1．（3 分）漢字是迄今為止持續(xù)使用時(shí)間最長的文字，是傳承中華文化的重要載體．漢字在發(fā)展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“廣州中學(xué)”四個(gè)字的篆書，其中能 看作既是軸對稱又是中心對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
2．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線 y ? 2x2 向下平移 1 個(gè)單位所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為( )
A． y ? 2x2 ?1
B． y ? 2x2 ?1
C． y ? 2(x ?1)2
D． y ? 2(x ?1)2
3．（3 分）二次函數(shù) y ? 2(x ? 3)2 ? 6 ，下列說法正確的是()
開口向下
對稱軸為直線 x ? 3
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 6)
當(dāng) x ? ?3 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小
4．（3 分）下列事件中，必然事件是()
A．打開電視體育頻道，正在播放世界杯決賽B．從一副撲克牌中，隨意抽出一張是大王C．若 a 是實(shí)數(shù)，則| a |?0
D．六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120?
5．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑，CD 為弦，CD ? AB 于點(diǎn) E ，則下列結(jié)論中不成立是(
)
A．弧 AC ? 弧 ADB．弧 BC ? 弧 BDC． OE ? BED． CE ? DE
6．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 無實(shí)數(shù)解，則 k 的取值范圍是()
k ? 4
k ? 4
k ? ?4
k ? 1
7．（3 分）圓錐的高 h ? 3 ，母線l ? 5 ，則圓錐的側(cè)面積是()
A．15?B． 20?C． 24?D． 36?
8．（3 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB ? 5 ， AD ? 12 ，若以點(diǎn) D 為圓心，12 為半徑作?D ，則下列各點(diǎn)在? D 外的是()
點(diǎn) AB．點(diǎn) BC．點(diǎn)CD．點(diǎn) D
9．（3 分）如圖，Rt?ABC 中，?ACB ? 90? ，?B ? 60? ，將?ACB 繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?CDE
的位置，當(dāng)CD ? AB 時(shí)，連接 AE ，則?CAE 的度數(shù)為()
A． 45?B． 60?C． 65?D． 75?
10．（3 分）如圖，拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的對稱軸為直線 x ? ?2 ，下列結(jié)論：① a ? 0 ；
② c ? 0 ；③ 4a ? b ；④ b2 ? 4ac ? 0 ；⑤ a ? b ? c ? 0 ．其中正確的有()
個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
二、耐心填一填（本題有 6 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 18 分）
11．（3 分）若 2 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? kx ? 2 ? 0 的一個(gè)根，則常數(shù) k 的值為 ．
12．（3 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O 為中心，把點(diǎn) A(2,1) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 得到點(diǎn) B(x, y) ，則 x ? y 的值為．
13．（3 分）在一個(gè)不透明的袋中裝有 5 個(gè)白色小球， n 個(gè)紅色小球，小球除顏色外其他完全相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰為白球的概率為 1 ，則 n 為．
4
14．（3 分）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m / s 的速度將小球沿與地面成30?
角的方向擊出，小球的飛行高度 h （單位： m) 與飛行時(shí)間t （單位： s) 之間的函數(shù)關(guān)系是：
h ? ?5t 2 ? 20t ，則小球運(yùn)動中的最大高度是m ．
15．（3 分）如圖， PA ， PB 分別切?O 于點(diǎn) A ， B ， C 是劣弧上一點(diǎn)，若?ACB ? 130? ，則?P ?．
16．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? x ? n 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線 y ? x2 ? x ? n
的頂點(diǎn)在第象限．
三、用心答一答（本大題有 9 個(gè)小題，共 72 分，要求寫出文字說明，證明過程或計(jì)算步驟.）
17．（4 分）解方程： x2 ? 4x ? 0 ．
18．（4 分）如圖， ?O 中，弧 AB ? 弧 AC ， ?C ? 70? ，求?A 的度數(shù)．
19．（6 分）2022 世界杯 8 強(qiáng) 1 決賽部分賽程安排如下：
4
甲、乙兩位同學(xué)各自從這 3 場比賽中隨機(jī)抽取一場觀看直播，請用列表法或畫樹狀圖求兩位同學(xué)恰好觀看同一場比賽的概率．
時(shí)間
比賽隊(duì)伍
記號
12 月 10 日03 : 00
荷蘭VS 阿根廷
比賽 A
12 月 10 日23 : 00
摩洛哥VS 葡萄牙
比賽 B
12 月 11 日03 : 00
法國VS 英格蘭
比賽C
20．（6 分）如圖， ?ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(0,1) ， B(3,3) ， C(1, 3) ．畫出將?ABC 繞點(diǎn)O
旋轉(zhuǎn)180? 后的△ A1 B1C1 ，并求旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn) B 經(jīng)過的路線長．
21．（8 分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．
