說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷為選擇題，第Ⅱ卷為非選擇題．全卷共6頁．
考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效，考試結束后，將試卷及答題卡交回．
2．本試卷滿分150分，答題時間為120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共36分）
一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，有且僅有一項是符合題目要求的．）
1. 下列四個數(shù)中，比小數(shù)是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握有理數(shù)大小比較的法則是關鍵．根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則：正數(shù)>0>負數(shù)；然后根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可得到答案．
【詳解】解：∵ 正數(shù)>0>負數(shù)，，
∴
∴，
∴比小的是．
故選：D．
2. 下列計算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查整式的運算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，去括號，單項式乘以多項式，完全平方公式，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、，原選項計算錯誤；
B、，原選項計算正確；
C、，原選項計算錯誤；
D、，原選項計算錯誤；
故選B．
3. 如圖是某機械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中，，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)垂直與三角形的內(nèi)角和即可求出．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
故選：B．
4. 正比例函數(shù)的圖象如圖所示，則的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)：當，圖象經(jīng)過第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大；當，圖象經(jīng)過第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。谜壤瘮?shù)的性質(zhì)得到，然后在此范圍內(nèi)進行判斷即可．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、第三象限，
∴，
∴選項A符合題意．
故選：A．
5. 分式方程的解是（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法與步驟是解題關鍵．本題考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法與步驟是解題關鍵．
【詳解】解：，
去分母，得，
解得，
當時，，
∴是原方程的解．
故選D
6. 為了推進“陽光體育”，學校積極開展球類運動，在一次定點投籃測試中，每人投籃5次，七年級某班統(tǒng)計全班50名學生投中的次數(shù)，并記錄如下：
表格中有兩處數(shù)據(jù)不小心被墨汁遮蓋了，下列關于投中次數(shù)的統(tǒng)計量中可以確定的是（ ）
A. 平均數(shù)B. 中位數(shù)C. 眾數(shù)D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查中位數(shù)、眾數(shù)、方差、平均數(shù)的意義和計算方法，解題的關鍵是理解各個統(tǒng)計量的實際意義，以及每個統(tǒng)計量所反應數(shù)據(jù)的特征．先求被遮住投籃成績的人數(shù)，然后根據(jù)眾數(shù)的定義求出眾數(shù)，而中位數(shù)，平均數(shù)和方差與所有的數(shù)據(jù)有關，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：∵一共有50名同學，
∴被遮住投籃成績的人數(shù)為名，
∵眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，
∴這50名學生的投籃成績的眾數(shù)為3，出現(xiàn)17次，大于16，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關，
∵中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中處在最中間的那個數(shù)據(jù)或處在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，
∴把這50名學生的成績從小到大排列，第25名和第26名的投籃成績不能確定，與被遮蓋的數(shù)據(jù)有關，而平均數(shù)和方差都與被遮住的數(shù)據(jù)有關，
故選C．
7. 走馬燈，又稱仙音燭，據(jù)史料記載，走馬燈的歷史起源于隋唐時期，盛行于宋代，是中國特色工藝品，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日，在一次綜合實踐活動中，一同學用如圖所示的紙片，沿折痕折合成一個棱錐形的“走馬燈”，正方形做底，側面有一個三角形面上寫了“祥”字，當燈旋轉時，正好看到“吉祥如意”的字樣．則在A、B、C處依次寫上的字可以是（ ）
A. 吉 如 意B. 意 吉 如C. 吉 意 如D. 意 如 吉
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是簡單幾何體的展開圖，利用四棱錐的展開圖的特點可得答案．
【詳解】解：由題意可得：展開圖是四棱錐，
∴A、B、C處依次寫上的字可以是吉，如，意；或如，吉，意；
故選A
8. 已知，正六邊形的面積為，則正六邊形的邊長為（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查正六邊形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，設出邊長去表示正三角形面積和正六邊形面積即可．
【詳解】解：如圖：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可求出正六邊形的一個內(nèi)角為，故正六邊形是由6個正三角形構成的，過點作垂足是，
設正六邊形的邊長為，即
在正三角形中，
∵，
∴，
在中，
一個正三角形的面積為：，
正六邊形的面積為：，
∴，
解得：，
故選：C．
9. 將一組數(shù)，按以下方式進行排列：
