目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc139" 第一部分：知識點(diǎn)必背 PAGEREF _Tc139 \h 2
\l "_Tc24452" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc24452 \h 2
\l "_Tc2415" 第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 PAGEREF _Tc2415 \h 5
\l "_Tc28634" 高頻考點(diǎn)一：周長（邊長）定值 PAGEREF _Tc28634 \h 5
\l "_Tc9731" 角度1：求周長 PAGEREF _Tc9731 \h 5
\l "_Tc17786" 角度2：求邊的代數(shù)和 PAGEREF _Tc17786 \h 10
\l "_Tc26286" 高頻考點(diǎn)二：周長（邊長）最值 PAGEREF _Tc26286 \h 14
\l "_Tc29690" 角度1：周長最值 PAGEREF _Tc29690 \h 14
\l "_Tc27215" 角度2：邊的最值 PAGEREF _Tc27215 \h 21
\l "_Tc6612" 角度3：邊的代數(shù)和最值 PAGEREF _Tc6612 \h 27
\l "_Tc19498" 高頻考點(diǎn)三：周長（邊長）取值范圍 PAGEREF _Tc19498 \h 37
\l "_Tc18726" 角度1：周長取值范圍 PAGEREF _Tc18726 \h 37
\l "_Tc21031" 角度2：邊的代數(shù)和取值范圍 PAGEREF _Tc21031 \h 40
\l "_Tc17268" 角度3：銳角三角形中周長（邊長）取值范圍 PAGEREF _Tc17268 \h 49
第一部分：知識點(diǎn)必背
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．
(1)求的面積；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，則，
即，由余弦定理得，整理得，則，又，
則，，則；
（2）由正弦定理得：，則，則，.
2．（2022·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
【答案】(1)；
(2)證明見解析．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據(jù)余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
3．（2022·全國（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)14
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周長為.
5．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【詳解】（1）因?yàn)?，即?br>而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：周長（邊長）定值
角度1：求周長
典型例題
例題1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.
(1)求；
(2)已知的面積為，設(shè)為的中點(diǎn)，且，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意知中，，
由正弦定理邊角關(guān)系得：，
，
，，
，
又，
所以，即.
（2）在中，為中線，，
，
，
，
，，
的周長為.
例題2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，延長到，使，在上取點(diǎn)，使，
(1)設(shè)，用表示向量及向量．
(2)若，且的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)8
【詳解】（1）是的中點(diǎn)，則，
故，
（2）由余弦定理得
而，
得，故，得，
的周長為．
例題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角,,所對的邊分別為，，，，為邊上一點(diǎn)，.
(1)若，求的面積；
(2)若為的平分線，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）∵，，
∴，
由正弦定理可得，，
∴，
即，
結(jié)合，得，
∵，∴，
在中，，
由余弦定理可得，，
即，解得，
∴；
（2）由AD為的平分線知，，
在與中，由正弦定理可得，
①，
②，
∵，∴，
結(jié)合①②，可得，
在與中，由余弦定理可得，
，，
又，
∴，解得，
∴，∴的周長為.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）在中，角對應(yīng)的邊分別是，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若，的面積，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在中，由正弦定理得:
代入式子，
化簡得，，
，
，即，
因?yàn)?，所?
（2），
由余弦定理得，
的周長為．
2．（2023春·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的值；
(3)若的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，∴；
（2）、∴，
∴；
（3）由余弦定理得，由面積公式得，
則，∴的周長為.
3．（2023·安徽·高二馬鞍山二中?？紝W(xué)業(yè)考試）記△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面積為，b＝2，求△ABC周長．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由及正弦定理得，
所以，由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>由余弦定理可得：
所以，
所以△ABC的周長為．
角度2：求邊的代數(shù)和
典型例題
例題1．（2023春·云南麗江·高一麗江第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面積為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意在中，，，，
由正弦定理可得.
（2）由，，，即，
解得，
由余弦定理，
可得.
例題2．（2023春·山東濟(jì)寧·高三校考階段練習(xí)）在①；②；
③；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．問題：在中，內(nèi)角,,的對邊分別為，，，且_______．
(1)求角；
(2)若的內(nèi)切圓半徑為，求．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）選擇①：由已知得，
所以，
在中，，所以．
選擇②：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>選擇③：由正弦定理可得，
又，所以，則，
則，故．
又因?yàn)椋裕?br>解得．
（2）由余弦定理得，①
由等面積公式得．
即．
整理得，②
聯(lián)立①②，解得，
所以．
例題3．（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.
