一、單選題
1．將化為弧度制，正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，下列區(qū)間中包含零點(diǎn)的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
5．若，，．則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
6．扇面書(shū)畫(huà)在中國(guó)傳統(tǒng)繪畫(huà)中由來(lái)已久．最早關(guān)于扇面書(shū)畫(huà)的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書(shū)六角扇》．扇面書(shū)畫(huà)發(fā)展到明清時(shí)期，折扇開(kāi)始逐漸的成為主流如圖，該折扇扇面畫(huà)的外弧長(zhǎng)為24，內(nèi)弧長(zhǎng)為10，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫(huà)的面積約為（ ）（）
A．185B．180C．119D．120
7．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到
B．函數(shù)的圖象可以將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到
C．若且，則的最小值為
D．若為偶函數(shù)，則
8．已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．的周期為2
B．
C．的所有零點(diǎn)之和為16
D．
二、多選題
9．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，，則
10．下列函數(shù)中，最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)（，），為的零點(diǎn)，對(duì)任意，恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是奇數(shù)B．的最大值為7
C．不存在，使得是偶函數(shù)D．
12．已知函數(shù)，（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），設(shè)m，n分別為，的零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
13．函數(shù)的定義域?yàn)? ．
14．函數(shù)，的值域?yàn)? ．
15．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)最大值點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
16．已知函數(shù)，，方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（），設(shè)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．
四、解答題
17．（1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：．
18．已知．
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若是第三象限角，且，求的值．
19．已知．
(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；
(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
20．隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來(lái)越多的家庭開(kāi)始關(guān)注到家庭成員的關(guān)系，一個(gè)以“從心定義家庭關(guān)系”為主題的應(yīng)用心理學(xué)的學(xué)習(xí)平臺(tái)，從建立起，得到了很多人的關(guān)注，也有越來(lái)越多的人成為平臺(tái)的會(huì)員，主動(dòng)在平臺(tái)上進(jìn)行學(xué)習(xí)，已知前3年平臺(tái)會(huì)員的個(gè)數(shù)如下表所示（其中第4年為預(yù)估人數(shù)，僅供參考）：
(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)，從下列三種模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⑵脚_(tái)年后平臺(tái)會(huì)員人數(shù)（千人），并求出你選擇模型的解析式：①，②，③
(2)為控制平臺(tái)會(huì)員人數(shù)盲目擴(kuò)大，平臺(tái)規(guī)定會(huì)員人數(shù)不得超過(guò)千人，依據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值.
21．已知函數(shù)，且．
(1)設(shè)，若對(duì)任意，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
(2)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求不等式的解集．
22．對(duì)于函數(shù)，若，則稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
建立平臺(tái)第年
1
2
3
4
會(huì)員個(gè)數(shù)（千人）
14
20
29
43
參考答案：
1．C
【分析】利用角度與弧度的換算關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】.
故選：C.
2．A
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)定義可得.
【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，
所以，
所以.
故選：A
3．B
【分析】弦化切即可求解.
【詳解】，
故選:B.
4．C
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷該函數(shù)若有零點(diǎn)至多有一個(gè)零點(diǎn)，再由零點(diǎn)存在性定理可求得零點(diǎn)存在的區(qū)間.
【詳解】函數(shù)為減函數(shù)，又，，
可得，由零點(diǎn)判定可知：函數(shù)包含零點(diǎn)的區(qū)間為.
故選：C.
5．B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合媒介數(shù)比較大小即得.
【詳解】依題意，，，而，
所以.
故選：B
6．C
【分析】首先由弧長(zhǎng)和圓心角求出外弧半徑與內(nèi)弧半徑，再根據(jù)扇形面積公式，用大扇形面積減去小扇形面積，即可求得答案．
【詳解】設(shè)外弧長(zhǎng)為，外弧半徑為，內(nèi)弧長(zhǎng)為，內(nèi)弧半徑為，該扇面所在扇形的圓心角為,
∵扇形的弧長(zhǎng)為，
∴，，
∵扇形的面積為，
∴該扇面畫(huà)的面積為，
故選：C．
7．C
【分析】利用函數(shù)的圖象的變換判斷AB；通過(guò)函數(shù)的周期，轉(zhuǎn)化求解判斷C；利用函數(shù)的奇偶性判斷D即可．
【詳解】由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，所以A不正確；
將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到函數(shù)，所以B不正確；
因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以且，當(dāng)為最小值時(shí)，此時(shí)為相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)，故的最小值為，所以C正確；
若為偶函數(shù)，可得函數(shù)，，則，所以D不正確；
故選：C．
8．D
【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)的對(duì)稱性及周期性，再結(jié)合給定區(qū)間上的函數(shù)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
由為奇函數(shù)，得，即，則，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因此函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；
由當(dāng)時(shí)，，得，而，，，
因此，B錯(cuò)誤；
的零點(diǎn)可看作與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出與的圖象，
觀察圖形知，直線與的圖象共有7個(gè)交點(diǎn)，且它們關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，

