1．（3分）下列各式中，計(jì)算結(jié)果為﹣4的是（ ）
A．﹣（﹣4）B．﹣|﹣4|C．（﹣2）2D．8÷（）
2．（3分）下列圖案中既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）一組數(shù)據(jù)共100個(gè)，分為6組，第1～4組的頻數(shù)分別為10，14，16，20，第5組的頻率為0.20，則第6組的頻數(shù)為（ ）
A．20B．22C．24D．30
4．（3分）判斷下列哪一組的a、b、c，可使二次函數(shù)y＝ax2+bx+c﹣5x2﹣3x+7在坐標(biāo)平面上的圖形有最高點(diǎn)（ ）
A．a(chǎn)＝0，b＝4，c＝8B．a(chǎn)＝7，b＝4，c＝﹣8
C．a(chǎn)＝8，b＝﹣4，c＝8D．a(chǎn)＝6，b＝﹣4，c＝﹣8
5．（3分）在某?！拔业闹袊鴫?mèng)”演講比賽中，有9名學(xué)生參加決賽，他們決賽的最終成績(jī)各不相同．其中的一名學(xué)生想要知道自己能否進(jìn)入前5名，不僅要了解自己的成績(jī)，還要了解這9名學(xué)生成績(jī)的（ ）
A．眾數(shù)B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．方差
6．（3分）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，O都在小正方形的頂點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，5
8．（3分）如圖，矩形ABCD是由三個(gè)全等矩形拼成的，AC與DE、EF、FG、HG、HB分別交于點(diǎn)P、Q、K、M、N，設(shè)△EPQ、△GKM、△BNC的面積依次為S1、S2、S3．若S1+S3＝30，則S2的值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
9．（3分）如圖，直線yx與雙曲線y交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，連接AC，BC，若∠ACB＝90°，△ABC的面積為20，則k的值是（ ）
A．﹣10B．﹣12C．﹣15D．﹣20
10．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長為4，且AE⊥BC，E、F、G、H分別為BC、CD、DA、AB的中點(diǎn)，以A、B、C、D四點(diǎn)為圓心，半徑為2作圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．44πB．42πC．82πD．84π
11．（3分）一輛貨車與客車都從A地出發(fā)經(jīng)過B地再到C地，總路程200千米，貨車到B地卸貨后再去C地，客車到B地部分旅客下車后再到C地，貨車比客車晚出發(fā)10分鐘，則以下4種說法：
①貨車與客車同時(shí)到達(dá)B地；
②貨車在卸貨前后速度不變；
③客車到B地之前的速度為20千米/時(shí)；
④貨車比客車早5分鐘到達(dá)C地；
4種說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
12．（3分）如圖所示，菱形ABCD的邊長是2厘米，∠BAD＝120°，動(dòng)點(diǎn)M以1厘米/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)向B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)向D移動(dòng)，兩點(diǎn)中任一個(gè)到達(dá)線段端點(diǎn)移動(dòng)結(jié)束．若點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BMN的面積為S厘米2，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
13．（3分）如果一個(gè)反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝2x圖象有一個(gè)公共點(diǎn)A（1，a），那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是 ．
14．（3分）設(shè)a，b是方程x2+x﹣2018＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為 ．
15．（3分）如圖，一位同學(xué)用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，兩次計(jì)算的按鍵順序如下：，那么第一次按鍵輸出的結(jié)果減去第二次按鍵輸出結(jié)果的差等于 ．
16．（3分）如圖，矩形紙片ABCD，AD＝4，AB＝3．如果點(diǎn)P在邊BC上，將紙片沿AP折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接EC，當(dāng)△EPC是直角三角形時(shí)，那么BP的長為 ．
17．（3分）已知如圖，A（1，1）、B（4，2），CD為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且CD＝1，當(dāng)AC+CD+DB的最小值為 ．
三、解答題
18．解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
19．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足為E．
（1）求證：△ABD≌△ECB；
（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的長．
20．一種產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，某公司在銷售這種產(chǎn)品時(shí)，每年總開支為100萬元（不含進(jìn)價(jià)）．經(jīng)過若干年銷售得知，年銷售量y（萬件）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，并得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出該公司銷售這種產(chǎn)品的年利潤w（萬元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年利潤最大？
（3）試通過（2）中的函數(shù)關(guān)系式及其大致圖象幫助該公司確定產(chǎn)品的銷售單價(jià)范圍，使年利潤不低于60萬元．