則第八行左起第1個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關鍵．求出第七行共有28個數(shù)，從而可得第八行左起第1個數(shù)是第29個數(shù)，據(jù)此求解即可得．
【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數(shù)，第二行共有2個數(shù)，第三行共有3個數(shù)，
歸納類推得：第七行共有個數(shù)，
則第八行左起第1個數(shù)是，
故選：C．
10. 某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物的高度，在建筑物旁邊有一高度為10米的小樓房，小李同學在小樓房樓底處測得處的仰角為，在小樓房樓頂處測得處的仰角為．（在同一平面內(nèi)，在同一水平面上），則建筑物的高為（ ）米
A. 20B. 15C. 12D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，如圖，過作于，則四邊形為矩形，設，而，可得，，結合，再解方程即可．
【詳解】解：如圖，過作于，
依題意，
∴四邊形為矩形，
∴，，
設，而，
∴，
∵，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解，且符合題意；
∴，
故選B
11. 寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)的美感，世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形是黃金矩形．，點是邊上一點，則滿足的點的個數(shù)為（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一元二次方程解的情況是解題的關鍵．設，，假設存在點，且，則，利用勾股定理得到，，，可得到方程，結合，然后根據(jù)判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解．
【詳解】解：如圖所示，四邊形是黃金矩形，，，
設，，假設存在點，且，則，
在中，，
在中，，
，
，即，
整理得，
，又，即，
，
，，
，
方程無解，即點不存在．
故選：D．
12. 一次折紙實踐活動中，小王同學準備了一張邊長為4（單位：）的正方形紙片，他在邊和上分別取點和點，使，又在線段上任取一點（點可與端點重合），再將沿所在直線折疊得到，隨后連接．小王同學通過多次實踐得到以下結論：
①當點在線段上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動；
②當達到最大值時，到直線的距離達到最大；
③的最小值為；
④達到最小值時，．
你認為小王同學得到的結論正確的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由折疊可得，可得點到點距離恒為2，即可判斷①；連接，由勾股定理得到在中，，由，即可判斷③；達到最小值時，點在線段上，證得，得到，從而求得，通過即可判斷④．在中，隨著的增大而增大，而當最大時，有最大值，有最大值，此時點N與點D重合．過點作于點G，作于點P，可得四邊形是矩形，因此，當取得最大值時，有最小值，在中，有最大值，有最大值，即可判斷②．
【詳解】解：∵正方形紙片的邊長為，
∴，
由折疊的性質(zhì)可知，，
∴當點在線段上運動時，點在以為圓心的圓弧上運動．故①正確．
連接，
∵在正方形中，，，，
∴在中，
∵，
∴，
∴的最小值為．故③正確；
如圖，
達到最小值時，點在線段上，
由折疊可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．故④錯誤．
在中，，，
∴隨著的增大而增大，
∵，
∴當最大時，有最大值，有最大值，此時，點N與點D重合，
過點作于點G，作于點P，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
當取得最大值時，也是最大值，
∵，
∴有最小值，
∴在中，有最大值，
即有最大值，
∴點到的距離最大．故②正確．
綜上所述，正確的共有3個．
故選：C
【點睛】本題考查軸對稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的性質(zhì)，綜合運用相關知識是解題的關鍵．
第Ⅱ卷（非選擇題，共114分）
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，將答案填在答題卡對應的題號后的橫線上）
13. 化簡：＝__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)“”進行計算即可得．
【詳解】解：，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了化簡二次根式，解題的關鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．
14. 若一個多項式加上，結果是，則這個多項式為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查整式的加減運算，根據(jù)題意“一個多項式加上，結果是”，進行列出式子：，再去括號合并同類項即可．
【詳解】解：依題意這個多項式為
．
故答案為：
15. 某校擬招聘一名優(yōu)秀的數(shù)學教師，設置了筆試、面試、試講三項水平測試，綜合成績按照筆試占，面試占，試講占進行計算，小徐的三項測試成績?nèi)鐖D所示，則她的綜合成績?yōu)開_____分．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了加權平均數(shù)，解題關鍵是熟記加權平均數(shù)公式，準確進行計算．利用加權平均數(shù)公式計算即可．
【詳解】解：她的綜合成績?yōu)椋ǚ郑?br>故答案為：．
16. 如圖，四邊形是矩形，是正三角形，點是的中點，點是矩形內(nèi)一點，且是以為底的等腰三角形，則的面積與的面積的比值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確設出邊長表示出兩個面積是解題的關鍵．
作輔助線如圖，設，，根據(jù)性質(zhì)和圖形表示出面積即可得到答案．
【詳解】解：如圖，找，中點為，，連接，，連接，， 過作交延長線于點，延長，與交于點．
設，，
∵是以為底的等腰三角形，
∴在上，
∴到的距離即為，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2．
17. 數(shù)學活動課上，甲組同學給乙組同學出示了一個探究問題：把數(shù)字1至8分別填入如圖的八個圓圈內(nèi)，使得任意兩個有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對值不等于1．經(jīng)過探究后，乙組的小高同學填出了圖中兩個中心圓圈的數(shù)字a、b，你認為a可以是______（填上一個數(shù)字即可）．
【答案】1##8
【解析】
