2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．
3．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試用時120分鐘．
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1. 已知雙曲線的離心率為2，則的漸近線方程是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)離心率可求，故可求漸近線方程.
【詳解】因為離心率為2，故，故，
故漸近線方程為：，
故選：D.
2. 已知集合為全集的非空真子集，且與不相等，若，則下列關(guān)系中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】先根據(jù)條件推得，畫出韋恩圖，根據(jù)各選項逐一判斷即得.
【詳解】由與不相等，且，可得，如圖所示.
對于A,由圖知，顯然，如,
而,即A錯誤；
對于B，由圖知，因，則成立，即B正確；
對于C，由圖知，，如，
而，即C錯誤；
對于D，由可得，則，故D錯誤.
故選：B.
3. 已知數(shù)列，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】列出數(shù)列的前幾項，即可得到是以為周期的周期數(shù)列，即可得解.
【詳解】因為，所以，，，，，
所以是以為周期的周期數(shù)列，所以.
故選：A
4. 若兩平行直線與之間的距離是，則（ ）
A. 或11B. 或16C. 1或11D. 1或16
【正確答案】C
【分析】根據(jù)兩直線平行求出，再由距離公式求出，即可得解.
【詳解】因為直線與平行，
所以，解得，則直線，即為，
又與之間的距離是，所以，解得或；
所以或.
故選：C
5. 在展開式中，含的項的系數(shù)是6，則（ ）
A. 6B. 3C. 3D. 6
【正確答案】B
【分析】先由乘法法則求出展開式中含的項，再結(jié)合的項的系數(shù)是6即可求出a.
【詳解】由題可得含的項為，
所以.
故選：B.
6. 已知正方體的棱長為3，以頂點為球心，為半徑作一個球，則該球球面與正方體的表交所得到的曲線的長為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題設(shè)條件求出截面圓的半徑和弧所對的圓心角的弧度數(shù)后可求曲線的長.
【詳解】
因為正方體的棱長為3，故正方體的體對角線長為，
故球僅與3個側(cè)面有截線（如圖所示），
設(shè)與側(cè)面的截線為，連接，
則，
因為直角三角形，故，
因為直角三角形，故，
故，而為銳角，故，
同理，故，故的長度為，
由對稱性可得另外兩段弧長也為，
故球面與正方體的表交所得到的曲線的長，
故選：D.
7. 在某次數(shù)學月考中，有三個多選小題，每個小題的正確答案要么是兩個選項，要么是三個選項，且每個小題都是6分，在每個小題給出的四個選項中，全部選對得6分，部分選對得部分分（正確答案是三個選項的，則每個選項2分；正確答案是兩個選項的，則每個選項為3分，有錯選的得0分）．已知這次考試中，第一個小題的正確答案是兩個選項；小明同學在這三個多選小題中，第一個小題僅能確定一個選項是正確的，由于是多選題他隨機又選了一個選項；而第二個小題他隨機地選了兩個選項，第三個小題他隨機地選了一個選項，則小明同學這三個多選小題所有可能的總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為（ ）
A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5
【正確答案】C
【分析】列出小明得分的所有情況后可求得分的中位數(shù).
【詳解】小明第一小題得分可為：0，3，6；第二小題得分可為：0，4，6；
第三小題得分可為：0，2，3；
故其總分可為：0，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，
故總得分的中位數(shù)為：8.
故選：C.
8. 若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D. 0
【正確答案】B
【分析】利用同構(gòu)可得，再結(jié)合導數(shù)討論新函數(shù)的單調(diào)性后可得的最小值.
【詳解】因為，故，
而為0,+∞上的增函數(shù)，故即，故，
設(shè)，則，
當時，，故在上為減函數(shù)，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故，
故選：B.
二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）
9. 已知隨機事件，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則事件與事件相互獨立
B. 若，則事件與事件互為對立
C. 若事件兩兩獨立，則
D. 若事件兩兩互斥，則
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)反例可判斷BC的正誤，根據(jù)獨立事件的定義可判斷A的正誤，根據(jù)互斥事件的概率性質(zhì)可判斷D的正誤.
【詳解】對于A，根據(jù)事件獨立性的定義可得獨立，故A正確；
對于B，記事件A：投擲一個骰子，骰子的點數(shù)為奇數(shù)，
事件：投擲一枚硬幣，正面朝上，則，滿足，
但不是對立事件，故B錯誤；.