21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O與邊AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，CE為⊙O的直徑．
（1）求證：OD⊥CE；
（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的長．
22．某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若商店按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？
（3）若商店要使銷售量不少于70件，則銷售單價(jià)最高為多少元？
23．如圖，已知拋物線y＝ax2+2x+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l：y＝﹣2x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)G．
（1）求拋物線和直線的解析式．
（2）點(diǎn)H為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，且到B，G的距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)，并求△HBG內(nèi)切圓的半徑．
（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)K，使△KBC的面積最大？如果存在，求出△KBC的最大面積，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
24．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點(diǎn)E作直線l⊥x軸于H，過點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí)，求線段OD的長；
（3）在（2）的條件下：試探究在直線l上，是否存在點(diǎn)G，使∠EDG＝45°．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2023-2024學(xué)年山東省臨沂市沂水實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單選題
1．（3分）下列各式中，計(jì)算結(jié)果為﹣4的是（ ）
A．﹣（﹣4）B．﹣|﹣4|C．（﹣2）2D．8÷（）
【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算方法，求出每個(gè)算式的值各是多少，判斷出各式中，計(jì)算結(jié)果為﹣4的是哪個(gè)即可．
【解答】解：A、﹣（﹣4）＝4，不符合題意；
B、﹣|﹣4|＝﹣4，符合題意；
C、（﹣2）2＝4，不符合題意；
D、8÷（）＝﹣16，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)運(yùn)算方法解答是解題關(guān)鍵．
2．（3分）下列圖案中既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念結(jié)合各圖形的特點(diǎn)求解．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的是，符合題意；
D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合；判斷中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
3．（3分）一組數(shù)據(jù)共100個(gè)，分為6組，第1～4組的頻數(shù)分別為10，14，16，20，第5組的頻率為0.20，則第6組的頻數(shù)為（ ）
A．20B．22C．24D．30
【分析】直接利用頻數(shù)與頻率的關(guān)系得出第5組的頻數(shù)，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)共100個(gè)，第5組的頻率為0.20，
∴第5組的頻數(shù)是：100×0.20＝20，
∵一組數(shù)據(jù)共100個(gè)，分為6組，第1～4組的頻數(shù)分別為10，14，16，20，
∴第6組的頻數(shù)為：100﹣20﹣10﹣14﹣16﹣20＝20．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了頻數(shù)與頻率，正確得出第5組頻數(shù)是解題關(guān)鍵．
4．（3分）判斷下列哪一組的a、b、c，可使二次函數(shù)y＝ax2+bx+c﹣5x2﹣3x+7在坐標(biāo)平面上的圖形有最高點(diǎn)（ ）
A．a(chǎn)＝0，b＝4，c＝8B．a(chǎn)＝7，b＝4，c＝﹣8
C．a(chǎn)＝8，b＝﹣4，c＝8D．a(chǎn)＝6，b＝﹣4，c＝﹣8
【分析】將二次函數(shù)化為一般形式，使其二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)即可．
【解答】解：y＝ax2+bx+c﹣5x2﹣3x+7＝（a﹣5）x2+（b﹣3）x+（c+7），
若使此二次函數(shù)圖形有最高點(diǎn)，則圖形的開口向下，即x2項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，
∴a﹣5＜0，
∴a＜5，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，理解二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）在某?！拔业闹袊鴫?mèng)”演講比賽中，有9名學(xué)生參加決賽，他們決賽的最終成績(jī)各不相同．其中的一名學(xué)生想要知道自己能否進(jìn)入前5名，不僅要了解自己的成績(jī)，還要了解這9名學(xué)生成績(jī)的（ ）
A．眾數(shù)B．中位數(shù)C．平均數(shù)D．方差
【分析】9人成績(jī)的中位數(shù)是第5名的成績(jī)．參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前5名，只需要了解自己的成績(jī)以及全部成績(jī)的中位數(shù)，比較即可．