【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，理解題意是解題的關鍵．由于兩個中心圓圈有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個圓圈中，否則不滿足任意兩個有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對值不等于1，故只剩下5個數(shù)字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8．
【詳解】解： 兩個中心圓圈分別有6根連線，數(shù)字1至8，共有8個數(shù)字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一個數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個圓圈中，故只剩下5個數(shù)字可選，不滿足6個空的圓圈需要填入．
位于兩個中心圓圈的數(shù)字a、b，只可能是1或者8．
故答案為：1（或8）．
18. 如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則；④若關于的一元二次方程無實數(shù)根，則．其中正確結論是______（請?zhí)顚懶蛱枺?br>【答案】①②④
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據(jù)圖象可得當時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．
【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標為，
∴，
∴，即，
由圖可知，拋物線開口方向向下，即，
∴，
當時，，
∴，故①正確，符合題意；
②∵直線是拋物線的對稱軸，
∴，
∴，
∴
由圖象可得：當時，，
∴，即，故②正確，符合題意；
③∵直線是拋物線的對稱軸，
設兩點橫坐標與對稱軸的距離為，
則，，
∴，
根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，
∴，故③錯誤，不符合題意；
④如圖，
∵關于x的一元二次方程無實數(shù)根，
∴，故④正確，符合題意．
故答案為：①②④
三、解答題（本大題共7小題，共90分．解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟）
19. （1）計算：；
（2）解不等式組：
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】（1）先計算立方根、負整數(shù)指數(shù)冪、銳角三角函數(shù)，再進行實數(shù)的加減混合運算即可．
（2）分別求出不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的確定不等式組的解集即可．
【詳解】（1）原式：
．
（2）解：
由①，得，
由②，得，
∴不等式組的解集為．
【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算、立方根、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的銳角三角函數(shù)、解一元一次不等式組，熟練掌握立方根、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的銳角三角函數(shù)和解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．
20. 2024年中國龍舟公開賽（四川·德陽站），在德陽旌湖沱江橋水域舉行，預計來自全國各地1000余名選手將參賽．旌湖兩岸高顏值的綠色生態(tài)景觀綠化帶“德陽之窗”將迎接德陽市民以及來自全國各地的朋友近距離的觀看比賽．比賽設置男子組、女子組、本地組三個組別，其中男子組將進行A：100米直道競速賽，B：200米直道竟速賽，C：500米直道競速賽，D：3000米繞標賽．為了了解德陽市民對于這四個比賽項目的關注程度，隨機對部分市民進行了問卷調(diào)查（參與問卷調(diào)查的每位市民只能選擇其中一個項目），將調(diào)查得到的數(shù)據(jù)繪制成數(shù)據(jù)統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖（表、圖都未完全制作完成）：
（1）直接寫出a、b的值和D所在扇形圓心角的度數(shù)；
（2）若當天觀看比賽的市民有10000人，試估計當天觀看比賽的市民中關注哪個比賽項目的人數(shù)最多？大約有多少人？
（3）為了緩解比賽當天城市交通壓力，維護交通秩序，德陽交警旌陽支隊派出4名交警（2男2女）對該路段進行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口執(zhí)勤，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求出恰好抽到的兩名交警性別相同的概率．
【答案】（1），，
（2）D，4000 （3）
【解析】
【分析】本題考查統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體，樹狀圖求概率等知識，正確識圖是解題的關鍵．
根據(jù)兩個圖標識圖求解即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)兩圖中A的數(shù)據(jù)可得總人數(shù)為：（人），
（人），
（人），
D所在扇形圓心角的度數(shù)為：
【小問2詳解】
D：3000米繞標賽的關注人數(shù)最多，為（人）
答：估計當天觀看比賽的市民中關注D：3000米繞標賽比賽項目的人數(shù)最多，大約有4000人．
【小問3詳解】
解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖如下圖：
根據(jù)樹狀圖可得，共有12種等可能得結果，其中恰好抽到的兩名交警性別相同的概率為：．
21. 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點．
（1）求的值和反比例函數(shù)的解析式；
（2）將直線向下平移個單位長度后得直線，若直線與反比例函數(shù)的圖象的交點為，求的值，并結合圖象求不等式的解集．
【答案】（1）；反比例函數(shù)的解析式為
（2）；不等式的解集為
【解析】
【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：
（1）把代入求出，得，從而可求出的值；
（2）由平移得直線與直線平行，得，把點代入得，得，代入，求出，得出；由圖象得當時，在直線的下方，故可求出不等式的解集．
【小問1詳解】
解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：；
【小問2詳解】
解：∵直線是將直線向下平移個單位長度后得到的，
∴直線與直線平行，
∴，
∴，
∵直線與反比例函數(shù)的圖象的交點為，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由圖象知，當時，在直線的下方，
