
25．如圖，直線y=32x與雙曲線y=kx(k≠0)交于A，B兩點，點A的坐標為（m，﹣3），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接寫出點B的坐標；
（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）點P是直線AB上一個動點，是否存在點P，使得△OBC與△PBD相似？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點A的坐標為（m，﹣3）代入直線y=32x中，可求得A（﹣2，﹣3），即可求得k＝6，解方程組y=32xy=6x，即可求出點B的坐標；
（2）如圖1，作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，則BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性質即可求得C（6，1），作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′C交y軸于點G，則B′C即為BG+GC的最小值，運用勾股定理即可求得答案；
（3）分兩種情況：當△BOC∽△BPD時，OBBC=BPBD；當△BOC∽△BDP時；分別求出P點坐標即可．
【解答】解：（1）將點A的坐標為（m，﹣3）代入直線y=32x中，
得﹣3=32m，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=6x，
由y=32xy=6x，得x=?2y=?3或x=2y=3，
∴點B的坐標為（2，3）；
（2）如圖1，作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DCDB=CFBE，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴CDDB=13，
∴CF3=13，
∴CF＝1，
∴C（6，1），
作點B關于y軸的對稱點B′，連接B′C交y軸于點G，
則B′C即為BG+GC的最小值，
∵B′（﹣2，3），C（6，1），
∴B′C=(?2?6)2+(3?1)2=217，
∴BG+GC＝B′C＝217；
（3）存在，理由如下：
由（1）（2）可知，B（2，3），C（6，1），D（8，0），
∴OB=13，OC=37，BC＝25，
設P（t，32t），
∴PB=(t?2)2+(3?32t)2，PD=(t?8)2+94t2，BD＝35，
當△BOC∽△BPD時，OBBC=BPBD，即1325=(t?2)2+(3?32t)235，
解得t＝5（舍）或t＝﹣1；
當△BOC∽△BDP時，BPBD=BCOB，(t?2)2+(3?32t)235=2513，
解得t=8613（舍）或t=?3413；
∴P（﹣1，?32）或（?3413，?5113）．
【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，軸對稱性質，最短問題，矩形性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，學會用分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題．
26．1：2是一個很有趣的比．如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在AB上截取點D，使AD＝AC，則AD：AB＝1：2，我們稱點D為AB的“趣點”．
（1）若點E為AC的“趣點”（CE＜AE），連接DE，
①求證：S△ADES△ABC=12；
②在AB上方構造△EDF，使△EDF∽△CDB，設EF交CB于點Q．試探究：點Q是否為BC的“趣點”？說明理由．
（2）把（1）中的點E移動到與點A重合，②中條件不變，請在備用圖中畫出圖形，若AB＝6，求CD?QF的值．
【分析】（1）①根據(jù)題意可得ADAB=12，ADAB=12，即ADAB=AEAC，證得△ADE∽△ABC，即可得證．’
②連接DQ，證明四邊形CEDQ是平行四邊形，即可解答．
（2）連接DQ，證明△ADQ≌△ACQ（SAS），△DQF∽△CDB，求出BD的值，根據(jù)QFDB=QDDC，列出算式即可解答．
【解答】（1）①證明：∵點D為線段AB的“趣點”，點E為線段AC的“趣點”（CE＜AE），
∴ADAB=12，ADAB=12，
∴ADAB=AEAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=(12)2=12．
②解：點Q是線段BC的“趣點”，理由如下：
如圖，連接DQ，
∵AC＝AD，
∴∠2=∠ADC=180°?45°2=67.5°，
∴∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵△EDF∽△CDB，
∴∠4＝∠3＝22.5°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵△ADE∽△ABC，
∴∠1＝∠B＝45°，
∴DE∥BC，
∴∠6＝∠4＝22.5°，∠5＝∠3＝22.5°，
∴∠3＝∠6，∠4＝∠5，
∴MQ＝MC，ME＝MD，
∵DE∥BC，
∴∠7+∠4＝∠ACB＝90°，
∴∠7＝90°﹣22.5°＝67.5°＝∠2，
∴MC＝ME，
∴MC＝MD＝ME＝MQ，
∴四邊形CEDQ是平行四邊形，
∴DQ∥AC，
∴CQCB=ADAB=12，
∴點Q是為線段BC的“趣點”．
（2）解：如圖，連接DQ，
∵△ADF∽△CDB，
∴∠4＝∠3＝22.5°，∠F＝∠B＝45°，
∴∠8＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠4，
在△ADQ和△ACQ 中，
AD=AC∠4=∠8AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ACQ（SAS），
∴∠ADQ＝∠ACQ＝90°＝∠BDQ，
∵∠8＝∠F+∠4＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠9＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠9＝∠3，
∴△DQF∽△CDB，
∴QFDB=QDDC，
∵∠BDQ＝90°，∠B＝45°，
∴DB＝QD，
∵點D為AB的“趣點”，AB＝6，
∴AD6=12，
∴AD＝32，
∴DB=QD=6?32，
∴QF6?32=6?32DC，
∴CD?QF＝（6﹣32）2＝54﹣362．
【點評】題考查相似圖形的綜合應用，解題的關鍵是掌握相似三角形的性質與判定．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
C
D
B
B

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