【解答】解：由于總共有9個(gè)人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，第5的成績(jī)是中位數(shù)，要判斷是否進(jìn)入前5名，故應(yīng)知道中位數(shù)的多少．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．
6．（3分）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，O都在小正方形的頂點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C．先利用勾股定理求出BO、AO的長，再利用△AOB的面積求出BC的長，最后在直角△BCO中求出∠AOB的正弦值．
【解答】解：過點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C．
BO2，
AO2．
∵S△AOB2×2＝2，
∴AO?BC＝2．
∴BC．
∴sin∠AOB．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用△的面積求出OA邊上的高是解決本題的關(guān)鍵．
7．（3分）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，5
【分析】根據(jù)勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長度，然后與較長的邊進(jìn)行比較作出判斷即可．
【解答】解：A、∵4，2+3＞4，∴不能組成銳角三角形；
B、∵2+3＝5，∴不能組成三角形；
C、∵5＞4，3+4＞4，∴能組成銳角三角形；
D、∵5，是直角三角形，∴不能組成銳角三角形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，矩形ABCD是由三個(gè)全等矩形拼成的，AC與DE、EF、FG、HG、HB分別交于點(diǎn)P、Q、K、M、N，設(shè)△EPQ、△GKM、△BNC的面積依次為S1、S2、S3．若S1+S3＝30，則S2的值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】先證明△EPQ∽△GKM∽△BNC，再證明△AEQ∽△AGM得到，，所以S1S2，同理得到S3S2，所以S2S2＝30，從而得到S2的值．
【解答】解：∵矩形ABCD是由三個(gè)全等矩形拼成，
∴△ADE≌△EFG≌△GHB，
∴∠AED＝∠EGF＝∠GBH，
∴∠DEF＝∠FGH＝∠HBC，
∵FE∥HG∥BC，
∴∠AQE＝∠AMG＝∠ACB，
∴△EPQ∽△GKM∽△BNC，
∵QE∥MG，
∴△AEQ∽△AGM，
∴，
∴（）2，
∴S1S2，
∵M(jìn)G∥CB，
∴△AGM∽△ABC，
∴，
∴（）2，
∴S3S2，
∵S1+S3＝30，
∴S2S2＝30，
∴S2＝12．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系；也考查了矩形的性質(zhì)．
9．（3分）如圖，直線yx與雙曲線y交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，連接AC，BC，若∠ACB＝90°，△ABC的面積為20，則k的值是（ ）
A．﹣10B．﹣12C．﹣15D．﹣20
【分析】設(shè)點(diǎn)A（a，a），利用S△ACB（yA+|yB|）＝20，構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)A（a，a），
則OAa，
∵點(diǎn)C在x軸上一點(diǎn)，∠ACB＝90°，且△ACB的面積為20，
∴OA＝OB＝OCa，
∴S△ACBOC×（yA+|yB|）（a）×（a）＝20，
解得a＝±3（舍棄3），
∴點(diǎn)A為（﹣3，4），
∴k＝﹣3×4＝﹣12，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．
10．（3分）如圖，菱形ABCD的邊長為4，且AE⊥BC，E、F、G、H分別為BC、CD、DA、AB的中點(diǎn)，以A、B、C、D四點(diǎn)為圓心，半徑為2作圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A．44πB．42πC．82πD．84π
【分析】由圖形可知，陰影部分的面積是菱形ABCD的面積減去半徑為2的整圓的面積，然后根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算AE的長，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可解答本題．
【解答】解：由已知可得，
AB＝BC＝AC＝4，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，并且平分BC，
∴AE2，
由圖可得，陰影部分的面積是平行四邊形ABCD的面積﹣（扇形AHG的面積+扇形BHE的面積+扇形CEF的面積+扇形DGF的面積）＝平行四邊形ABCD的面積﹣圓A的面積，
∴圖中陰影部分的面積是：4π×22＝84π，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以發(fā)現(xiàn)四個(gè)扇形的面積之和正好是半徑為2的整圓的面積．
11．（3分）一輛貨車與客車都從A地出發(fā)經(jīng)過B地再到C地，總路程200千米，貨車到B地卸貨后再去C地，客車到B地部分旅客下車后再到C地，貨車比客車晚出發(fā)10分鐘，則以下4種說法：
①貨車與客車同時(shí)到達(dá)B地；
②貨車在卸貨前后速度不變；
③客車到B地之前的速度為20千米/時(shí)；
④貨車比客車早5分鐘到達(dá)C地；
4種說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】①由函數(shù)圖可以得出貨車到達(dá)B地用時(shí)30分鐘，客車到達(dá)B地用時(shí)40分鐘，根據(jù)貨車比客車晚出發(fā)10分鐘就可以得出貨車與客車同時(shí)到達(dá)B地；
②分別求出貨車卸貨前后的速度并作比較就可以得出結(jié)論；
③由路程÷時(shí)間＝速度就可以得出結(jié)論；
④由函數(shù)圖象可以得出貨車到達(dá)C地的時(shí)間是80分鐘，客車到達(dá)C地的時(shí)間是85分鐘就可以得出，但是客車先出發(fā)了10分鐘，故貨車比客車晚5分鐘到達(dá)C地．
【解答】解：①函數(shù)圖可以得出貨車到達(dá)B地用時(shí)30分鐘，客車到達(dá)B地用時(shí)40分鐘，
∵車比客車晚出發(fā)10分鐘，
∴貨車與客車同時(shí)到達(dá)B地．故正確
②貨車在卸貨前的速度為：80÷0.5＝160千米/時(shí)，