所以所有零點(diǎn)之和為，C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，，與均為奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，
因此當(dāng)時(shí)，，又與的周期都為，所以 ，D正確.
故選：D
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，
(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
9．AD
【分析】利用不等式性質(zhì)分析判斷AB；舉例說(shuō)明判斷C；作差判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由，得，A正確；
對(duì)于B，由，得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，，得，即，D正確.
故選：AD
10．BD
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，A不是；
對(duì)于B，的周期是，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，B是；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，C不是；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，且周期是，D是.
故選：BD
11．ACD
【分析】根據(jù)零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組求解，結(jié)合單調(diào)區(qū)間可得，然后分類討論即可.
【詳解】由題知，，即，，
解得，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)．
所以，即，所以，
又，，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由，，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
所以；
當(dāng)時(shí)，，
所以.
綜上可知，CD正確.
故選：ACD
12．ABD
【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理及不等式性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】
由題意可知分別是函數(shù)與及與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，
易知與互為反函數(shù)，則其圖象關(guān)于對(duì)稱，
而與交點(diǎn)為，則有，如圖所示，
可得，
，即，所以，
則，，故A、B正確；
顯然，故C錯(cuò)誤；
由，及，
，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：利用反函數(shù)的性質(zhì)得出零點(diǎn)關(guān)系，再利用零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)的范圍，最后結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，尤其D項(xiàng)，需要適當(dāng)?shù)姆趴s與估算.
13．，
【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域得到不等式，求出定義域.
【詳解】由題意得，即，
故，.
故答案為：，
14．
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由，
當(dāng)時(shí)，，
易知，故時(shí)，取得最小值，
時(shí)，，時(shí)，，
又，故的最大值為.
故答案為：
15．
【分析】求出最大值點(diǎn)，根據(jù)在區(qū)間上恰有三個(gè)最大值點(diǎn)列不等式組求解即可.
【詳解】令，得，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)最大值點(diǎn)，
所以，，解得，即的取值范圍為.
故答案為：
16．
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，并化成分段函數(shù)，再按分段討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出的范圍.
【詳解】令函數(shù)，依題意，函數(shù)恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，在上單調(diào)遞減，，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，由，解得，符合題意，；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，
顯然，而，
即，因此有兩個(gè)根，
，由，得，
則，即，；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且，
又，消去得，顯然，整理得，
又，，于是，則，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
17．（1）；（2）5.
【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）利用換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】（1）原式
；
（2）原式.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；
（2）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式可解.
【詳解】（1）．
（2）因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以為第三象限角?br>所以，
故．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接解不等式即可；
（2）先轉(zhuǎn)化方程為，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布計(jì)算即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∵在上單調(diào)遞增，∴，
解之得，∴不等式的解集為．
（2）關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
化簡(jiǎn)方程得，
即方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
即方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且，
即方程區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且，
故有，解得．
20．(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知函數(shù)遞增且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故選擇模型③；代入表格中三個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)造方程組求得未知數(shù)，進(jìn)而得到所求模型；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可將不等式整理為對(duì)恒成立，采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最大值，進(jìn)而得到的取值范圍，從而得到結(jié)果.
【詳解】（1）從表格數(shù)據(jù)可以得知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，故不可能是①，
函數(shù)增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，
選擇③（且）
代入表格中的三個(gè)點(diǎn)可得：，解得：
，.
（2）由（1）可知：，
故不等式對(duì)恒成立，
對(duì)恒成立，
令，則， ，，
在單調(diào)遞增，則，
.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由求得，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，使得，參變分離，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可解；
（2）先求的解析式，然后結(jié)合余弦函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>則，可得，
因?yàn)椋瑒t，所以，可得，
所以．
當(dāng)時(shí)，，則，
依題意，，使得，
所以，
因?yàn)?，則，
令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以，，
因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是．
（2）因?yàn)榕c的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
則
，
因?yàn)?，令?br>則，即，
作出函數(shù)的圖象如圖所示：
由可得，
即，
因?yàn)椋?，可得?br>解得或，
即，
因此，原不等式的解集為．
22．(1)0和1；
(2)；
(3).
【分析】（1）直接根據(jù)定義解方程即可；
（2）將方程分離參數(shù)化為，利用換元法結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可；
（3）不等式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，，再分離參數(shù)并換元結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，方程可化為，解得或；
所以，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為0和1．
（2）方程，即，可化為．
令，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞增，且．
由題意，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根．
由于對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且．
所以，．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）不等式可化為．
易知，函數(shù)在上最大值為，最小值為；
由題意，，，即．
上述不等式可化為．
令，則當(dāng)時(shí)，．
由題意，，不等式恒成立．
函數(shù)在上單調(diào)遞增，最大值為；
函數(shù)在上單調(diào)遞減，最小值為．
所以，，即．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)將對(duì)數(shù)方程化為指數(shù)方程，利用分離參數(shù)及換元法轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可；第三問(wèn)含有雙變量的恒成立問(wèn)題，先將原不等式化為在定區(qū)間恒成立，利用的最值得出的范圍，同第二問(wèn)分離參數(shù)及換元，利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.

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2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(含解析）
精品解析：吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

精品解析：吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題
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