一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直線的斜率，
設(shè)直線的傾斜角為，，則，.
故選：A.
2. 已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
該拋物線的準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則，解得.
故選：C.
3. 下列有關(guān)樣本線性相關(guān)系數(shù)r的說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 相關(guān)系數(shù)可用來(lái)衡量與之間的線性相關(guān)程度
B. ，且越接近0，相關(guān)程度越小
C. ，且越接近1，相關(guān)程度越大
D. ，且越接近1，相關(guān)程度越大
【答案】D
【解析】相關(guān)系數(shù)是來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)程度的，線性相關(guān)系數(shù)是一個(gè)絕對(duì)值小于等于1的量，并且它的絕對(duì)值越大就說(shuō)明相關(guān)程度越大，所以不正確的只有D.
故選：D.
4. 給出下列命題：
①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；
②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；
③對(duì)于非零向量，若，則；
④若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底．
其中說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】對(duì)于①，當(dāng)與的夾角為，滿足，所以①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，兩向量相等要滿足方向相同，長(zhǎng)度相等，任意兩個(gè)單位向量，只能確定長(zhǎng)度相等，所以②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)闉榭臻g向量的一個(gè)基底，所以不共面，故也不共面，所以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，所以④正確.
故選：B.
5. 根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計(jì)資料，某地4月份的任一天刮東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既刮東風(fēng)又下雨的概率為．則4月8日這一天，在刮東風(fēng)的條件下下雨的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意，設(shè)事件表示吹東風(fēng)，事件表示下雨，
則，，，
所以在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率為．
故選：D．
6. 數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”,“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（ ）
A. 種B. 種C. 種D. 種
【答案】B
【解析】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為或或若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種
所以每位同學(xué)的不同選修方式有種，
故選：B.
7. 在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在“鱉臑”中，平面，，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，“鱉臑”是由正方體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的，
以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，
則，，，，，
則，，
，
則異面直線BM與CD夾角的余弦值為．
故選：B．
8. 若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意知，雙曲線的一條漸近線是，則它與橢圓在第一象限的交點(diǎn)記為A，
橢圓的左右焦點(diǎn)記為F1、F2，則根據(jù)正六邊形的性質(zhì)知是直角三角形，且
設(shè)，所以.
由橢圓的定義，得出，
所以橢圓的離心率．
故選:B．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知圓和圓相交于A，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.
B. 直線方程為
C. 線段的長(zhǎng)為
D. 到直線的距離與到直線的距離之比為
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閳A和圓相交于A，兩點(diǎn)，所以兩圓方程相減得到，即，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，
圓心到直線的距離為，
所以，故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)閳A化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，
圓心到直線的距離為，
所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
10. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若隨機(jī)變量，則
B. 已知隨機(jī)變量X，Y滿足,若，則，
C. 有8名學(xué)生，其中5名男生，從中選出4名學(xué)生，選出的學(xué)生中男生人數(shù)為，則其數(shù)學(xué)期望
D. 離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，則正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，
所以，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以，?br>又，所以，
所以，，即B正確；
對(duì)于C：依題意的可能取值為、、、，則，
，，，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)榍遥獾?，故D正確；
故選：ABD
11. 如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，A，D，C，B為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，，，，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A. 該幾何體是四棱臺(tái)
B. 該幾何體是棱柱，平面是底面
C.
D. 平面與平面的夾角為
【答案】ABC
【解析】因?yàn)樗倪呅魏蜑橹苯翘菪?，A，D，C，B為直角頂點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，
所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B錯(cuò)誤；
由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，所以，不垂直，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，
，
設(shè)為平面的法向量，
則有則可取，
則，
所以平面與平面的夾角為，故D正確．
故選：ABC