∴不等式的解集為
22. 如圖，在菱形中，，對角線與相交于點，點為的中點，連接與相交于點，連接并延長交于點．
（1）證明：；
（2）證明：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定是解題關鍵．
（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)定理即可得證．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵點為的中點，
∴，
∴
∵，
∴．
【小問2詳解】
證明：∵是等邊三角形，，，
∴，
∴
∵是等邊三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
23. 羅江糯米咸鵝蛋是德陽市非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，至今有200多年歷史，采用羅江當?shù)亓窒吗B(yǎng)殖的鵝產(chǎn)的散養(yǎng)鵝蛋，經(jīng)過傳統(tǒng)秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．為了迎接端午節(jié)，進一步提升糯米咸鵝蛋的銷量，德陽某超市將購進的糯米咸鵝蛋和肉粽進行組合銷售，有A、B兩種組合方式，其中A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽．A、B兩種組合的進價和售價如下表：
（1）求每枚糯米咸鵝蛋和每個肉粽的進價分別為多少？
（2）根據(jù)市場需求，超市準備的B種組合數(shù)量是A種組合數(shù)量的3倍少5件，且兩種組合的總件數(shù)不超過95件，假設準備的兩種組合全部售出，為使利潤最大，該超市應準備多少件A種組合？最大利潤為多少？
【答案】（1）16元， 6元
（2）25件， 3590元
【解析】
【分析】本題考查二元一次方程組的應用、不等式的應用和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意列出式子是本題的關鍵．
（1）根據(jù)表格與“A組合有4枚糯米咸鵝蛋和6個肉粽，B組合有6枚糯米咸鵝蛋和10個肉粽”即可列方程求解；
（2）設A種組合的數(shù)量，表示出B種組合數(shù)量，根據(jù)“兩種組合的總件數(shù)不超過95件”列不等式求出A種組合的數(shù)量的最大值，再根據(jù)題意表示出利潤的表達式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結果．
【小問1詳解】
解：設每枚糯米咸鵝蛋的進價元，每個肉粽的進價元．
根據(jù)題意可得：
，
解得：
，
答：每枚糯米咸鵝蛋的進價16元，每個肉粽的進價6元．
【小問2詳解】
解：設該超市應準備件A種組合，則B種組合數(shù)量是件，利潤為W元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則利潤，
可以看出利潤是一次函數(shù)，隨著的增大而增大，
∴當最大時，最大，
即當時，，
答：為使利潤最大，該超市應準備25件A種組合，最大利潤3590元．
24. 如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當時，求的函數(shù)值的取值范圍；
（3）將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）的最小值為：
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；
（2）求解的對稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進一步求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與軸交于點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
【小問2詳解】
解：∵的對稱軸為直線，而，
∴函數(shù)最小值為：，
當時，，
當時，，
∴函數(shù)值的范圍為：；
【小問3詳解】
解：∵，
當時，，
∴，
當時，
解得：，，
∴，
∴，
設直線為，
∴，
∴，
∴直線為，
∵拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，而頂點為，
∴，
∴在直線上，
如圖，過作于，連接，過作于，
∵，，
∴，，
∵對稱軸與軸平行，
∴，
∴，
∴，
由拋物線的對稱性可得：，，
∴，
當三點共線時取等號，
∴，
∴，
∴，
即的最小值為：．
【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用軸對稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，銳角三角函數(shù)的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．
25. 已知的半徑為5，是上兩定點，點是上一動點，且的平分線交于點．
（1）證明：點為上一定點；
（2）過點作的平行線交的延長線于點．
①判斷與的位置關系，并說明理由；
②若為銳角三角形，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析
（2）①與相切，理由見解析；②的取值范圍為．
【解析】
【分析】（1）由的平分線交于點，，可得，結合是上兩定點，可得結論；
（2）①如圖，連接，證明，結合，可得，從而可得結論；
②分情況討論：如圖，當時，可得；如圖，連接，當，可得，從而可得答案．
【小問1詳解】
證明：∵的平分線交于點，，
∴，
∴，
∵是上兩定點，
∴點為的中點，是一定點；
【小問2詳解】
解：①如圖，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線；
②如圖，當時，
∴為直徑，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形矩形，
∴；
如圖，連接，當，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當為銳角三角形，的取值范圍為．
【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，圓周角定理的應用，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，做出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關鍵．投中次數(shù)（個）
0
1
2
3
4
5
人數(shù)（人）
1
●
10
17
●
6
市民最關注的比賽項目人數(shù)統(tǒng)計表
比賽項目
A
B
C
D
關注人數(shù)
42
30
a
b
價格
A
B
進價（元/件）
94
146
售價（元/件）
120
188

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