一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】集合，集合，則.
故選：A
2. 命題“，使”否定是（ ）
A. “，使”B. “，使”
C. “，使”D. “，使”
【答案】D
【解析】
【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得到答案.
【詳解】命題“，使”的否定是“，使”，
故選：D
3. 下列各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的條件，即函數(shù)三要素都相同，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，，
兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)B，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋?br>兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)C，，利用誘導(dǎo)公式可得到，兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)D，，利用誘導(dǎo)公式可得到，
對(duì)應(yīng)法則相同，且定義域、值域也相同，故兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，
故選：D．
4. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得到答案．
【詳解】易知在R上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋?br>∴函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是，
故選：B．
5. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值及函數(shù)值的情況判斷即可.
【詳解】對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，
又因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故A、C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；
故選：D．
6. 若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】確定，，，代入計(jì)算得到答案.
【詳解】，故，又，，
，
故選：C
7. 設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷，利用指對(duì)互化以及冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷，進(jìn)而可求解.
【詳解】∵，∴，又，，∵為 的增函數(shù)，∴，∴，
故選：A．
8. 已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，解方程和函數(shù)作圖，利用數(shù)形結(jié)合運(yùn)算求解即可．
【詳解】由已知得，
所以或，作出函數(shù)的圖象，
得的圖象與直線恰有2個(gè)交點(diǎn)，
所以由題意知直線與的圖象沒有交點(diǎn)，所以或，
故選：B．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故B不正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故C不正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故D正確．
故選:AD．
10. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確是（ ）
A. π為函數(shù)的最小正周期
B. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)型函數(shù)的周期、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可得到答案．
【詳解】由題可知，的最小正周期為，故A正確；
因?yàn)椋蔅正確；
因?yàn)?，故可得，故C正確；
因?yàn)?，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
11. 下列函數(shù)中符合在定義域上單調(diào)遞增的奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)定義、函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，
且單調(diào)遞增函數(shù)，所以單調(diào)遞增函數(shù)，故A正確；
對(duì)于B，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在整個(gè)定義域上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
12. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br>B. 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為
C. t取任意實(shí)數(shù)時(shí)，均有的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 若的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)，可求的值域，即可判斷A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷C，根據(jù)判別式小于0即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí),，故的值域?yàn)?故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)定義域?yàn)?，令?br>由于在單調(diào)遞減，為定義域內(nèi)的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”的判斷方法得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；
對(duì)于C，真數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故C正確；
對(duì)于D，若的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，則在R上恒成立，即，則，故D錯(cuò)誤．
故：BC．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第15題第一空2分，第二空3分．
13. 已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法，求得函數(shù)解析式，根據(jù)冪的運(yùn)算，可得答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)（α為常數(shù)），∴，∴，∴，．
故答案為：.
14. 若不等式的解集為，則______．
【答案】5
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式與方程解的關(guān)系，列出等式即可求解.
【詳解】由題意得，是方程的兩個(gè)根，
∴，，
∴．
故答案為：5.
15. 已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______，______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，直接運(yùn)算即可．
【詳解】∵角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴；
∴．
故答案為：① ②．
16. 已知為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且，則的解集為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的性質(zhì)可作出的圖象，根據(jù)平移可得的圖象，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】由題意知函數(shù)在上單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，由得，作出的圖象并向左平移一個(gè)單位，所以 ，或 ．故的解集為．
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. （1）
（2）
【答案】（1）5 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可
詳解】（1）原式．
（2）原式．
18. 非空集合，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合,即可根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算進(jìn)行求解，
（2）根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化成集合的包含關(guān)系，即可列不等式求解.
【小問1詳解】
∵，∴，，
∴ ．
【小問2詳解】
由題意知?，
∴
∴，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
19. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)的值域．
【答案】（1），函數(shù)為增函數(shù)
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為R上的奇函數(shù)可得，即可求出，再利用定義法即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先由得，從而可求得的范圍，進(jìn)而可得函數(shù)的值域.
【小問1詳解】
由題可知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴，即，
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，為奇函數(shù)，則，
令，
則，
∵為增函數(shù)，，
∴，
∴，即
∴函數(shù)為增函數(shù)；
【小問2詳解】
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?br>20. 2022年10月16日，習(xí)近平總書記在中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)土的報(bào)告中，提出了“把我國(guó)建設(shè)成為科技強(qiáng)國(guó)”的發(fā)展目標(biāo)，國(guó)內(nèi)某企業(yè)為響應(yīng)這一號(hào)召，計(jì)劃在2023年投資新技術(shù)，生產(chǎn)新手機(jī)，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入做定成本250萬元，每生產(chǎn)x千部手機(jī)，需另投入成本萬元，且由市場(chǎng)調(diào)研知每部手機(jī)的售價(jià)為0.7萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完．
（1）試寫出2023年利潤(rùn)L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)2023年產(chǎn)量為多少千部時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．
【答案】（1）
（2）產(chǎn)量為（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是9000（萬元）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)=銷售額-成本，可得出2023年利潤(rùn)L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千部）的函數(shù)解析式；
（2）分別求出分段函數(shù)兩個(gè)范圍的最大值，再比較大小即可得到企業(yè)所獲最大利潤(rùn)．
【小問1詳解】
根據(jù)利潤(rùn)=銷售額-成本，可得
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
，
故；
【小問2詳解】
由（1）可知，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，
，產(chǎn)量為（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，
最大利潤(rùn)是9000（萬元）.
21. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最大值及取得最大值時(shí)x的所有取值；
（2）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來2的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若存在，使得等式成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）最大值為，取得最大值時(shí)x的所有取值為
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換及輔助角公式可得，再由的性質(zhì)求解即可；
（2）通過圖象變換可得，把所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，再由的范圍求出的范圍，從而可得的范圍，即可求出m的范圍．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的最大值為．
令．
所以函數(shù)取得最大值時(shí)x的所有取值為．
【小問2詳解】
由題意得，
因?yàn)?，所以，所以?br>故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．
22. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為 ．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）換元，轉(zhuǎn)化成關(guān)于 的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
（2）換元成關(guān)于 的二次函數(shù)，利用參數(shù)分離，求解函數(shù)的最大值即可.
【小問1詳解】
,令，設(shè)，，
∵，對(duì)稱軸為，∴在上單調(diào)遞增，
則 即 解得，
∴實(shí)數(shù)a的值為1，b的值為0．
【小問2詳解】
由，得，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即；
當(dāng)時(shí)，，
令，則只需，
由于均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞增，
∴，∴，
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為．

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