A．“買中獎率為110的獎券10張，中獎”是必然事件
B．“汽車累積行駛10000km，從未出現(xiàn)故障”是不可能事件
C．襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為70%”，意味著襄陽明天一定下雨
D．若兩組數據的平均數相同，則方差小的更穩(wěn)定
2．（3分）拋物線y=?3x2的頂點坐標是（ ）
A．（0，?3）B．（0，3）C．（0，0）D．（1，?3）
3．（3分）在不透明的甲口袋中裝有32個紅球和8個黑球，在不透明的乙口袋中裝有48個紅球，20個黑球和32個白球．這些球除了顏色外沒有其他區(qū)別．攪勻兩口袋中的球，從口袋中分別任意摸出一個球，下列說法正確的是（ ）
A．從甲口袋中摸到黑球的概率較大
B．從乙口袋中摸到黑球的概率較大
C．從甲、乙兩口袋中摸到黑球的概率相等
D．無法比較從甲、乙兩口袋中摸到黑球的概率
4．（3分）如圖，AB∥CD∥EF，則下列結論正確的是（ ）
A．CDEF=BCBEB．ADDF=BCCEC．BCCE=DFADD．CDEF=ADAF
5．（3分）下列說法不正確的是（ ）
A．方程x2＝x有一根為0
B．方程x2﹣1＝0的兩根互為相反數
C．方程（x﹣1）2﹣1＝0的兩根互為相反數
D．方程x2﹣x+2＝0的兩根互為相反數
6．（3分）如果反比例函數y=k?2x的圖象位于第二、四象限，那么k的取值范圍是（ ）
A．k＜2B．k＜﹣2C．k＞2D．k＞﹣2
7．（3分）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，△ABC與△DEF的面積之比為4：9，則AO：OD的比值為（ ）
A．2：3B．2：5C．4：9D．4：13
8．（3分）如圖，邊長為2的正方形ABCD內接于⊙O，PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，PD的延長線與BC的延長線交于點E，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．5﹣πB．5?π2C．52?π2D．52?π4
9．（3分）如圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在l時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面3m，水面寬6m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（ ）
A．y=?13x2B．y=13x2C．y＝﹣3x2D．y＝3x2
10．（3分）在平面直角坐標系中，將點M （0，3）繞原點順時針旋轉90°后得到的點的坐標為（ ）
A．（0，﹣3）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，3）
11．（3分）如圖，函數y=1x(x＞0)和y=4x(x＞0)的圖象分別是l1和l2．設點P在l2上，PA∥y軸交l1于點A，PB∥x軸交l1于點B，則△PAB的面積為（ ）
A．1B．4C．98D．34
12．（3分）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠P＝50°，則∠ABO的度數是（ ）
A．25°B．35°C．45°D．50°
二．填空題（共4小題，滿分12分，每小題3分）
13．（3分）如圖是4個臺階的示意圖，每個臺階的高和寬分別是1和2，每個臺階凸出的角的頂點記作Tm（m為1～4的整數），函數y=kx（x＞0）的圖象為曲線L．若曲線L使得T1～T4這些點分布在它的兩側，每側各2個點，則T4的坐標是 ，k的取值范圍是 ．
14．（3分）如圖，一拋物線形拱橋，當拱頂到水面的距離為2米時，水面寬度為4米；那么當水位上升1米后，水面的寬度為 米．
15．（3分）如圖，在每個小正方形的邊長均為1的網格圖中，一段圓弧經過格點A，B，C，格點C，D的連線交BC于點E，則EC的長為 ．
16．（3分）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞C點按逆時針方向旋轉α角（0°＜α＜90°），得到△A′B′C，設A′C交AB邊于D，連接AA′，若△AA'D是等腰三角形，則旋轉角α的度數為 ．
三．解答題（共7小題）
17．用指定的方法解方程：
（1）（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0（因式分解法）
（2）（x+3）（x﹣1）＝5（公式法）
18．如圖，在矩形ABCD中，點E是線段AD上的一點，且BE＝BC，連接CE，設∠CBE＝α．
（1）尺規(guī)作圖：將線段BA繞點B逆時針旋轉α得到線段BG，連接CG交BE于點H，連接AG；
（2）試判斷GH與CH的數量關系，并給予證明．