貨車在卸貨后的速度為：120÷0.5＝240千米/時(shí)．
∵160≠240，
∴貨車在卸貨前后速度不相等．故錯(cuò)誤；
③客車到B地之前的速度為：80120千米/時(shí)≠20千米/時(shí)．故錯(cuò)誤；
④由函數(shù)圖象可以得出貨車到達(dá)C地所有時(shí)間是80分鐘，客車到達(dá)C地所用時(shí)間是85分鐘，
∵客車先出發(fā)了10分鐘，
∴貨車是客車出發(fā)90分鐘后到達(dá)的C地，
∴貨車比客車晚5分鐘到達(dá)C地．故錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系：速度＝路程÷時(shí)間的運(yùn)用，一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)的運(yùn)用，有理數(shù)大小比較的運(yùn)用，解答時(shí)分析清楚一次函數(shù)圖象的數(shù)據(jù)的含義是關(guān)鍵．
12．（3分）如圖所示，菱形ABCD的邊長是2厘米，∠BAD＝120°，動(dòng)點(diǎn)M以1厘米/秒的速度自A點(diǎn)出發(fā)向B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N以2厘米/秒的速度自B點(diǎn)出發(fā)向D移動(dòng)，兩點(diǎn)中任一個(gè)到達(dá)線段端點(diǎn)移動(dòng)結(jié)束．若點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒，記△BMN的面積為S厘米2，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】連接AC與BD交于點(diǎn)O，作MH⊥BD，垂足為H，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及題目給出的條件可得BOcm，進(jìn)而得出BDcm，根據(jù)題意可知AM＝tcm，BN＝2tcm，根據(jù)題意得出t的取值范圍，再根據(jù)三角形的面積公式得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式即可得出正確選項(xiàng)．
【解答】解：如圖，連接AC與BD交于點(diǎn)O，作MH⊥BD，垂足為H，
∵ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，∠ABO＝30°，
∴BO＝AB?cs30°（cm），
∴BD（cm），
根據(jù)s＝vt可知，AM＝t（cm），BN＝2t（cm），
∵0≤AM≤2，得0≤t≤2，，
∴，
∵在△BMH中，BN＝2t，MH＝BM?sin30°，
∴（），
此函數(shù)的圖象為開口方向向下的拋物線的一部分，且圖象兩個(gè)端點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0，．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，利用圖形的關(guān)系求函數(shù)的解析式，注意數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題
13．（3分）如果一個(gè)反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝2x圖象有一個(gè)公共點(diǎn)A（1，a），那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是 y ．
【分析】根據(jù)題意可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可解答本題．
【解答】解：將x＝1代入y＝2x，得y＝2，
∴點(diǎn)A（1，2），
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y，
∵一個(gè)反比例函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝2x圖象有一個(gè)公共點(diǎn)A（1，2），
∴2．
解得，k＝2，
即反比例函數(shù)解析式為y，
故答案為：y．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式．
14．（3分）設(shè)a，b是方程x2+x﹣2018＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為 2017 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出a2+a＝2018、a+b＝﹣1，將其代入a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）中即可求出結(jié)論．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2018＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a2+a＝2018，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2018﹣1＝2017．
故答案為：2017．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系找出a2+a＝2018、a+b＝﹣1是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，一位同學(xué)用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，兩次計(jì)算的按鍵順序如下：，那么第一次按鍵輸出的結(jié)果減去第二次按鍵輸出結(jié)果的差等于 2 ．
【分析】利用科學(xué)計(jì)算器的使用規(guī)則把有理數(shù)混合運(yùn)算，再計(jì)算．
【解答】解：第一次運(yùn)算：，
第二次運(yùn)算：，
∴第一次按鍵輸出的結(jié)果減去第二次按鍵輸出結(jié)果的差為：67﹣65＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了科學(xué)計(jì)算器的使用計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確使用科學(xué)計(jì)算器．