求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
根據(jù)圖象直接回答：當(dāng) x 為何值時(shí)， y ? 0 ．
22．（10 分）某商店需要在外墻安裝落地窗，用總長為 6 米的鋁合金做成一個(gè)如圖所示的“日”字型窗框，設(shè)窗框的寬度為 x 米，落地窗的面積為 y 平方米．落地窗的高不小于 2 米．
求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量 x 的取值范圍；
能否使窗的面積達(dá)到 2 平方米，如果能，窗的高度和寬度各是多少？如果不能，試說明理由．
23．（10 分）如圖， AB 是?O 的直徑，點(diǎn)C 是?O 上一點(diǎn)， AD 和過點(diǎn)C 的直線互相垂直，垂足為 D ， AD 交?O 于點(diǎn) E ，且 AC 平分?DAB ．
求證：直線CD 是?O 的切線；
連接 BC ，若 BC ? 6 ， AC ? 8 ，求 AE 的長．
24．（12 分）如圖 1， Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ， AC ? BC ， D 為CA 上一動點(diǎn)， E 為 BC延長線上的動點(diǎn)，始終保持CE ? CD ．連接 BD 和 AE ，將 AE 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 到 AF ， 連接 DF ．
請判斷線段 BD 和 AF 的位置關(guān)系并證明；
當(dāng) S
?ABD
? 1 BD2 時(shí)，求?AEC 的度數(shù)；
4
2
如圖 2，連接 EF ，G 為 EF 中點(diǎn)， AB ? 2
，當(dāng) D 從點(diǎn)C 運(yùn)動到點(diǎn) A 的過程中， EF
的中點(diǎn)G 也隨之運(yùn)動，請求出點(diǎn)G 所經(jīng)過的路徑長．
25．（12 分）已知拋物線G : y ? ?x2 ? bx ? c 交 x 軸于點(diǎn) A 、 B （點(diǎn) A 在 B 的左側(cè)），交 y 軸于點(diǎn)C(0, 3) ， A 點(diǎn)坐標(biāo)為(?1, 0) ．
求b 和 c 的值；
如圖 1，連接 BC ，交拋物線的對稱軸于點(diǎn) D ，第一象限內(nèi)的點(diǎn) P 在拋物線G 上運(yùn)動， 連接 PD ，以 P 為圓心， PD 為半徑作?P ，記?P 的面積為 S ，試求 S 的最小值；
F (m, n) 是拋物線G 上一點(diǎn)，且 F 不與點(diǎn)C 重合，將拋物線的頂點(diǎn)先向左平移兩個(gè)單位， 再向上平移一個(gè)單位， 得到點(diǎn) E ， 記 T ?| FC ? FE | ， 是否存在點(diǎn) F ， 滿足：
(m2 ? 8m ? 18)(n2 ? 10n ? 28)?6 恒成立，同時(shí)使得T 取得最大值？如存在，請求出點(diǎn) F 的坐
標(biāo)；如不存在，請說明理由．
2022-2023 學(xué)年廣東省廣州中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、細(xì)心選一選（本題有 10 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 30 分.）
1．（3 分）漢字是迄今為止持續(xù)使用時(shí)間最長的文字，是傳承中華文化的重要載體．漢字在發(fā)展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“廣州中學(xué)”四個(gè)字的篆書，其中能 看作既是軸對稱又是中心對稱圖形的是( )
A． B． C． D．
【解答】解： A ．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B ．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C ．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D ．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意． 故選： C ．
2．（3 分）在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線 y ? 2x2 向下平移 1 個(gè)單位所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為()
A． y ? 2x2 ?1
B． y ? 2x2 ?1
C． y ? 2(x ?1)2
D． y ? 2(x ?1)2
【解答】解：?把拋物線 y ? 2x2 向下平移 1 個(gè)單位，
?所得拋物線的函數(shù)表達(dá)式是： y ? 2x2 ?1 ． 故選： A ．
3．（3 分）二次函數(shù) y ? 2(x ? 3)2 ? 6 ，下列說法正確的是()
開口向下
對稱軸為直線 x ? 3
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3, 6)
當(dāng) x ? ?3 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小
【解答】解： y ? 2(x ? 3)2 ? 6 ? 2x2 ? 12x ? 24 ， a ? 2 ， b ? 12 ， c ? 24 ，
? A 選項(xiàng)，開口向上，故 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤； B 選項(xiàng)，對稱軸為 x ? ? b
2a
? ? 12
2 ? 2
? ?3 ，故 B 選項(xiàng)
錯(cuò)誤； C 選項(xiàng)，頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為 x ? ?3 ，縱坐標(biāo)為 6，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?3, 6) ，故C 選項(xiàng)
錯(cuò)誤； D 選項(xiàng)，開口向上，對稱軸為 x ? ?3 ，在對稱軸坐標(biāo) x ? ?3 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小， 故 D 選項(xiàng)正確．
故選： D ．
4．（3 分）下列事件中，必然事件是()
A．打開電視體育頻道，正在播放世界杯決賽B．從一副撲克牌中，隨意抽出一張是大王C．若 a 是實(shí)數(shù)，則| a |?0
D．六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120?
