考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米，黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)，導數(shù)，三角函數(shù)，三角恒等變換，解三角形，平面向量，復數(shù)，數(shù)列.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則的真子集個數(shù)為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正確答案】B
【分析】根據(jù)交集運算和真子集的定義求解.
【詳解】因，
所以，
所以的真子集個數(shù)為個.
故選：B.
2. 已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)復數(shù)的概念和運算法則計算可得.
【詳解】由題意，因為，所以，
故選：B.
3. 已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前30項和（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題設條件等式求出并裂項，運用裂項相消法即可求得.
【詳解】把代入整理得：，
故.
故選：D.
4. 若曲線與軸，直線的交點分別為為坐標原點，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】先求得兩點的坐標，然后根據(jù)向量運算求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
解得，故，
由，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故選：C
5. 已知是以為直徑的圓上一點，為的中點，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】如圖，連接，，因為是圓的直徑，所以，
又，，則，
又是的中點，則，
.
故選：B.
6. 已知數(shù)列滿足.若為遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意可知且，
由于為遞減數(shù)列，
所以，，，
所以.
故選：C
7. 已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【正確答案】D
【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.
【詳解】因為，，
令，
則，
設，，則，
所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
則，由，解得.
故選：D.
8. 在中，角為銳角，的面積為，且，則周長的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用三角恒等變換、正弦定理等知識判斷出三角形是直角三角形，利用基本不等式求得周長的最小值.
【詳解】依題意，，
由得，
即，
，
由于是銳角，所以，
與一正一負，或，
若，即，
由于，
所以，所以，
，此不等式組無解，所以不成立.
同理可得不成立.
所以，
所以，所以，.
所以，
所以三角形的周長，
當且僅當時等號成立，所以三角形的周長的最小值為.
故選：A
本題涉及幾何中的面積和周長問題，結合了三角函數(shù)和基本不等式，考查了學生的綜合解題能力．解題過程中，利用基本不等式求周長的最小值，這是本題的關鍵點之一．基本不等式的應用不僅要找到正確的表達式，還需要驗證等號成立的條件，以確保最小值能夠?qū)嶋H取到．
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知為數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A. 存在，使得既有最小項也有最大項
B. 存在，使得僅有最小項無最大項
C. 存在，使得既有最小項也有最大項
D. 存在，使得無最小項有最大項
【正確答案】BCD
【分析】借助與的關系計算可得數(shù)列通項公式，即可表示出，計算出后分、、及，，討論數(shù)列的增減性即可得解.
【詳解】由，則當時，有，
當時，，符合上式，故，
即，
則，
當時，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，
此時數(shù)列僅有最小項，且最小項為，故B正確，A錯誤.
則當，有，，即，
即數(shù)列為遞減數(shù)列，此時數(shù)列僅有最大項，且最大項為，故D正確；
當，時，則當時，，
當時，，又，
即當時，數(shù)列遞減，
故此時數(shù)列在中，有最小項，且有最大項，故C正確；
故選：BCD
10. 若實數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】把作為主元，求得，分類計算求得的最值，可判斷AB；
方程變形為，可得判斷C；賦值法可判斷D.
【詳解】因為，可得，
當時，可得，令，
求導得，令，可得，解得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，無最小值，故，
當時，
可得，令，
求導得，令，可得，解得，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，無最大值，故，故A正確，B錯誤；
由，可得，
所以，所以，
當且僅當，即或時取等號，故C正確；
當時，方程，，方程有解，
所以，故D錯誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的圖象關于點對稱
B. 為奇函數(shù)
C. 是的極小值點
D. 在上有極值
【正確答案】ABC
【分析】由對稱中心的定義代入驗證可得滿足，即可知A正確；利用奇函數(shù)定義化簡可得B正確，對函數(shù)求導并判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷C正確，利用輔助角公式化簡并根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D錯誤.
【詳解】對于A，由易知
,
即滿足，所以的圖象關于點對稱，可得A正確；
對于B，易知
，
滿足奇函數(shù)定義，即可得為奇函數(shù)，即B正確；
對于C，求導可得，
不妨只研究當時的單調(diào)性，
當時，，當時，，
可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值，所以是的極小值點，即C正確.
對于D，由可知，當時，，
此時函數(shù)在上是單調(diào)遞減的，因此在上沒有極值，即D錯誤.
故選：ABC
關鍵點點睛：本題關鍵在于利用中心對稱函數(shù)性質(zhì)驗證選項中的對稱中心是否滿足中心對稱表達式，并充分利用三角函數(shù)性質(zhì)解決極值點問題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則曲線在點處切線方程為__________.
【正確答案】
【分析】求導，即可求解斜率，根據(jù)點斜式即可求解直線方程.
【詳解】，故，又，
故曲線在點處的切線方程為，即，
故
13. 已知數(shù)列滿足，則__________.
【正確答案】2
【分析】由數(shù)列遞推式整理轉化，得出數(shù)列an的周期為4，即可求得.
【詳解】由，可得，
顯然，則有，故，
，即數(shù)列an的周期為4.
故
故2.
14. 如圖的“心形”曲線恰好是半圓，半圓，曲線組合而成的，則曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于__________.
【正確答案】
【分析】先求出兩個半圓面的面積，再求曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積，
根據(jù)對稱性得出與、軸圍成的區(qū)域的面積，即可得解.