16．（3分）如圖，矩形紙片ABCD，AD＝4，AB＝3．如果點(diǎn)P在邊BC上，將紙片沿AP折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接EC，當(dāng)△EPC是直角三角形時(shí)，那么BP的長為 1.5或3 ．
【分析】分類討論∠PEC＝90°、∠EPC＝90°，畫出對(duì)應(yīng)的圖形即可求解．
【解答】解：若∠PEC＝90°，如圖1：
∵∠AEP＝∠B＝∠PEC＝90°，
∴A、E、C三點(diǎn)共線，
由題意得：，
設(shè)EP＝BP＝x，則CP＝BC﹣BP＝4﹣x，
由翻折可知：AE＝AB＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得：x＝1.5，
∴BP＝1.5；
若∠EPC＝90°，如圖2：
則四邊形ABPE是矩形，
由翻折可知：BP＝EP，
∴四邊形ABPE是正方形，
∴BP＝AB＝3，
綜上所述：BP＝1.5或BP＝3，
故答案為：1.5或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
17．（3分）已知如圖，A（1，1）、B（4，2），CD為x軸上一條動(dòng)線段，D在C點(diǎn)右邊且CD＝1，當(dāng)AC+CD+DB的最小值為 ．
【分析】涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，將點(diǎn)A（1，1）向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)A′（2，1）構(gòu)造平行四邊形ACDA′是解題即可．
【解答】解：將點(diǎn)A（1，1）向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)A′（2，1），作點(diǎn)A′（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′′（2，﹣1），連接A″，B，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，此時(shí)AC+CD+DB的值最小，如圖所示：
∵AA′＝CD＝1，且AA′∥CD，
∴四邊形ACDA′為平行四邊形，
∴AC＝A′D，
∵點(diǎn)A′（2，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A″，
∴A′D＝A″D，
∴AC+CD+DB＝A″D+DB+1≥A″B+1，
∵，
∴AC+CD+DB的最小值為：，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“將軍飲馬”求最值的模型，涉及了平行四邊形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，將點(diǎn)A（1，1）向右平移1個(gè)單位長度得到點(diǎn)A′（2，1）構(gòu)造平行四邊形ACDA′是解題關(guān)鍵．
三、解答題
18．解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．
【分析】分別解兩個(gè)不等式得到x＞﹣2和x≤3，再利用數(shù)軸表示解集，然后根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集．
【解答】解：
解不等式①得x＞﹣2，
解不等式②得x≤3，
數(shù)軸表示解集為：
所以不等式組的解集是﹣2＜x≤3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．
19．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足為E．
（1）求證：△ABD≌△ECB；
（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的長．
【分析】（1）由AD∥BC得∠ADB＝∠EBC，由CE⊥BD得∠A＝∠BEC＝90°，根據(jù)AAS可證△ABD≌△ECB；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
∵CE⊥BD，∠A＝90°，
∴∠A＝∠BEC＝90°，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
（2）∵△ABD≌△ECB，
∴AB＝CE＝3，
∵AD＝4，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，
∵△ABD≌△ECB，
∴AD＝BE＝4，
∴DE＝BD﹣BE＝1，
∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查梯形、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)已知條件推得能證全等的條件是關(guān)鍵．
20．一種產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，某公司在銷售這種產(chǎn)品時(shí)，每年總開支為100萬元（不含進(jìn)價(jià)）．經(jīng)過若干年銷售得知，年銷售量y（萬件）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，并得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù)：
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出該公司銷售這種產(chǎn)品的年利潤w（萬元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年利潤最大？
（3）試通過（2）中的函數(shù)關(guān)系式及其大致圖象幫助該公司確定產(chǎn)品的銷售單價(jià)范圍，使年利潤不低于60萬元．
【分析】（1）根據(jù)表中的已知點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法確定直線的解析式即可；
（2）根據(jù)總利潤＝單件利潤×銷量列出函數(shù)關(guān)系式配方后即可確定最值；
（3）令利潤等于60求得相應(yīng)的自變量的值即可確定銷售單價(jià)的范圍．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，把（60，5），（80，4）代入得：，
解得：，
故答案為：yx+8；
（2）該公司年利潤w＝（x+8）（x﹣40）﹣100（x﹣100）2+80，
當(dāng)x＝100時(shí)，該公司年利潤最大值為80萬元；
（3）由題意得：（x﹣100）2+80＝60，