【解答】解： A 、打開電視體育頻道，正在播放世界杯決賽，是隨機(jī)事件，不符合題意；
B 、從一副撲克牌中，隨意抽出一張是大王，是隨機(jī)事件，不符合題意；
C 、若 a 是實(shí)數(shù)，則| a |?0 ，是必然事件，符合題意；
D 、六邊形的一個(gè)內(nèi)角為120? ，是隨機(jī)事件，不符合題意． 故選： C ．
5．（3 分）如圖， AB 是?O 的直徑，CD 為弦，CD ? AB 于點(diǎn) E ，則下列結(jié)論中不成立是(
)
A．弧 AC ? 弧 ADB．弧 BC ? 弧 BDC． OE ? BE
【解答】解：? AB 是?O 的直徑， CD 為弦， CD ? AB 于點(diǎn) E ，
? ?AC ? ?AD ， B?C ? B?D ， CE ? DE ，但OE 不一定等于 BE ，故選項(xiàng) A 、 B 、 D 正確，選項(xiàng)C 不正確，
故選： C ．
D． CE ? DE
6．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 無實(shí)數(shù)解，則 k 的取值范圍是()
k ? 4
k ? 4
k ? ?4
k ? 1
【解答】解：?關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? 4x ? k ? 0 無實(shí)數(shù)解，
?△ ? (?4)2 ? 4 ?1? k ? 0 ， 解得： k ? 4 ，
故選： A ．
7．（3 分）圓錐的高 h ? 3 ，母線l ? 5 ，則圓錐的側(cè)面積是()
A．15?B． 20?C． 24?D． 36?
52 ? 32
【解答】解：圓錐的底面圓的半徑?
所以圓錐的側(cè)面積? 1 ? 2?? 4 ? 5 ? 20?． 2
? 4 ，
故選： B ．
8．（3 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB ? 5 ， AD ? 12 ，若以點(diǎn) D 為圓心，12 為半徑作?D ，則下列各點(diǎn)在? D 外的是()
點(diǎn) AB．點(diǎn) BC．點(diǎn)CD．點(diǎn) D
【解答】解：連接 BD ，
52 ? 122
在Rt?ABD 中，由勾股定理得 BD ?
?13 ? 12 ，
?點(diǎn) B 在?D 外，
? 13 ，
故選： B ．
9．（3 分）如圖，Rt?ABC 中，?ACB ? 90? ，?B ? 60? ，將?ACB 繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?CDE
的位置，當(dāng)CD ? AB 時(shí)，連接 AE ，則?CAE 的度數(shù)為()
A． 45?B． 60?C． 65?D． 75?