(1)求；
(2)若，且的面積為，求的值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由又及正弦定理，得，
因?yàn)橹校?br>所以，
由于，所以，即，
又，故.
（2）由題意可知，解得，
根據(jù)余弦定理可得，
即，解得.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由已知及正弦定理得，
因?yàn)?，則，
所以，即．
又，所以，即，
因?yàn)?，所以?br>所以，得．
（2）因?yàn)槭墙堑慕瞧椒志€，
所以，
即，
結(jié)合（1）得，
解得．
2．（2023春·廣東江門·高二校考階段練習(xí)）在中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，，，.
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)D在邊BC上且的面積為，求.
【答案】(1)
(2)1
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：?br>則，故，，
由余弦定理得：，所以；
（2）由（1）知，又，
所以，
因此，，
所以D是BC的中點(diǎn)，故.
3．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，
(1)確定角B的大?。?br>(2)若為銳角三角形，，的面積為，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：?br>因?yàn)?，所以，則，
因?yàn)椋曰颍?br>（2）若為銳角三角形，由（1）得，
因?yàn)榈拿娣e為，所以，
由余弦定理得，
所以，
解得，所以．
高頻考點(diǎn)二：周長（邊長）最值
角度1：周長最值
典型例題
例題1．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角,,的對應(yīng)邊分別為，，,已知，且的面積為，則周長的最小值為（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【詳解】由題設(shè)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)：，
根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，
，，，即，
，則，則，解得,則，
所以，則，
又僅當(dāng)時等號成立，
根據(jù)余弦定理得，即，
設(shè)的周長為，則，
設(shè)，則，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得：在上為單調(diào)增函數(shù)，
故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.
故選：B
例題2．（2023春·山東煙臺·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)校考期中）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，角的平分線交于點(diǎn)，且，則周長的最小值為______．
【答案】##
【詳解】由題可得，，即，
又，所以，則，
因?yàn)?，所以，則，
所以，即，
又因?yàn)?，?br>所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
則，
故周長的最小值為.
故答案為：.
例題3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上單調(diào)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，，求周長的最大值．
【答案】(1)
(2)9
【詳解】（1）由題意可得，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，
所以，解得，
因?yàn)椋?br>所以，即，
令，
解得，
即的單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，即，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，解得，
則，即△ABC周長的最大值為9．
例題4．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）如圖，平面四邊形內(nèi)接于圓，內(nèi)角，對角線的長為7，圓的半徑為.
(1)若，，求四邊形的面積；
(2)求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）如圖所示，連結(jié)，
在中，，，
所以，
因?yàn)椋?，則，
因?yàn)?，所以為等邊三角形?br>，
，，
在中，，即，
又，
，
.
（2）設(shè)，，
則在中，，，則，即，故，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
，則，
，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，即周長的最大值為.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且的面積為，則周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因?yàn)椋?br>根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，
，，，
即，，則，則
解得,所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
根據(jù)余弦定理得，即，
設(shè)的周長為，
所以，
設(shè)，則，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)的結(jié)論得：
在上為單調(diào)增函數(shù)，故，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等.
故選：C.
2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）中，角、、所對的邊分別為、、.若，且，則周長的最大值為______.
【答案】
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得?br>所以，，
因?yàn)?、，則，所以，，故，
由余弦定理可得
，
所以，，即，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故周長的最大值為.
故答案為：.
3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，.
(1)求；
(2)若，求周長的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【詳解】（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?br>又因?yàn)?，，所以，即有?br>又因?yàn)椋?
（2）因?yàn)?，?br>所以由余弦定理可得，
當(dāng)時，等號成立，所以，
故周長的最小值9.
4．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中?？寄M預(yù)測）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC周長的最大值.
【答案】(1)7
(2)2＋.
【詳解】（1）∵a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，
∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝，由余弦定理得
cs ＝＝＝－，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，則c>4，∴c＝7.
（2）設(shè)B＝θ，外接圓的半徑為R，則πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝＝＝2R＝2，
∴＝＝＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，
∴△ABC的周長＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cs θ－2cs sin θ＋
＝sin θ＋cs θ＋＝2sin ＋，
又θ∈，∴

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