解得：x1＝80，x2＝120，
故該公司確定銷售單價(jià)x的范圍是：80≤x≤120．
根據(jù)函數(shù)圖象可得：當(dāng)80≤x≤120時(shí)，
該公司產(chǎn)品的利潤不低于60萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．
21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O與邊AB相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，CE為⊙O的直徑．
（1）求證：OD⊥CE；
（2）若DF＝1，DC＝3，求AE的長．
【分析】（1）⊙O與邊AB相切于點(diǎn)E，且 CE為⊙O的直徑，得到CE⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)三線合一得到BD＝DC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）連接EF，由CE為⊙O的直徑，且點(diǎn)F在⊙O上，得到∠EFC＝90°，又因?yàn)?CE⊥AB，得到∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°，推出∠BEF＝∠ECF，于是得到tan∠BEF＝tan∠ECF，得到等積式，求得EF＝2，由勾股定理得BE，再根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式求解．
【解答】解：（1）∵⊙O與邊AB相切于點(diǎn)E，且 CE為⊙O的直徑，
∴CE⊥AB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
又∵OE＝OC，
∴OD∥EB，
∴OD⊥CE；
（2）連接EF，
∵CE為⊙O的直徑，且點(diǎn)F在⊙O上，∴∠EFC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°．
∴∠BEF+∠FEC＝∠FEC+∠ECF＝90°，
∴∠BEF＝∠ECF，
∴tan∠BEF＝tan∠ECF
∴，
又∵DF＝1，BD＝DC＝3，
∴BF＝2，F(xiàn)C＝4，
∴EF＝2，
∵∠EFC＝90°，
∴∠BFE＝90°，
由勾股定理，得，
∵EF∥AD，
∴，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．某商店購進(jìn)一批成本為每件30元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
（1）求該商品每天的銷售量y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若商店按單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于50元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？
（3）若商店要使銷售量不少于70件，則銷售單價(jià)最高為多少元？
【分析】（1）將點(diǎn)（30，100）、（45，70）代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）由題意得w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，即可求解；
（3）由題意得﹣2x+160≥70，解不等式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)y與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，
將點(diǎn)（30，100）、（45，70）代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，
解得：，
故函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣2x+160；
（2）由題意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，故當(dāng)x＜55時(shí)，w隨x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴當(dāng)x＝50時(shí)，w有最大值，此時(shí)，w＝1200，
故銷售單價(jià)定為50元時(shí)，該商店每天的利潤最大，最大利潤1200元；
（3）由題意得：﹣2x+160≥70，
解得：x≤45，
商店要使銷售量不少于70件，則銷售單價(jià)最高為45元．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次不等式的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)，正確利用銷量×每件的利潤＝w得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
23．如圖，已知拋物線y＝ax2+2x+3與x軸交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l：y＝﹣2x+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)G．
（1）求拋物線和直線的解析式．
（2）點(diǎn)H為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，且到B，G的距離之和最小時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)，并求△HBG內(nèi)切圓的半徑．
（3）在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)K，使△KBC的面積最大？如果存在，求出△KBC的最大面積，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；根據(jù)直線y＝﹣2x+b與拋物線有唯一交點(diǎn)G，知x2﹣4x+b﹣3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，即16﹣4（b﹣3）＝0，得b＝7，故直線的解析式為y＝﹣2x+7；
（2）求出G（2，3），由HB＝HA，可知當(dāng)G，H，A共線時(shí)，HB+HG最小，由A（﹣1，0），G（2，3）可得直線AG解析式為y＝x+1，令x＝1得y＝2，故H（1，2）；可證△GHB是直角三角形，設(shè)△HBG內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)2S△BHG＝BH?HG＝（HG+BG+BH）?r，即可得△HBG內(nèi)切圓的半徑為；