【解答】解：? Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ， ?B ? 60? ， CD ? AB ，
??BCD ? 30? ，
??ACB 繞點(diǎn)C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?CDE 的位置，
??ECA ? ?BCD ? 30? ， CE ? AC ，
??ACE 是等腰三角形，
??CAE ? 1 (180? ? 30?) ? 75? ，
2
故選： D ．
10．（3 分）如圖，拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的對稱軸為直線 x ? ?2 ，下列結(jié)論：① a ? 0 ；
② c ? 0 ；③ 4a ? b ；④ b2 ? 4ac ? 0 ；⑤ a ? b ? c ? 0 ．其中正確的有()
個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【解答】解：?拋物線的開口方向向上，
? a ? 0 ，
?①的結(jié)論正確； 令 x ? 0 ，則 y ? c ，
?拋物線與 y 軸交于點(diǎn)(0, c) ．
?拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上，
? c ? 0 ，
?②的結(jié)論正確；
?拋物線 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的對稱軸為直線 x ? ?2 ，
?? b
2a
? ?2 ，
?b ? 4a ．
?③的結(jié)論正確；
由圖象知：拋物線與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
?△ ? b2 ? 4ac ? 0 ，
?④的結(jié)論不正確；
由圖象知：當(dāng) x ? ?1 時(shí)， y ? 0 ，
? a ? b ? c ? 0 ，
?⑤的結(jié)論不正確．
綜上，正確的結(jié)論有：①②③， 故選： C ．
二、耐心填一填（本題有 6 個(gè)小題，每小題 3 分，滿分 18 分）
11．（3 分）若 2 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? kx ? 2 ? 0 的一個(gè)根，則常數(shù) k 的值為 ?3 ．
【解答】解：把 x ? 2 代入方程 x2 ? kx ? 2 ? 0 得 4 ? 2k ? 2 ? 0 ， 解得 k ? ?3 ，
即常數(shù) k 的值為?3 ． 故答案為： ?3 ．
12．（3 分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O 為中心，把點(diǎn) A(2,1) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 得到
點(diǎn) B(x, y) ，則 x ? y 的值為?1 ．
【解答】解：如圖，過點(diǎn) A 作 AC ? x 軸于點(diǎn)C ，過點(diǎn) B 作 BD ? x 軸于點(diǎn) D ，
?點(diǎn) A(2,1) ，
?OC ? 2 ， AC ? 1 ，
?點(diǎn) A(2,1) 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 得到點(diǎn) B ，
?OD ? AC ? 1 ， BD ? OC ? 2 ， 即 x ? 1 ， y ? ?2 ，
? x ? y ? 1? ?2 ? ?1 ．
13．（3 分）在一個(gè)不透明的袋中裝有 5 個(gè)白色小球， n 個(gè)紅色小球，小球除顏色外其他完全相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，恰為白球的概率為 1 ，則 n 為15．
4
【解答】解：根據(jù)題意得：
解得： n ? 15 ，
n
5 ? n
? 3 ，
4
經(jīng)檢驗(yàn)： n ? 15 是原方程的解， 故答案為：15．
14．（3 分）根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以40m / s 的速度將小球沿與地面成30?
角的方向擊出，小球的飛行高度 h （單位： m) 與飛行時(shí)間t （單位： s) 之間的函數(shù)關(guān)系是：
h ? ?5t 2 ? 20t ，則小球運(yùn)動中的最大高度是 20m ．
【解答】解： h ? ?5t2 ? 20t ? ?5(t ? 2)2 ? 20 ，
??5 ? 0 ，
?當(dāng)t ? 2 時(shí)， h 有最大值，最大值為 20， 故答案為：20．
15．（3 分）如圖， PA ， PB 分別切?O 于點(diǎn) A ， B ， C 是劣弧上一點(diǎn)，若?ACB ? 130? ，
則?P ? 80? ．
【解答】解：如圖，連接OA ， OB ，
? PA ， PB 分別切?O 于點(diǎn) A ， B ，
??PBO ? ?PAO ? 90? ，
? ?ACB ? 130? ，
??AOB ? 100? ，
??P ? 360? ? ?PBO ? ?PAO ? ?AOB
? 360? ? 90? ? 90? ? 100?
