一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1．若直線與平行，則（ ）
A．B．C．D．2
2．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則直線l的斜率為（ ）
A．B．C．3D．
3．若橢圓焦點(diǎn)在軸上且橢圓經(jīng)過點(diǎn)0,2，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B． C． D．
4．正四棱柱中，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．在直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的面積的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
6．已知直線 與 相交于點(diǎn) ，則點(diǎn)到直線 的距離為（ ）
A．B．C．D．
7．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C上的兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）
9．已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．圓心的坐標(biāo)為 B．圓的半徑為 C．圓心到直線的距離為2 D．
10．已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．橢圓離心率為 B．
C．若，則的面積為9 D．最小值為
11．已知正方體棱長為1，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線與所成角為 B．直線到平面的距離是
C．點(diǎn)到直線的距離為 D．平面與平面所成角的余弦值為
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12．若M，N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是該雙曲線上任意一點(diǎn)．當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，記為，，則 ．
13．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為 ．
14．如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線平面；
②直線到平面的距離是；
③存在點(diǎn)，使得；
④面積的最小值是.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．(本題13分)已知圓.
(1)若直線與圓相交，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為和.
①求四邊形面積的最小值；
②當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)為4時(shí)，求直線的方程.
16．(本題15分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)若點(diǎn)的軌跡與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若直線的斜率為 ，求線段的長.
17．(本題15分)如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．
(1)求證：平面；
(2)求直線平面夾角的正弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
18．(本題17分)如圖，在三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，.
(1)證明：：
(2)求平面和平面夾角的正弦值；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值：苦不存在，請(qǐng)說明理由.
19．(本題17分)已知圓和定點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)若是曲線上的一點(diǎn)，過的直線與直線分別交于S，T兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn)．
①求證：直線l與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②求的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
答案：
1．A
【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗(yàn)即可.
【詳解】由題意可得：，解得，
若，則直線、，兩直線平行，
綜上所述.
故選：A.
2．C
【分析】利用斜率坐標(biāo)公式計(jì)算得解.
【詳解】由直線l經(jīng)過點(diǎn)，，得直線l的斜率.
故選：C
3．B
【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】由題意得橢圓焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)0,2，
所以，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：B．
4．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用異面直線夾角余弦公式求出答案.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
故，
故直線與所成角的余弦值為.
故選：D
5．D
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，利用勾股定理可表示出弦長，代入面積公式，結(jié)合二次函數(shù)求最值即可求解.
【詳解】圓心到直線的距離，
，
又，所以，即.
故選：D.
6．A
【分析】解方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算出距離．
【詳解】由得，即，
所以點(diǎn)到直線 的距離為，
故選：A．
7．A
【分析】根據(jù)題意，得證為等腰三角形，于是建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，根據(jù)與直線AC與BD所成角為建立方程，求得，然后找出外接球球心，根據(jù)相關(guān)數(shù)量關(guān)系，建立外接球半徑的等式關(guān)系，求出半徑，應(yīng)用球的表面積公式即可得解
【詳解】由題意可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>又，且
所以，所以,
取的中點(diǎn)，易得,又
所以平面，又平面，所以平面平面，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，D0,1,0，
令，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
因?yàn)橹本€AC與BD所成角為，所以，
解得，即，
如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，
設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的投影為，作，
所以,
所以在中，
,,
所以在中，，解得，
所以，三棱錐外接球表面積為，
故選：A
方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法
1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；
2.若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體求解；
3.正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長．
4.球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長．
5.利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解．
8．A
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性結(jié)合，得到四邊形為矩形，設(shè)，，在直角中，利用橢圓的定義和勾股定理化簡得到，再根據(jù)，得到的范圍，從而利用對(duì)勾函數(shù)的值域得到的范圍，進(jìn)而由即可得解.
【詳解】如圖所示：
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，
又，則，所以平行四邊形為矩形，故，
設(shè)，，則，
在中，，，
所以，則，
所以，
令，得，
又由，得，
因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以 ，即，
則，故，
所以，
所以橢圓離心率的取值范圍是.
故選：A.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用橢圓的對(duì)稱性證得四邊形為矩形，再利用橢圓的定義與勾股定理，結(jié)合條件得到關(guān)于的齊次不等式，從而得解.
9．ACD
【分析】化圓的方程為 標(biāo)準(zhǔn)形式判斷AB；求出圓心到直線距離判斷C；利用圓的弦長公式計(jì)算判斷D.
【詳解】對(duì)于AB，圓：的圓心，半徑，A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，點(diǎn)到直線：的距離，C正確；
對(duì)于D，，D正確.
故選：ACD
10．BCD
【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．
【詳解】由橢圓方程可知，，
所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；
由橢圓定義知，故B正確；
又，因?yàn)?，所以?br>∴，
解得，所以的面積為，故C正確；
∵，
∴
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
∴最小值為，故D正確．
故選：BCD．
11．BCD
【分析】由線面垂直得證線線垂直，判斷A，由直角三角形求點(diǎn)線距判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面距判斷B，結(jié)合正方體的性質(zhì)得平面的法向量，由法向量夾角求二面角判斷D．
【詳解】平面，平面，所以，A錯(cuò)；
以為原點(diǎn)，分別以為軸建立直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，，，，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，得，
所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，B正確；
是直角三角形，，
因此到直線的距離等于，C正確；
由正方體的性質(zhì)，可得平面，平面，
，，
，
，
所以平面與平面所成角的余弦值為，D正確．
故選：BCD．
12．
【分析】直接由斜率公式結(jié)合雙曲線方程即可求解.
【詳解】由題意設(shè)，
當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，記為，，
則.
故答案為.
13．
【分析】首先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列出等式，最后化簡所得的等式可得軌跡方程.
【詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)，由，，，得，
化簡得，即.
故答案為.
14．①②③
【分析】對(duì)①：由線面平行的判定定理進(jìn)行判斷即可；
對(duì)②：把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用等體積法求解即可；
對(duì)③和④：都屬動(dòng)點(diǎn)問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的問題，對(duì)于③，只需證明有解即可；對(duì)于④，只需求出點(diǎn)到直線距離的最小值即可.
【詳解】對(duì)①，如圖所示:

因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，
所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，顯然也是的交點(diǎn)，連接，
所以，而平面，平面，
所以直線平面，故①正確；
以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，對(duì)②，，分別是棱，的中點(diǎn)，
所以，平面，平，故平面，
故直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，
，，，
，，
由得，故②正確；
對(duì)③，設(shè)，，，
則，，
由，得，
得，由，故存在點(diǎn)，使得，故③正確；
對(duì)④，由③得到的投影為，
故到的距離，
面積為，，
由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，④錯(cuò)．
故①②③
15．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用距離公式即可得到答案.
（2）①利用面積的公式即可求出最小值；②利用切點(diǎn)弦方程的公式即可得到答案.
【詳解】（1）命題等價(jià)于到直線的距離小于，
即，解得的取值范圍是.
（2）①易知，
所以，
等號(hào)對(duì)成立，故最小值是；
②因?yàn)?，所以四點(diǎn)共圓，圓心為的中點(diǎn)，
因?yàn)椋詧A的半徑為，
方程為，即，
直線AB為兩圓公共弦所在直線方程，兩圓方程相減整理得直線AB的方程為.
16．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意建立等式求解即可；
（2）先利用點(diǎn)差法求得，然后聯(lián)立方程組求弦長即可.
【詳解】（1）設(shè)
得
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，得Mx1+x22,y1+y22，
所以有
得
由題可知
兩式求差化簡得
即
因?yàn)?br>所以
所以直線的方程為
聯(lián)立解得或
所以
17．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）由線線平行得到線面平行即可證明；
（2）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，由線面角的夾角向量公式求出直線平面夾角的正弦值；
（3）在（2）基礎(chǔ)上，由點(diǎn)到平面距離向量公式求出答案.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br>因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面；
（2）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，
令，則，則，

直線平面夾角的正弦值為；
（3）由（2）知，平面的法向量為，
點(diǎn)到平面的距離為.
18．(1)證明見解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的邊的關(guān)系可證明，再結(jié)合線面垂直的判定和性質(zhì)可得；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)果可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量后可求夾角的正弦值；
（2）設(shè)，利用點(diǎn)到平面的距離公式可求的值.
【詳解】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，而，故，
而，平面，
故平面，而平面，故.
（2）因?yàn)椋Y(jié)合（1）中可得，
而，故，故，
結(jié)合（1）中及可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
故平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，而，
則即，取，則，
故，而，故.
（3）設(shè)，其中，
由（2）可得平面的法向量為，
故到平面的距離為，由題設(shè)有，
故，故.
19．(1)
(2)①證明見解析 ；②
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到，結(jié)合雙曲線的定義計(jì)算可得；
（2）（i）設(shè)，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由 （i ）求出，，再計(jì)算可得為定值，即可結(jié)合基本不等式求解.
【詳解】（1）為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則，
則，
點(diǎn)的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，
故點(diǎn)的軌跡方程為；
（2）（i）設(shè)，直線是雙曲線的漸近線，如圖所示：
則：①．②，
①+②得，，①-②得，，
則，得，
由題可知，則，
得，即，
直線ST的方程為，即，
又點(diǎn)在曲線上，則，得，
將方程聯(lián)立，得，
得，
由，可知方程有且僅有一個(gè)解，
故直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；
（ii）由（i）聯(lián)立，可得，
同理可得，，則，同理，
所以，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為．
方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1、x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
A
A
A
ACD
BCD
題號(hào)
11









答案
BCD









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