（3）過K作KQ∥y軸交BC于Q，設(shè)K（m，﹣m2+2m+3），可得Q（m，﹣m+3），KQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，故S△KBC（﹣m2+3m）×3（m）2，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2+2x+3得：
0＝a﹣2+3，
解得a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
∵直線y＝﹣2x+b與拋物線有唯一交點(diǎn)G，
∴﹣x2+2x+3＝﹣2x+b有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
即x2﹣4x+b﹣3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
∴Δ＝0，即16﹣4（b﹣3）＝0，
解得b＝7，
∴直線的解析式為y＝﹣2x+7；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為直線x1，
由得：，
∴G（2，3），
∵點(diǎn)H為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，
∴HB＝HA，
∴HB+HG＝HA+HG，
∴當(dāng)G，H，A共線時(shí)，HB+HG最小，最小值即為AG的長度；
如圖：
由A（﹣1，0），G（2，3）可得直線AG解析式為y＝x+1，
在y＝x+1中，令x＝1得y＝2，
∴H（1，2）；
∴OH＝OA＝2，
∴△AOH是等腰直角三角形，
∴∠AHO＝45°，
由對(duì)稱性可得∠BHO＝45°，
∴∠GHB＝90°，即△GHB是直角三角形，
∵G（2，3），H（1，2），B（3，0），
∴HG，BG，BH＝2，
設(shè)△HBG內(nèi)切圓的半徑為r，
∴2S△BHG＝BH?HG＝（HG+BG+BH）?r，
∴r，
∴△HBG內(nèi)切圓的半徑為；
（3）存在點(diǎn)K，使△KBC的面積最大，理由如下：
過K作KQ∥y軸交BC于Q，如圖：
設(shè)K（m，﹣m2+2m+3），
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
由B（3，0），C（0，3）可得y＝﹣x+3，
∴Q（m，﹣m+3），
∴KQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴S△KBC（﹣m2+3m）×3（m）2，
∴當(dāng)m時(shí)，S△KBC取最大值，
∴△KBC的最大面積是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，對(duì)稱變換，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征等，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式．
24．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0）和B（5，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過點(diǎn)E作直線l⊥x軸于H，過點(diǎn)C作CF⊥l于點(diǎn)F．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)F恰好在拋物線上時(shí)，求線段OD的長；
（3）在（2）的條件下：試探究在直線l上，是否存在點(diǎn)G，使∠EDG＝45°．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)F（4，3），在判斷出△OCD≌△HDE，再做簡(jiǎn)單的計(jì)算即可；
（3）先求出E（4，1），再根據(jù)直線之間的關(guān)系用待定系數(shù)法依次求出，直線CE解析式為yx+3，直線DG2的解析式為yx+3，即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（﹣1，0），B（5，0），
∴，
∴，
∴拋物線yx2x+3，
（2）∵點(diǎn)F恰好在拋物線上，C（0，3），
∴F的縱坐標(biāo)為3，
把y＝3代入yx2x+3，得3x2x+3，
∴x＝0，或x＝4，
∴F（4，3），
∴OH＝4，
∵∠CDE＝90°，
∴∠ODC+∠HDC＝90°，
∴∠OCD＝∠HDE，
在△OCD和△HDE中，
，
∴△OCD≌△HDE，
∴DH＝OC＝3，
∴OD＝4﹣3＝1；
（3）存在，如圖，
連接CE，
∵CD＝DE，∠CDE＝90°，
∴∠CED＝45°，
過點(diǎn)D作DG1∥CE，過點(diǎn)D作DG2⊥CE，
∴∠EDG1＝45°，∠EDG2＝45°，
∵EH＝OD＝1，OH＝4，
∴E（4，1），
∵C（0，3），
∴直線CE解析式為yx+3，
設(shè)直線DG2的解析式為yx+m，
∵D（1，0），
∴01+m，
∴m，
∴直線DG2的解析式為yx+3，
當(dāng)x＝4時(shí)，y4，
∴G1（4，），
設(shè)直線DG1的解析式為y＝2x+n，
∵D（1，0），
∴0＝2×1+n，
∴n＝﹣2，
∴直線DG1的解析式為y＝2x﹣2．
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝6，
∴G2（4，6）．
【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求拋物線，直線解析式，三角形全等的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是尋找出直線之間的關(guān)系來確定直線解析式．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/12/26 14:27:53；用戶：劉亞君；郵箱：99197645@qq.cm；學(xué)號(hào)：2798877銷售單價(jià)x（元）
50
60
70
80
年銷售量y（萬件）
5.5
5
4.5
4
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
A
B
B
C
D
B
D
A
題號(hào)
12
答案
B
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