19．“五一”小長假期間，小明和小華都準備在玉溪市的玉溪匯龍生態(tài)園（記為A）、通海秀山公園（記為B）、磨盤山國家森林公園（記為C）、易門龍泉國家森林公園（記為D）這四個景點中任選一個去游玩，每個景點被選中的可能性相同．
（1）求小明去通海秀山公園的概率；
（2）用樹狀圖或列表的方法求小明和小華都去玉溪匯龍生態(tài)園的概率．
20．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，點E是AB邊上的一個動點，連接CE，點F在邊AB的延長線上，且BF＝BE，連接DF交CE于點G，連接BG．
（1）當點E是AB的中點時，求CE的長；
（2）在（1）的條件下，求BG的長；
（3）當BG=357時，請直接寫出線段AF的長．
21．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∠A＝90°，△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)．
（1）求∠EOD的度數；
（2）若r＝2，求陰影部分的面積．
22．如圖，點A(32，4)，B(3，m)是直線AB與反比例函數y=nx(x＞0)圖象的兩個交點，AC⊥x軸，垂足為點C，已知D（0，1），連接AD，BD，BC．
（1）求反比例函數和直線AB的解析式；
（2）△ABC和△ABD的面積分別為S1，S2，求S2﹣S1．
23．如圖1，用長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為28m，設垂直于墻的一邊長為x m，平行于墻的一邊長為y m．
（1）直接寫出y與x滿足的函數關系式及x的取值范圍 ；
（2）求菜園面積S的最大值；
（3）如圖2，在菜園內修建兩橫一豎且寬均為a m的小路，其余部分種菜，若種菜部分的面積隨x的增大而減小，則a的取值范圍為 ．
2023-2024學年山東省臨沂市沂水縣九年級（上）期末數學模擬試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）
1．【解答】解：A、“買中獎率為110的獎券10張，中獎”是隨機事件，故本選項錯誤；
B、汽車累積行駛10000km，從未出現(xiàn)故障”是隨機事件，故本選項錯誤；
C、襄陽氣象局預報說“明天的降水概率為70%”，意味著明天可能下雨，故本選項錯誤；
D、若兩組數據的平均數相同，則方差小的更穩(wěn)定，故本選項正確；
故選：D．
2．【解答】解：∵拋物線y=?3x2，
∴拋物線y=?3x2的頂點坐標是：（0，0），
故選：C．
3．【解答】解：∵甲口袋中裝有32個紅球和8個黑球，
球的總個數為：32+8＝40個；
黑球的個數為：8個，
∵乙口袋中裝有48個紅球，20個黑球和32個白球，
球的總個數為：48+20+32＝100個，
黑球的個數為：20個，
∴從甲口袋摸到黑球的概率=840=15；
從乙口袋摸到黑球的概率=20100=15
∴從甲、乙兩口袋中摸到黑球的概率相等，
故選：C．
4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE，ADAF=BCBE，
∴選項A、C、D不正確，選項B正確；
故選：B．
5．【解答】解：A、方程x2＝x有一根為0，所以A選項的說法正確；
B、方程x2﹣1＝0的兩根互為相反數，所以B選項的說法正確；
C、方程（x﹣1）2﹣1＝0的兩根為x1＝0，x2＝2，所以C選項的說法不正確．
D、Δ＝（﹣1）2﹣4×2＜0，方程x2﹣x+2＝0無實數根，所以D選項的說法正確；
故選：C．
6．【解答】解：∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
∴k＜2，
故選：A．
7．【解答】解：∵△ABC與△DEF位似，△ABC與△DEF的面積之比為4：9，
∴ABDE=23，AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AOOD=ABDE=2：3，
故選：A．
8．【解答】解：連接AC，OD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直徑，∠AOD＝90°，
∵PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，
∴∠PAO＝∠PDO＝90°，
∴四邊形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC＝2AO＝2，DE=2CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴圖中陰影部分的面積=12（AC+PE）?AP?12AO2?π=12（2+3）×1?12×12?π=12（5﹣π）=52?π2，
故選：C．
9．【解答】解：設出拋物線方程y＝ax2（a≠0），
由圖象可知該圖象經過（﹣3，﹣3）點，
故﹣3＝9a，
a=?13，
故y=?13x2，
故選：A．
10．【解答】解：點M（0，3）繞原點O順時針旋轉90°，得到的點的坐標為（3，0），