對于C：考慮從1，2，3，4中隨機選出一個數(shù)字，
記事件“取出的數(shù)字為1或2”，“取出的數(shù)字為1或3”，“取出的數(shù)字為1或4”，
則“取出的數(shù)字為1”，
顯然，
，
滿足，，，
所以事件A，B，C兩兩獨立，但是，故C錯誤.
對于D，若兩兩互斥，
根據(jù)互斥事件的概率性質(zhì)可得，
故選：AD
10. 設(shè)復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)點為，任意復數(shù)都可以表示為三角形式，其中為復數(shù)的模，是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角（也被稱為的輻角）．利用復數(shù)的三角形式可以進行復數(shù)的指數(shù)運算，法國數(shù)學家棣莫佛發(fā)現(xiàn)，我們稱這個結(jié)論為棣莫佛定理．根據(jù)以上信息，若復數(shù)滿足，則可能的取值為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】BD
【分析】根據(jù)棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正確的選項.
【詳解】設(shè)，其中，則，
故，而，故，
故，故，
故BD正確，AC錯誤；
故選：BD.
11. 如圖，小明同學發(fā)現(xiàn)家里的兩個射燈在墻上投影出兩個相同的橢圓，其外輪廓曲線形如心形，經(jīng)過他進一步的探究發(fā)現(xiàn)曲線也表示心形曲線，設(shè)為曲線上一點，為坐標原點，則下列小明關(guān)于曲線的說法正確的是（ ）

A. 曲線只經(jīng)過4個整數(shù)點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）
B.
C.
D. 設(shè)曲線上一點，且，則的面積的最大值為3
【正確答案】ACD
【分析】對于A，將曲線C變形求得，進而根據(jù)依次取值、和即可求出曲線經(jīng)過的整數(shù)點；對于B，結(jié)合A得，同理以及檢驗時，是不成立的可判斷；對于C，記是以x軸非負半軸為始邊，以所在射線為終邊的角，依據(jù)題意取，進而用和表示，再將其代入曲線方程可求得而得解；對于D，分和兩種情況結(jié)合用和表示即可計算解得，進而由面積公式即可得解.
【詳解】對于A，曲線C的方程可化為，所以，即，
又，令，得；令，得；令，得或；
所以曲線C只經(jīng)過4個整數(shù)點，分別是，故A正確；
對于B，由A得即，且當時，，
同理曲線C的方程可化為，所以，即，
當時，；但當時，是不成立的，故B錯誤；
對于C，記是以x軸非負半軸為始邊，以所在射線為終邊的角，
由于曲線C關(guān)于y軸對稱，不妨取，
則，代入曲線方程可得，
則，
因為，所以，所以，
所以，所以，所以，故C正確；
對于D，因為，所以，
由于曲線C關(guān)于y軸對稱，考慮（i）取，則點，點，
則，
所以，
由于，則當時，，
所以的最大值為；
考慮（ii）取，則點，點，
則，
所以，由于，，
則當時，，所以的最大值為，故D正確.
故選：ACD.
關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是記是以x軸非負半軸為始邊，以所在射線為終邊的角，抓住曲線的特征取，接著C中用和分別表示再將其代入曲線方程求得，D中用和表示計算解得，從而求出和的面積的最大值.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 通過對某校高三年級兩個班的排球比賽成績分析可知，班的成績，班的成績，的分布密度曲線如圖所示，則在排球決賽中_________班獲勝的可能性更大．
【正確答案】B
【分析】根據(jù)均值和方差的大小可得正確的選項.
詳解】從分布密度曲線可以得到如下結(jié)論：
（1）B班的平均成績大于A班的平均成績；
（2）B的方差小于A的方差，故B發(fā)揮較為穩(wěn)定，
故B班獲勝的可能更大.
故B.
13. 已知在三棱錐中，平面，，若，與平面所成角為，則三棱錐的體積的最大值為________．
【正確答案】
【分析】證明線面垂直可得出線面角，利用體積公式及基本不等式求最值即可.
詳解】如圖，
由平面，平面，
所以，，
又，平面，
所以平面，又平面，故,
所以與平面所成角為，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，，
所以
當且僅當，即時，等號成立.