? 80? ，
故答案為： 80? ．
16．（3 分）關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? x ? n 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線 y ? x2 ? x ? n
的頂點(diǎn)在第 三 象限．
【解答】解：?關(guān)于 x 的一元二次方程 x2 ? x ? n 即 x2 ? x ? n ? 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
?△ ? 1 ? 4(?n) ? 0 ，
? n ? ? 1 ，
4
?拋物線 y ? x2 ? x ? n 的對稱軸為 x ? ? 1 ， y
4 ? ?n ?1
??1
?? ?n ?，
? n ? ? 1 ，
4
則?n ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ，
444
?頂點(diǎn)在第三象限．
故答案為：三．
2最小值44
三、用心答一答（本大題有 9 個(gè)小題，共 72 分，要求寫出文字說明，證明過程或計(jì)算步驟.）
17．（4 分）解方程： x2 ? 4x ? 0 ．
【解答】解：方程 x2 ? 4x ? 0 ， 分解因式得： x(x ? 4) ? 0 ，
所以 x ? 0 或 x ? 4 ? 0 ， 解得： x1 ? 0 ， x2 ? ?4 ．
18．（4 分）如圖， ?O 中，弧 AB ? 弧 AC ， ?C ? 70? ，求?A 的度數(shù)．
【解答】解：?弧 AB ? 弧 AC ，
??B ? ?C ? 70? ，
??A ? 180? ? ?B ? ?C ? 180? ? 70? ? 70? ? 40? ， 即?A 的度數(shù)為 40? ．
19．（6 分）2022 世界杯 8 強(qiáng) 1 決賽部分賽程安排如下：
4
甲、乙兩位同學(xué)各自從這 3 場比賽中隨機(jī)抽取一場觀看直播，請用列表法或畫樹狀圖求兩位同學(xué)恰好觀看同一場比賽的概率．
【解答】解：畫樹狀圖得：
?共有 9 種等可能的結(jié)果，其中兩位同學(xué)恰好觀看同一場比賽的情況有 3 種結(jié)果，
時(shí)間
比賽隊(duì)伍
記號
12 月 10 日03 : 00
荷蘭VS 阿根廷
比賽 A
12 月 10 日23 : 00
摩洛哥VS 葡萄牙
比賽 B
12 月 11 日03 : 00
法國VS 英格蘭
比賽C
?兩位同學(xué)恰好觀看同一場比賽的概率為 3 ? 1 ．
93
20．（6 分）如圖， ?ABC 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(0,1) ， B(3,3) ， C(1, 3) ．畫出將?ABC 繞點(diǎn)O
旋轉(zhuǎn)180? 后的△ A1 B1C1 ，并求旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn) B 經(jīng)過的路線長．
【解答】解： 如圖所示： △ A1 B1C1 即為所求， 旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn) B 經(jīng)過的路線長為：
180?? 3 2 ? 3 2?．
180
21．（8 分）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．
求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
根據(jù)圖象直接回答：當(dāng) x 為何值時(shí)， y ? 0 ．
【解答】解：（1）設(shè)解析式為 y ? ax2 ? bx ? c ．
?圖象過點(diǎn)(1,1) ， (2, 0) ， (0, 0) ，
?a ? b ? c ? 1
?
? ?4a ? 2b ? c ? 0 ，
?
?c ? 0
?a ? ?1
?
解得?b ? 2 ，
?
?c ? 0
?二次函數(shù)的解析式為 y ? ?x2 ? 2bx ；
（2）根據(jù)圖象知，當(dāng) x ? 0 或 x ? 2 時(shí)， y ? 0 ．
22．（10 分）某商店需要在外墻安裝落地窗，用總長為 6 米的鋁合金做成一個(gè)如圖所示的“日”字型窗框，設(shè)窗框的寬度為 x 米，落地窗的面積為 y 平方米．落地窗的高不小于 2 米．
求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量 x 的取值范圍；
能否使窗的面積達(dá)到 2 平方米，如果能，窗的高度和寬度各是多少？如果不能，試說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)窗框的寬度為 x 米，則高為 1 (6 ? 3x) 米，
2
窗戶的透光面積為： y ? x ? 1 (6 ? 3x) ? ? 3 x2 ? 3x ，
22
?落地窗的高不小于 2 米，
? 1 (6 ? 3x)?2 ，
2
解得 x? 2 ，
3
?自變量 x 的取值范圍為0 ? x? 2 ，
3
? y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y ? ? 3 x2 ? 3x(0 ? x? 2) ；
23
（2）不能，理由：
令 y ? 2 ，則? 3 x2 ? 3x ? 2 ，
2
整理得： 3x2 ? 6x ? 4 ? 0 ，
?△ ? b2 ? 4ac ? 36 ? 4 ? 3? 4 ? ?12 ? 0 ，
?此方程無解，
?不能使窗的透光面積達(dá)到 2 平方米．
23．（10 分）如圖， AB 是?O 的直徑，點(diǎn)C 是?O 上一點(diǎn)， AD 和過點(diǎn)C 的直線互相垂直，垂足為 D ， AD 交?O 于點(diǎn) E ，且 AC 平分?DAB ．
求證：直線CD 是?O 的切線；
連接 BC ，若 BC ? 6 ， AC ? 8 ，求 AE 的長．
【解答】（1）證明：如圖，連接OC ，
? AC 平分?DAB ，
??DAC ? ?BAC ，
? OA ? OC ，
??OCA ? ?BAC ，
??DAC ? ?OCA ，
?OC / / AD ，
? AD ? CD ，
?OC ? CD ，
? OC 是?O 的半徑，
?CD 是?O 的切線；
（2）解：連接 BC 、CE ，過點(diǎn)O 作OF ? AE 于 F ， 則 AF ? EF ，四邊形CDFO 為矩形，
? DF ? OC ， OF ? CD ，
? AB 是?O 的直徑，
??ACB ? 90? ，
AC2 ? BC2
82 ? 62
? AB ??