故選：B．
11．【解答】解：如圖，延長PA、PB分別交x軸，y軸于點C、D，連接OA、OB，
設點A的橫坐標為x，則點A的縱坐標為1x，點P的縱坐標為4x，
∴PA＝PC﹣AC=4x?1x=3x，
∵點B在反比例函數y=1x的圖象上，點B的縱坐標為4x，
∴點B的橫坐標為14x，
即BD=14x，
∴PB＝PD﹣BD＝x?14x=34x，
∴S△PAB=12PA?PB
=12×3x×34x
=98，
故選：C．
12．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA＝PB，OB⊥PB，∠PBO＝90°，
∵∠P＝50°，
∴∠PAB=∠PBA=12×(180°?50°)=65°，
∴∠ABO＝90°﹣∠PBA＝90°﹣65°＝25°，
故選：A．
二．填空題（共4小題，滿分12分，每小題3分）
13．【解答】解：∵每個臺階的高和寬分別是1和2，
∴T1（8，1），T2（6，2），T3（4，3），T4（2，4），
∴當函數y=kx（x＞0）過點T1（8，1），T4（2，4）時，k＝8，
當函數y=kx（x＞0）過點T2（6，2），T3（4，3）時，k＝12，
∴若曲線L使得T1～T4這些點分布在它的兩側，每側各2個點時，k的取值范圍是：8＜k＜12．
故答案為：（2，4）；8＜k＜12．
14．【解答】解：建立如圖所示的直角坐標系，
設拋物線解析式為y＝ax2+c，
把（2，0）和（2，0）代入得，
c=24a+c=0，
解得：a=?12，c＝2，
∴拋物線解析式為y=?12x2+2，
把y＝1代入得：x＝±2，
則水面的寬度是22米．
故答案為：22．
15．【解答】解：如圖所示：連接AE、AC、AD，
∵∠ABC＝90°，
∴AC是直徑，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
根據網格圖形可知：AC=AD=13，CD=26，
∴AC2+AD2＝CD2＝26，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，∠ACE＝45°，
∴∠EAC＝45°，
∴EC所對的圓心角是90°，
∴EC的長為以AC為直徑的圓周長的14，
即lEC=14×π×13=13π4．
故答案為：13π4．
16．【解答】解：∵△ABC繞C點逆時針方向旋轉得到△A'B'C，
∴AC＝CA'，
∴∠AA'C＝∠CAA'=12（180°﹣α），
∴∠DAA'＝∠CAA'﹣∠BAC=12（180°﹣α）﹣30°，
根據三角形的外角性質，∠ADA'＝∠BAC+∠ACA'＝30°+α，
△ADA'是等腰三角形，分三種情況討論，
①∠AA'C＝∠DAA'時，12（180°﹣α）=12（180°﹣α）﹣30°，無解，
②∠AA'C＝∠ADA'時，12（180°﹣α）＝30°+α，
解得α＝40°，
③∠DAA'＝∠ADA'時，12（180°﹣α）﹣30°＝30°+α，
解得α＝20°，
綜上所述，旋轉角α度數為20°或40°．
故答案為：20°或40°．
三．解答題（共7小題）
17．【解答】解：（1）∵（y﹣3）2+3（y﹣3）+2＝0，
∴（y﹣3+1）（y﹣3+2）＝0，即（y﹣2）（y﹣1）＝0，
則y﹣2＝0或y﹣1＝0，
解得y＝2或y＝1；
（2）方程整理為一般式得x2+2x﹣8＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣8，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣8）＝36＞0，
則x=?2±62，即x1＝﹣4，x2＝2．
18．【解答】解：（1）如圖所示，即為所求；
（2）GH＝CH，
證明：過點C作CN⊥BE于N，如圖，
∵將線段BA繞點B逆時針旋轉α得到線段BG，
∴BG＝BA，∠ABG＝∠CBE，
∴∠ABG+∠ABE＝∠CBE+∠ABE＝90°，
∴∠GBH＝90°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠BCE＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED，
∵CE平分∠BED，CD⊥DE，CN⊥BE，
∴CD＝CN，
∴BG＝AB＝CD＝CN，
在△BHG和△NHC中，
∠BHG=∠NHC∠GBH=∠CNH=90°BG=CN，
∴△BHG≌△NHC（AAS），
∴GH＝CH．
19．【解答】解：（1）P（小明去通海秀山公園）=14；
（2）用表格表示所有可能的情況如下：
其中：玉溪匯龍生態(tài)園（記為A）、通海秀山公園（記為B）、
磨盤山國家森林公園（記為C）、易門龍泉國家森林公園（記為D）
∴P（都去玉溪匯龍生態(tài)園）=116
20．【解答】解：（1）連接AC，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝2．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AC＝BC＝2．