【詳解】設，線段的中點為，如圖，
因為曲線關于點對稱，
所以可將曲線與軸、軸圍成的區(qū)域割補為直角三角形的區(qū)域，
于是曲線與軸、軸圍成的區(qū)域的面積就是直角三角形的面積，
即；
根據(jù)對稱性，可得曲線與、軸圍成的區(qū)域的面積為，
又曲線所圍成的“心形”區(qū)域中，兩個半圓的面積為，
所以曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于.
故
關鍵點睛：解法的關鍵是根據(jù)余弦型函數(shù)為中心對稱圖象，據(jù)此采用割補的方法，轉化為直角三角形的面積.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 在數(shù)列中，.
（1）若，求證：為等差數(shù)列；
（2）求的前項和.
【正確答案】（1）證明見詳解；
（2）.
【分析】（1）將已知條件代入化簡即可得證；
（2）利用（1）中結論求出an的通項，然后根據(jù)分組求和法和錯位相減法求和可得.
【小問1詳解】
因為，
所以
，
又，所以bn是以為首項和公差的等差數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）可得，，
所以，
記數(shù)列的前項和為，
則，
，
兩式相減得：，
所以，
所以.
16. 已知函數(shù)，且圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為.
（1）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），再向上平移個單位長度，再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在零點，求的取值范圍.
【正確答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間為：；
（2）
【分析】（1）先利用誘導公式、正弦的和角公式、二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換求出解析式，利用整體思想分離參數(shù)結合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【小問1詳解】
由
，
因為圖象的一個對稱中心到與其相鄰的對稱軸的距離為，
所以其最小正周期為，
則，
令，
解之得；
【小問2詳解】
由題意可知將圖象上的所有點的橫坐標向右平移個單位長度（縱坐標不變），
再向上平移個單位長度可得，
再將縱坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)，
當，所以，
令，則條件可化為在時有解，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
易知，
則，解之得
17. 在中，角的對邊分別為.
（1）求；
（2）已知為的平分線，交于點，且為線段上一點，且，求的周長.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結合和差公式展開化簡可得；
（2）利用面積公式和余弦定理列方程組求解出，可知為等腰三角形，然后結合已知即可得解.
【小問1詳解】
，，
，
，
，，，
又，.
【小問2詳解】
因為BD為的平分線，，所以，
又，，
所以，
即，①
由余弦定理，得，即，②
由①②可得（舍去負值），，
所以a，c是關于的方程的兩個實根，解得.
又因為BD為的平分線，所以，
又，，
所以，，
所以的周長為.
18. 已知函數(shù).
（1）證明：當時，只有1個零點；
（2）當時，討論的單調(diào)性；
（3）若，設，證明.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）答案見詳解 （3）證明見解析
【分析】（1）利用導函數(shù)與單調(diào)性關系，確定的單調(diào)性，即可證明；
（2）利用導函數(shù)與單調(diào)性的關系，結合的不同取值討論求解；
（3）將所需證明的不等式等價轉化為，設，則只需證明，即，構造函數(shù)利用導函數(shù)與最值的關系證明.
【小問1詳解】
當時，，則函數(shù)的定義域為，
恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
且，
根據(jù)零點唯一性定理可知，只有1個零點為0.
【小問2詳解】
，因為，所以定義域為，
，
因為，
當，即時，
恒成立，即，
則函數(shù)在單調(diào)遞減；
當，即時，
方程的兩個根為
因為，且，
所以均在內(nèi)，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
綜上，
當時，在單調(diào)遞減，
當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
若,
因為要證，
只需證，
即，
即證，
設，則只需證明，化簡得，
設則，
所以在單調(diào)遞增，
所以，即，原命題得證.
方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟
（1）作差或變形；
（2）構造新的函數(shù)；
（3）利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；
（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．
特別地：當作差或變形構造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．
19. 若項數(shù)列同時滿足.則稱為“階0數(shù)列”.
（1）若等比數(shù)列為“4階0數(shù)列”，寫出的各項；
（2）若等差數(shù)列為“階數(shù)列”（且），求的通項公式（用表示）；
（3）記“階數(shù)列”的前項和為，若存在，使，判斷數(shù)列能否是“階數(shù)列”？若是，求出所有這樣的數(shù)列；若不是，請說明理由.
【正確答案】（1）或
（2）答案見解析 （3）不是，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)所給新定義，求出等比數(shù)列的首項與公比即可得解；
（2）根據(jù)所給新定義，建立方程分類討論，求出等差數(shù)列的首項與公差即可得出通項公式；
（3）根據(jù)數(shù)列新定義，若滿足題意可推導出，此時不能同時成立，即可知不存在.
【小問1詳解】
設是公比為的等比數(shù)列，由題意，
則有，即，解得，
又因為，所以，解得，
所以數(shù)列的各項為或.
【小問2詳解】
設等差數(shù)列的公差為，
，
，即，，
，若，則與矛盾，
當時，，
，即，
由，即，解得，
，
當時，同理可得，，
由，即，解得，
，
綜上，當時，，
當時，.
【小問3詳解】
記中非負項和為，負項和為，則，
解得，
所以，即
若存在，使，
可知，
且
時，；時，.
，
又與不能同時成立，
所以數(shù)列不為“階數(shù)列”
關鍵點點睛：數(shù)列新定義問題，關鍵在于理解新定義，緊扣新定義，利用新定義所給條件去推理、運算，解決問題，對能力要求很高.

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