? AC 平分?DAB ，
? C?E ? B?C ，
? 10 ，
?CE ? BC ? 6 ，
設(shè) AF ? EF ? x ，則 DE ? 5 ? x ，
? CE 2 ? DE 2 ? CD2 ， OA2 ? AF 2 ? OF 2 ，
?CE 2 ? DE 2 ? OA2 ? AF 2 ，
?62 ? (5 ? x)2 ? 52 ? x2 ，
解得： x ? 7 ，
5
? AE ? 14 ．
5
24．（12 分）如圖 1， Rt?ABC 中， ?ACB ? 90? ， AC ? BC ， D 為CA 上一動點(diǎn)， E 為 BC延長線上的動點(diǎn)，始終保持CE ? CD ．連接 BD 和 AE ，將 AE 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 到 AF ， 連接 DF ．
請判斷線段 BD 和 AF 的位置關(guān)系并證明；
當(dāng) S
?ABD
? 1 BD2 時(shí)，求?AEC 的度數(shù)；
4
2
如圖 2，連接 EF ，G 為 EF 中點(diǎn)， AB ? 2
，當(dāng) D 從點(diǎn)C 運(yùn)動到點(diǎn) A 的過程中， EF
的中點(diǎn)G 也隨之運(yùn)動，請求出點(diǎn)G 所經(jīng)過的路徑長．
【解答】解：（1）結(jié)論： BD / / AF ． 理由：如圖 1，延長 BD 交 AE 于點(diǎn) H ，
? E 繞 A 點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90? 到 AF ，
? AE ? AF ， ?EAF ? 90? ， 在?BCD 和?ACE 中，
?BC ? AC
?
??BCD ? ?ACE ，
?
?CD ? CE
??BCD ? ?ACE (SAS ) ，
? BD ? AE ? AF ， ?CAE ? ?CBD ，
??E ? ?CAE ? 90? ，
??E ? ?CBD ? 90? ，
??AHB ? 90? ? ?FAE ，
? AF / / BD ；
（2）（2）? S
?ABD
? 1 BD2 ，
4
? BD ? AH ? 1 BD2 ，
2
? AH ? 1 BD ? 1 AE ，
22
? BH 垂直平分 AE ，
? BA ? BE ，
? AC ? BC ， ?ACB ? 90? ，
??ABE ? 45? ，
又? BA ? BE ，
??AEC ? 67.5? ；
（3）如圖 2，連接 AG 、CG ，過點(diǎn)G 作GM ? CE 交CE 延長線于 M ， GN ? AC 于 N ，
?GM ? CE ， GN ? AC ， ?ACM ? 90? ，
?四邊形CMGN 是矩形，
? AF ? AE ， ?EAF ? 90? ， G 是 EF 中點(diǎn)，
? AG ? GE ， AG ? EF ，
??CAG ? ?ACM ? ?CEG ? ?AGE ? 360? ，
??CAG ? ?CEG ? 180? ，
??CEG ? ?GEM ? 180? ，
??CAG ? ?GEM ，
又??ANG ? ?GME ? 90? ，
??ANG ? ?EMG (AAS ) ，
? NG ? GM ，
?四邊形CMGN 是正方形，
?CG 平分?ACE ，
?點(diǎn)G 在?ACE 的角平分線上運(yùn)動，
? 當(dāng) D 從 C 運(yùn)動到 A 點(diǎn)， G 點(diǎn)所經(jīng)過的路徑是正方形 ACMG 的對角線的一半， 即為
2
1 ? 2 AC ? 1 AB ?．
22
25．（12 分）已知拋物線G : y ? ?x2 ? bx ? c 交 x 軸于點(diǎn) A 、 B （點(diǎn) A 在 B 的左側(cè)），交 y 軸于點(diǎn)C(0, 3) ， A 點(diǎn)坐標(biāo)為(?1, 0) ．