故
14. 定義域為的函數(shù)滿足，當時，若在上有9個零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．
【正確答案】
【分析】依題意畫出函數(shù)圖象，則與y=fx有且僅有個交點，結(jié)合圖象可知與，有兩個交點，且在時，再根據(jù)函數(shù)解析式的特征轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點個數(shù)問題，即可得到不等式組，解得即可.
【詳解】因為定義域為的函數(shù)滿足，
且當時，，所以的圖象（部分）如下所示：
則當時，，所以，又，
令，即，依題意與y=fx有且僅有個交點，
顯然，由圖可知與，有兩個交點，且在時，
令，，則，
即，表示以為圓心，為半徑的半圓（軸及軸上方部分），
所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.
故
關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點問題，結(jié)合圖象可知與，有兩個交點，且在時，最后轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）求A；
（2）若邊上的高為2，且的平分線交邊于，，求.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）先由題意結(jié)合正弦定理得，再轉(zhuǎn)化即可求得，進而可得解.
（2）先由高表示面積和正弦定理形式表示的面積得①，接著在和中由正弦定理結(jié)合得②，再接著由余弦定理即可計算求出，再由和正弦定理形式面積公式即可計算求解.
【小問1詳解】
因為，
所以由正弦定理得，
又，所以，所以，
又
所以，故,
所以，又，所以.
【小問2詳解】
由題可得①，
又因為，是的平分線，所以，
因為，所以，所以由正弦定理得②，
又由余弦定理得③，
所以由①②③計算可得，
所以由即得
.
16. 古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點的距離之比值為常數(shù)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓．已知點到的距離是點到的距離的3倍．記點的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)曲線與軸的負半軸交于點為坐標原點，若點不在軸上，直線分別與直線交于兩點，探究以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．
【正確答案】（1）
（2）以為直徑的圓過定點，或，理由見解析
【分析】（1）設(shè)，由代入坐標化簡可得答案；
（2）求出，設(shè)，直線的方程分別為、，根據(jù)得，直線的方程分別與聯(lián)立求出點坐標，再求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)方程可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)，由題意得，
即，化簡得，
所以曲線的方程為；
【小問2詳解】
以為直徑的圓過定點2,0，或，理由如下，
令，可得，或，所以，
設(shè)，直線的方程分別為、，
因為，所以，可得，
由得，由得，
可得的中點為，，
以為直徑的圓的方程為
，
整理得，
由，得或，
可得以為直徑的圓過定點2,0，或.
17. 如圖甲，在平面五邊形中，∥，，，，為的中點，以為折痕將圖甲中的△折起，使點到達如圖乙中的點的位置，且.
（1）證明：平面平面；
（2）若過點作平面的垂線，垂足為，求點到平面的距離.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）先證明平面，再由面面垂直判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求點到面的距離即可.
【小問1詳解】
在平面五邊形中，∥，，
所以四邊形是直角梯形，且，
在直角中，，且，則，
可得，從而是等邊三角形，平分.
因為為的中點，所以，所以，
又因為且平面，
所以平面.
又因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
取的中點F，連接，過點S作垂直于點，連接，如圖，
因為平面平面，平面∩平面，
所以平面，又平面，則
因為，F(xiàn)是的中點，所以，
又且平面，所以平面，
由平面，則；
又因為，所以，則點O是的中點，
又，所以，可得.
以為原點，以所在的直線分別為軸，軸，
如圖所示建立空間直角坐標系，
則，
可得.
設(shè)平面的一個法向量為，
由，令，則.
由于平面，設(shè)
可得，
所以；
由于點平面，
所以，
解得，即，
由（1）可知，平面，
所以點H到平面的距離為.
18. 已知函數(shù)．
（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意，都有恒成立，求的最大整數(shù)值；
（3）對于任意的，證明：．
【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）的最大整數(shù)值為2；
（3）證明見解析.
【分析】（1）先求，接著令并求，根據(jù)的正負情況可得導函數(shù)的值的情況，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）先將題設(shè)等價轉(zhuǎn)換為對任意，恒成立，進而將問題等價轉(zhuǎn)化成求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，利用導數(shù)工具求出該最小值即可得解.
（3）由（1）在上單調(diào)遞增可得，進而可得，從而結(jié)合累加法即可求證.
【小問1詳解】
當時，，
所以函數(shù)定義域為，，
令，則，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又即，
所以即在上恒成立，當且僅當時，，
所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.