∵點E是AB的中點，
∴AE＝EB＝1，CE⊥AB．
∴CE=AC2?AE2=3；
（2）∵BE＝BF，BE＝1，
∴EF＝EB+BF＝2．
∴EF＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠CDG．
在△EFG和△CDG中，
∠FGE=∠DGC∠F=∠CDGEF=CD．
∴△EFG≌△CDG（AAS）．
∴EG＝CG=12EC=32．
∴BG=BE2+GE2=12+(32)2=72．
（3）延長BG交CD于點H，連接AC，AH，如圖，
∵CD∥AF，
∴△CHG∽△EBG，
∴CHBE=CGGE=HGBG．
同理：DHBF=HGBG．
∴CHBE=DHBF．
∵BE＝BF，
∴DH＝CH．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ADC為等邊三角形，
∴AH⊥CD，DH＝CH＝1．
∴AH=AD2?DH2=3．
∵AB∥CD．
∴HA⊥AB，
∴BH=AH2+AB2=7．
∴HG＝BH﹣BG=7?375=275．
∴HGBG=23．
∴DHBF=23．
∴BF=32．
∴AF＝AB+BF＝2+32=72．
21．【解答】解：（1）∵△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)．
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∵∠B＝60°，∠A＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠EOD＝360°﹣∠C﹣∠OEC﹣∠ODC＝150°；
（2）連接OB，OC，則∠OBD＝∠OBF=12∠ABC=30°，
∴BF＝BD=ODtan30°=233=23，
∵∠A＝∠AFO＝∠AEO＝90°，
∴四邊形AEOF為矩形，
由切線長定理知，AE＝AF，
∴四邊形AEOF為正方形，
∴AE＝AF＝OE＝OF＝2，
∴AB＝AF+BF＝23+2，
∵∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝43+4．
∴CD＝CE＝BC﹣BD＝23+4，
∴S陰影＝S△OCE+S△OCD﹣S扇形ODE=12×(23+4)×2×2?150π×22360=43+8?53π．
22．【解答】解：（1）由點A（32，4）在反比例函數y=nx（x＞0）圖象上，
∴n=32×4＝6，
∴反比例函數的解析式為y=6x（x＞0），
將點B（3，m）代入y=6x（x＞0）并解得m＝2，
∴B（3，2），
設直線AB的表達式為y＝kx+b，
∴32k+b=43k+b=2，解得k=?43b=6，
∴直線AB的表達式為y=?43x+6；
（2）由點A坐標得AC＝4，
則點B到AC的距離為3?32=32，
∴S1=12×4×32=3，
設AB與y軸的交點為E，則點E（0，6），如圖：
∴DE＝6﹣1＝5，
由點A（32，4），B（3，2）知，點A，B到DE的距離分別為32，3，
∴S2＝S△BDE﹣S△AED=12×5×3?12×5×32=154，
∴S2﹣S1=154?3=34．
23．【解答】解：（1）由題意得：y＝60﹣2x，
∵墻長為28m，籬笆長為60m，
∴0＜y≤28，
∴0＜60﹣2x≤28，
∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，
∴16≤x＜30，
∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；
（2）∵y＝60﹣2x，
∴S＝xy
＝x（60﹣2x）
＝﹣2x2+60x
＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵a＝﹣2＜0
∴開口向下，
∵對稱軸為x＝15，
∴當16≤x＜30時，S隨x增大而減?。?br>∴當x＝16時，S有最大值，最大值為448m2；
（3）由題意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，
∴S種＝S﹣S路
＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]
＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2
＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，
∵種菜部分的面積隨x的增大而減小，且16≤x＜30，
∴?3a+602×(?2)≤16，
∴3a+60≤64，
∴3a≤4，
∴a≤43，
又∵a＞0，
∴0＜a≤43．

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