求b 和 c 的值；
如圖 1，連接 BC ，交拋物線的對稱軸于點(diǎn) D ，第一象限內(nèi)的點(diǎn) P 在拋物線G 上運(yùn)動， 連接 PD ，以 P 為圓心， PD 為半徑作?P ，記?P 的面積為 S ，試求 S 的最小值；
F (m, n) 是拋物線G 上一點(diǎn)，且 F 不與點(diǎn)C 重合，將拋物線的頂點(diǎn)先向左平移兩個(gè)單位， 再向上平移一個(gè)單位， 得到點(diǎn) E ， 記 T ?| FC ? FE | ， 是否存在點(diǎn) F ， 滿足：
(m2 ? 8m ? 18)(n2 ? 10n ? 28)?6 恒成立，同時(shí)使得T 取得最大值？如存在，請求出點(diǎn) F 的坐
標(biāo)；如不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）?點(diǎn)C(0, 3) 在拋物線G : y ? ?x2 ? bx ? c 上，
? c ? 3 ，
?拋物線G 的解析式為 y ? ?x2 ? bx ? 3 ，
?點(diǎn) A(?1, 0) 在拋物線G 的解析式為 y ? ?x2 ? bx ? 3 上，
??1 ? b ? 3 ? 0 ，
?b ? 2 ，
即b ? 2 ， c ? 3 ；
（2）如圖 1，由（1）知， b ? 2 ， c ? 3 ，
?拋物線G 的解析式為 y ? ?x2 ? 2x ? 3 ? ?(x ?1)2 ? 4 ，
?拋物線G 的對稱軸為直線 x ? 1 ，
令 y ? 0 ，則?x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，? x ? ?1或 x ? 3 ，
? B(3, 0) ，
?C(0, 3) ，
?直線 BC 的解析式為 y ? ?x ? 3 ，
? D(1, 2) ，設(shè)點(diǎn) P(a ， ?a2 ? 2a ? 3)(0 ? a ? 3) ，
? S ? ?DP2 ? ?[(1 ? a)2 ? (2 ? a2 ? 2a ? 3)2 ]
? ?[(a ? 1)2 ? 3]2 ? 7?，
24
當(dāng)(a ? 1)2 ? 3 ? 0 ，即 a ? 1 ?6 （不符合題意）或 a ? 1 ?6 時(shí)， S 最小，其最小值為 7?；
2224
（3）存在，由（2）知，拋物線G 的解析式為 y ? ?x2 ? 2x ? 3 ? ?(x ?1)2 ? 4 ，
?此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 4) ， 由平移知， E(?1, 5) ，
?C(0, 3) ，
?直線CE 的解析式為 y ? ?2x ? 3 ，
?T ?| FC ? FE | ，
要T 最大，則點(diǎn)C ， E ， F 在同一直線上，
?點(diǎn) F (m, n) 在直線CE 上，
? n ? ?2m ? 3 ①，
?點(diǎn) F (m, n) 拋物線G 上，
? n ? ?m2 ? 2m ? 3 ②，
聯(lián)立①②解得， ?m ? 0 或?m ? 4 ，
?
?
?n ? 3?n ? ?5
?點(diǎn) F (m, n) 不與點(diǎn)C(0, 3) 重合，
?點(diǎn) F (4, ?5) ，
?(m2 ? 8m ? 18)(n2 ? 10n ? 28) ? (16 ? 32 ? 18)(25 ? 50 ? 28) ? 6 ，
即(m2 ? 8m ? 18)(n2 ? 10n ? 28)?6 恒成立，
?存在點(diǎn) F (4, ?5) ，滿足： (m2 ? 8m ? 18)(n2 ? 10n ? 28)?6 恒成立，同時(shí)使得T 取得最大值．

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