【小問2詳解】
因為對任意，都有恒成立，
所以對任意，恒成立，
即對任意，恒成立，
所以，
所以，
因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在，使得即，
所以當時，即，當時，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，令，
則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以的最大整數(shù)值為3，即的最大整數(shù)值為2.
【小問3詳解】
證明：由（1）知在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)，所以，
故，
所以，
累加得，
所以.
19. 某商場為吸引顧客，設(shè)計了一個趣味小游戲，地面上劃有邊長為1的小正方形網(wǎng)格，游戲參與者從網(wǎng)格的某一個頂點出發(fā)，每一步沿一個小正方形的對角線向右上方或右下方移動，如圖所示．已知游戲參與者每步選擇向右上方或者右下方行走是等可能的，且每步行走方向的選擇是相互獨立的．
（1）商場規(guī)定：某顧客從出發(fā)，沿小正方形的對角線向右上方走一步得1分，向右下方走一步得分，當他走完第四步后，得分為，求的分布列；
（2）商場制定了一個游戲規(guī)則：若顧客和老板都從出發(fā)，走到點的位置．設(shè)走完第步后，顧客位于點，老板位于點，其中且；若對任意且都有，則認為顧客方獲勝．記顧客獲勝的概率為．
（i）當時，求顧客獲勝的概率；
（ⅱ）求，并說明顧客和老板在游戲中哪一方獲勝概率更大．
參考公式：．
【正確答案】（1）答案見解析
（2）（i）;（ⅱ）答案見解析
【分析】（1）先求出的取值情況，再分析每種情況表示的意義，借助獨立事件的乘法公式計算概率，進而得到分布列即可；
（2）（i）運用組合知識求出顧客和老板從步中選步是向右下方走的組合數(shù)，設(shè)顧客在第步向右下方走，則分情況討論老板的走法總數(shù)，再用概率公式計算即可.
（ⅱ）與（i）同理求出，變形借助函數(shù)的單調(diào)性，知道數(shù)列是遞減數(shù)列，再討論得解.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，可取.
當，每次的操作使得分數(shù)減少，每次操作的概率為.由于走了步，且每步都要使得分數(shù)減少，所以.
當意味著步中有步是使得分數(shù)減少的操作，步是使得分數(shù)增加的操作.
步中選步的組合數(shù)為.
每步操作的概率為，所以.
當表示步中有步是使得分數(shù)減少的操作，另外步是使得分數(shù)增加的操作.
步中選步的組合數(shù)為.
每步操作概率為，所以.
當意味著步中有步是使得分數(shù)減少的操作，步是使得分數(shù)增加的操作.
步中選步的組合數(shù)為.
每步操作概率為，所以.
，每次的操作使得分數(shù)增加，每次操作概率為，走了步，
所以.
則的分布列為：
【小問2詳解】
（i）顧客一共需要走步，其中向右下方走步，向右上方走步.
從步中選步是向右下方走的組合數(shù)為.同理，老板也有種走法；
對任意，都有，可設(shè)顧客在第步向右下方走，則老板的走法有兩種情況：
情況一：老板在第1步到第步中有兩步向右下方行走，共種走法：
情況二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共種走法，所以顧客獲勝時，顧客與老板總的走法數(shù)為
所以
（ⅱ）當顧客和老板都從出發(fā)，走到點的位置時， 顧客一共需要走步，其中向右下方走2步，向右上方走步，共有種走法；同理，老板也有種走法；
對任意都有，同樣可設(shè)顧客在第步向右下方走，則老板的走法有兩種情況：
情況一：老板在第1步到第步中有兩步向右下方行走，共種走法；
情況二：老板在第1步到第步中有一步向右下方行走，在第到第k步中有一步向右下方行走，共種走法；
所以顧客獲勝時，顧客與老板總的走法數(shù)為
.

所以顧客獲勝的概率為
由于
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以數(shù)列是遞減數(shù)列，
又，所以當時，有
所以在商場制定的游戲規(guī)則中， 當時，顧客與老板的獲勝概率是相等的；
當時，老板的獲勝概率更大.
關(guān)鍵點點睛：第一問關(guān)鍵是找清楚X的所以情況，以及代表的意思，結(jié)合獨立事件求概率；第二問關(guān)鍵是找出顧客和老板的走法數(shù)情況，分類討論，用函數(shù)單調(diào)性結(jié)合得到單調(diào)性即可求解.題目較難，理解能力和計算能力要求高，屬于難題.
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