一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）
1．已知，，，則的外接圓方程為（ ）
A． B． C． D．
2．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓：，圓：，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
5．直線和直線，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
6．已知在三棱柱中，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在直三棱柱中，，，，且，，，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．1B．C．D．
8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若上存在一點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（每小題6分，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9．已知橢圓的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（ ）
A．B．C．D．
10．已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．直線過(guò)點(diǎn) B．直線與直線平行
C．直線在軸上的截距為2 D．直線與直線垂直
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線的夾角為 B．直線與平面所成角的正弦值為
C．點(diǎn)到平面的距離為 D．三棱錐的外接球的半徑為
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12．已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 .
13．已知橢圓C：1（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得的內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓C的離心率的取值范圍是 .
14．如圖，在多面體中，平面，平面，，且，M是AB的中點(diǎn)，則平面與平面夾角的余弦值為 .
四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．（本題13分）在直角坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切.（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于?兩點(diǎn)，如果，求.
16．（本題15分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)連線的斜率的積為定值，試求：
(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)與（1）中曲線C相交所得弦長(zhǎng)的直線，若存在，求直線l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.
17．（本題15分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，，，平面，與平面所成角為45°.
(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.
18．（本題17分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面；
(3)求直線與平面所成角的大?。?br>19．（本題17分）如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且直線均不與軸垂直.
(1)求橢圓的方程；
(2)求中點(diǎn)E的軌跡方程；
(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：為定值.
參考答案：
1．D
【分析】設(shè)的外接圓方程為，代入三點(diǎn)坐標(biāo)求出系數(shù)即可.
【詳解】設(shè)的外接圓方程為，
因?yàn)镺0,0，，，
所以，解得，
所以的外接圓方程為.
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)橢圓方程的概念求解.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，
所以，解得，
故選:C.
3．D
【分析】由題可得其斜率，即可得傾斜角.
【詳解】，
設(shè)其傾斜角為，則，又，
則，即傾斜角為，
故選：D
4．B
【分析】根據(jù)兩圓的公共弦所在直線的特點(diǎn)，兩圓方程相減即可得解.
【詳解】圓：，圓：
兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：.
故選：B
5．B
【分析】求出兩直線垂直時(shí)參數(shù)值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】，則，解得或，題中應(yīng)是充分不必要條件，
故選：B．
6．A
【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得異面直線夾角的余弦值，從而得解.
【詳解】依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，

