一、選擇題
1．設(shè)集合,,則( )
A.B.C.D.
2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,則z的共軛復(fù)數(shù)( )
A.B.C.D.
3．設(shè),向量,,且,則( )
A.B.C.D.10
4．下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞增的是( )
A.B.
C.D.
5．已知a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若,,則A等于( )
A.B.C.D.
6．函數(shù)其中,,的圖象的一部分如圖所示,則( )
A.,B.,
C.,D.,
7．在的展開式中,x的系數(shù)為( )
A.B.4C.D.6
8．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知m,n,l為空間中三條不同的直線,,,為空間中三個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.若,,則,
B.若,,則m與n為異面直線
C.若,,,且,則
D.若,,,則
10．已知數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)的和,若,,則( )
A.B.C.D.
11．已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,則( )
A.是奇函數(shù)
B.,
C.若在區(qū)間上有且僅有2條對(duì)稱軸,則
D.若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則或
三、填空題
12．函數(shù)的定義域是_____________.
13．若,則曲線在處的切線方程為______________.
14．已知m,,,則的最小值為_______________.
四、解答題
15．已知函數(shù),且.
(1)求a的值和的最小正周期;
(2)求在上的最大值和最小值.
16．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,,,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求.
17．如圖,在四棱錐中,,,,,.
(1)證明：平面.
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
18．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)求證：當(dāng)時(shí),;
(3)過(guò)原點(diǎn)是否存在曲線的切線,若存在,求出切線方程;若不存在,說(shuō)明理由.
19．已知橢圓的離心率為,點(diǎn)在C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓C于,兩點(diǎn),試用含k的代數(shù)式表示;
(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線與直線AQ相交于點(diǎn)M,證明：線段PM的中點(diǎn)在定直線上.
參考答案
1．答案：B
解析：,得,即,
,得,即,,
所以.
故選：B.
2．答案：D
解析：z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,,
由共軛復(fù)數(shù)的定義可知,.
故選：D.
3．答案：C
解析：因?yàn)?所以,即,所以,
則,所以,
故選：C.
4．答案：C
解析：對(duì)于A,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,
所以在上單調(diào)遞增,故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)?,
顯然在上不單調(diào),D錯(cuò)誤.
故選：C.
5．答案：C
解析：因?yàn)?由正弦定理可得,
又因?yàn)?由余弦定理得,
又因?yàn)?所以.
故選：C.
6．答案：B
解析：如圖根據(jù)函數(shù)的圖象可得：函數(shù)的周期為,
又,
,
當(dāng)時(shí)取最大值,即,可得：,,
,,
,
,
故選：B.
7．答案：A
解析：的第項(xiàng)為：,
由得,
的展開式中x的系數(shù)為.
故選：A.
8．答案：A
解析：在R上的奇函數(shù)滿足,則,
于是,即函數(shù)的周期為4,
而,則,,又當(dāng)時(shí),,
所以.
故選：A
9．答案：ACD
解析：對(duì)于A,顯然,,又,則,,A正確;
對(duì)于B,由,,得m與n可能相交、可能平行、也可能為異面直線,B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由,,,知點(diǎn)P在平面,,內(nèi),
即為平面,的公共點(diǎn),而,因此,C正確;
對(duì)于D,由,,得,而,因此,D正確.
故選：ACD.
10．答案：ACD
解析：因?yàn)?所以,
所以,所以,
又因?yàn)?所以,故A正確;
,故B錯(cuò)誤;
,故C正確;
因?yàn)?,
所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
所以,所以,故D正確.
故選：ACD.
11．答案：BC
解析：依題意,點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,
所以,且,,,①,B選項(xiàng)正確.
則,,
所以
,
由于是奇數(shù),所以是偶函數(shù),
A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng),,,
將,
代入得：,
整理得,
由于在區(qū)間上有且僅有2條對(duì)稱軸,
所以,解得,由于,所以,
對(duì)應(yīng),所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng),在區(qū)間上單調(diào)遞減,
,,,
將,
代入得：,
整理得,
則,解得,而,所以或,
時(shí),,符合單調(diào)性,
時(shí),,不符合單調(diào)性,所以舍去
所以,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
12．答案：.
解析：由題意得,
故答案為：.
13．答案：
解析：因?yàn)?所以,
令,得,解得,
所以,則,,
所以曲線在處的切線方程為,
即.
故答案為：.
14．答案：4
解析：因?yàn)閙,,,
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào).
故答案為：4.
15．答案：(1),
(2)最小值為,最大值為1
解析：(1)
,
因?yàn)?所以,所以,
所以,所以的最小正周期.
(2)當(dāng)時(shí),,
當(dāng),即時(shí),,
當(dāng),即時(shí),,
所以的最小值為,最大值為1.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)?,,成等比數(shù)列,
所以,解得,
所以.
(2)因?yàn)?
所以,
所以,
所以.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)證明：取的中點(diǎn)E,連接.因?yàn)?所以.
因?yàn)?,所以四邊形是平行四邊形,
所以,.
因?yàn)?,所以,所以.
因?yàn)?,所以.
因?yàn)?,,平面,且,所以平面.
(2)易證,,兩兩垂直,則以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題中數(shù)據(jù)可得,,,,
則,,.
設(shè)平面的法向量為,
則,令,得.
設(shè)直線與平面所成的角為,
則.
故直線與平面所成角的正弦值為.
18．答案：(1)極大值為1,無(wú)極小值
(2)證明見(jiàn)解析
(3)不存在,理由見(jiàn)解析
解析：(1),
則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
即在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
故有極大值,無(wú)極小值;
(2)令,,
則,
由,則,故在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
則,
即當(dāng)時(shí),;
(3)不存在,理由如下：
假設(shè)曲線存在過(guò)原點(diǎn)的切線,且切點(diǎn)坐標(biāo)為,
由,則該切線斜率為,
即該切線方程為,
即有,整理得,
,該方程無(wú)解,
故過(guò)原點(diǎn)不存在曲線的切線.
19．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,點(diǎn)在C上,
所以,
所以,,,
所以橢圓C的方程為.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線為：,即,
聯(lián)立方程組,
所以,
因?yàn)?,所以,
所以
(3)設(shè)直線為,過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線與直線AQ相交于點(diǎn)M,
所以,又因?yàn)?的中點(diǎn),
于是,
所以,,,即.
則有,
又因?yàn)?
所以,
于是,
即,
即,即,
即點(diǎn)N在直線上.

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