12. 已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則的離心率可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】當(dāng)時(shí)，直線與另一條漸近線平行，所以．
當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，
由，得，則，
所以，
則，，所以，
則，．
當(dāng)時(shí)，如圖2，過(guò)作另一條漸近線的垂線，垂足為，則，
由，得，則，
則，
所以，則，，
所以，則，．
綜上，的離心率為或．
故選:AC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，則直線的一個(gè)方向向量為______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】不妨令直線的一個(gè)方向向量為，則，所以可以取，則，此時(shí)直線的一個(gè)方向向量為（答案不唯一）
故答案為：（答案不唯一）
14. 展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______.
【答案】240
【解析】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為
，
當(dāng)時(shí)，可得，
所以展開式中的系數(shù)為.
故答案為：.
15. 已知向量，，，，則與的夾角為______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕?br>則，即，
又，，，所以，解得，
所以，
又，故.
故答案為：.
16. 《九章算術(shù)》中記載了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在計(jì)算球的體積時(shí)使用的一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，此即祖暅原理，其含義為：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面的面積恒相等，則它們的體積相等.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為,雙曲線的兩條漸近線與直線,以及雙曲線的右支圍成的圖形(如圖中陰影部分所示)繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為（其中），則雙曲線的離心率為______.
【答案】
【解析】由題意知漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，所以，
由，得，
由，得，
所以截面面積為，
由題知，陰影部分繞y軸轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面積與截面面積相等，高為2的圓柱的體積，
∴，即，
所以，即，
∴，解得，所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. （1）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距都不等于零，且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍，求該直線的方程；
（2）求以為圓心，且與圓相外切的圓的方程．
解：（1）依題意，設(shè)直線的方程為，
由該直線過(guò)點(diǎn)可得，解得，
所以該直線的方程為，
即．
（2）設(shè)所求圓的方程為，
因?yàn)閮蓚€(gè)圓的圓心距，
又兩個(gè)圓外切時(shí)滿足，
故，
所以所求圓的方程為.
18. 一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時(shí)刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒(méi)有影響．假設(shè)該時(shí)刻有部電話占線．試求隨機(jī)變量的概率分布和它的期望．
解：設(shè)該時(shí)刻有部電話占線，
則可取，
，
，
，
，
又，
所以隨機(jī)變量的概率分布列為：
所以期望.
19. 已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)、斜率為1的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．
解：（1）由題設(shè)知，
所以，
于是橢圓的方程為；
（2）依題意，直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立，解得或，所以的面積
.
20. 2023年12月大荔縣某高中數(shù)學(xué)社團(tuán)在寶塔文殊廣場(chǎng)對(duì)人們的休閑方式進(jìn)行了一次調(diào)查．共調(diào)查了124人，其中男性54人，女性70人．男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．
（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；
（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系．
附：，其中．
解：（1）依題意建立列聯(lián)表為
（2）計(jì)算．
因?yàn)?，所以有的把握判斷休閑方式與性別有關(guān)．
21. 如圖，在長(zhǎng)方體，中，，點(diǎn)E在棱上移動(dòng)．
（1）證明：；
（2）當(dāng)E為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面的距離；
解：（1）在長(zhǎng)方體中，有平面，
又平面，，
又，四邊形為正方形
，又平面
平面，平面
（2）設(shè)點(diǎn)到面的距離為，在中，，，
故，而．
又，，．
∴點(diǎn)E到面的距離為.
（3）過(guò)作于，連、，
由平面ABCD，且，可得，
則，為二面角的平面角．
設(shè)，則，在△中，，
，
在中，，
在中，，在中，
在中．
．
時(shí)，二面角的大小為．
22. 已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)是點(diǎn)軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
解：（1）設(shè)，
則直線斜率是，直線的斜率是，
所以，
化簡(jiǎn)整理得：，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.
（2）設(shè)直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，
直線的方程為，
即，直線的方程為，
即，
又雙曲線漸近線方程為，
顯然直線與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，
直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，
則有，且，于是，
由消去化簡(jiǎn)整理得：，
設(shè)點(diǎn)，
則，
解得，有，
由消去化簡(jiǎn)整理得：，
設(shè)點(diǎn)，
則，
解得，有，
，，
于是，
設(shè)直線上任意一點(diǎn)，
則，
顯然，因此，
即，
整理得，顯然直線恒過(guò)定點(diǎn)，
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).
0
1
2
3
4

0.09
0.3
0.37
0.2
0.04

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性別
看電視
運(yùn)動(dòng)
總計(jì)
女
43
27
70
男
21
33
54
總計(jì)
64
60

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