則，
故，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
7．B
【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A坐標(biāo)以及平面EFG的法向量，再利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離即可.
【詳解】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
則A2,0,0，，，，
，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則可取，
則點(diǎn)到平面的距離為．
故選：B.
8．B
【分析】根據(jù)橢圓的定義， 可求得的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的幾何性質(zhì)，即可求得答案，
【詳解】由橢圓的定義可得，又，
所以，
在橢圓中，，
所以，即，
又，所以，
所以該橢圓離心率的取值范圍是.
故選：B
9．AC
【分析】求出，得到橢圓方程.
【詳解】由題意，，故，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為或．
故選：AC．
10．ABD
【分析】根據(jù)截距的定義即可求解AC,根據(jù)平行和垂直滿足的系數(shù)關(guān)系即可求解BD.
【詳解】選項(xiàng)A．當(dāng)時(shí)，，所以直線過(guò)點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確.
選項(xiàng)B.直線，直線，故選項(xiàng)B正確.
選項(xiàng)C.直線過(guò)點(diǎn)，直線在軸上的截距為，故C不正確.
選項(xiàng)D.由，可得直線與垂直，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD
11．ABD
【分析】由三角形中位線的性質(zhì)可得與的夾角為與的夾角即再由為正三角形可得A正確；建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，代入線面角公式求解可得B正確；求出平面的法向量，代入空間點(diǎn)面距離公式可得C錯(cuò)誤；畫(huà)出圖形，找到球心，由勾股定理列方程組可得D正確；
【詳解】對(duì)于A，由點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，所以，
所以與的夾角為與的夾角即
為正三角形，，故A正確；
對(duì)于B，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
與平面所成角的正弦值為，故B正確；
對(duì)于C，，
設(shè)平面的法向量
不放設(shè)，則
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的外接圓是以為直徑的圓，設(shè)圓心為
則，易得，
設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，球心為，
故D正確；
故選：ABD.
12．
【分析】先根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系求出過(guò)點(diǎn)的直線的斜率，再根據(jù)垂直關(guān)系求出實(shí)數(shù)a的值.
【詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不相切，舍去
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，則由，解得：，又與直線垂直，所以，解得：
故答案為：
13．
【分析】在中利用等面積法可得，再借助橢圓的范圍建立不等式即可求出離心率的取值范圍.
【詳解】令點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，的周長(zhǎng)，
依題意，，解得，
因此，即，而，則，
解得，即，所以橢圓C的離心率的取值范圍是.
故答案為：
14．23
【分析】根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，先求得平面與平面的法向量，再求出向量夾角的余弦值.
【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，?br>又，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椋?br>所以，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，取，可得，
易知平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面與平面夾角為，
則.
故答案為：.
15．（1）；（2）.
【解析】（1）將圓的化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心，半徑，其中，
根據(jù)圓與直線相切，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，求得，不合題意；但直線斜率存在，設(shè)其方程為，
根據(jù)圓心到直線的距離，以及垂徑定理即可求得.
【詳解】解:（1）圓的方程可化為，
圓心，半徑，其中，
因?yàn)閳A與直線相切，故圓心到直線的距離等于半徑，
即，解得；
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為，
此時(shí)圓心到直線的距離，
由垂徑定理，，不合題意；
故直線斜率存在，設(shè)其方程為，
即，
圓心到直線的距離，
由垂徑定理，，即，
解得，
故直線的方程為，
代入圓的方程，整理得，
解得，，
于是，，這里，)，
所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系,以及點(diǎn)到直線的距離公式,考查分類討論思想,是中檔題.
16．(1)；
(2)存在，或.
【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)及斜率兩點(diǎn)式列方程求軌跡；
（2）設(shè)直線與曲線C的交點(diǎn)為，聯(lián)立軌跡C并應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求參數(shù)k，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
由題意，化簡(jiǎn)整理得，
故點(diǎn)P的軌跡C的方程是.
（2）直線斜率不存在時(shí)不合題意，
斜率存在時(shí)，設(shè)直線與曲線C的交點(diǎn)為，
由，得，，
則，，
，整理得，解得或（舍）.
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，直線l的方程為，即或.
17．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由線面角得到，故，證明出，得到⊥平面，，從而平面；
（2）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離向量公式求出答案.
【詳解】（1）平面，與平面所成角為45°，
，，
又為中點(diǎn)，.
平面，平面，.
，，平面，
平面，
∵平面，，
又，平面，
平面，
∵平面，，
，，，平面，
平面，∵平面，
，，平面，
平面.
（2）平面，平面，
.
又，故兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵，為等邊三角形，
∴，∵，∴，，
則，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
，即
取，則，，
，，
點(diǎn)到平面的距離.
18．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)
【分析】（1）連接BD交AC與O，連接，構(gòu)造三角形中位線即可求得；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可以證得線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，再結(jié)合正三角形三線合一可以求得；（3）建立空間直角坐標(biāo)系即可求得.
【詳解】（1）連接BD交AC與O，連接，如圖所示：
因?yàn)镸，O分別是邊PD，BD的中點(diǎn)，則MO為的中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
（2）因?yàn)閭?cè)面底面， 平面底面，
，所以平面，所以，
因?yàn)閭?cè)面是正三角形，M是的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PF垂直于AD，因?yàn)閭?cè)面底面， 平面底面，所以平面，又底面是正方形，在點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)E，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為2，
則，，，
由第二問(wèn)可知，即為平面的法向量，，，
，直線與平面所成角的大小為.
19．(1)
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)條件列的關(guān)系式求解即可.
（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立可表示點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系可得軌跡方程.
（3）根據(jù)韋達(dá)定理代入中即可得到定值.
【詳解】（1）由題意得，，
又∵，∴，
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線方程為，，
由得，，
由得，，
則，
∴，
∵E為中點(diǎn)，∴，即，
設(shè)，則，
由得，
故中點(diǎn)E的軌跡方程為.
（3）由直線的斜率存在且異于點(diǎn)得，，故且，
∴
，
∴為定值.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
B
B
A
B
B
AC
ABD
題號(hào)
11









答案
ABD









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