1. 綜合與探究
如圖，拋物線y＝14x2－32x－4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，－4），作直線AC，BC，P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，交直線AC于點(diǎn)T，當(dāng)P為線段TQ的中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
第1題圖
2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx（k≠0）與拋物線y＝ax2＋c（a≠0）交于A（8，6），B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－2.
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與直線AB交于點(diǎn)C，連接PO，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.若點(diǎn)P在x軸下方，求△POC周長(zhǎng)的最大值，并求此時(shí)m的值.
第2題圖
3. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4與x軸交于A（－3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，過點(diǎn)P作PD∥AC，交BC于點(diǎn)D，求線段PD的最大值.
第3題圖
4. 如圖，拋物線y＝a（x－1）2＋2的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)A，且拋物線分別交y軸于點(diǎn)B（0，1），交直線AB于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，P是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，連接OP，OP與直線BC交于點(diǎn)M，當(dāng)OM＝12MP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，過點(diǎn)P作PE∥x軸，PF∥y軸，分別交直線CD于點(diǎn)E，F(xiàn).若EFCD＝316，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
類型二 二次函數(shù)與面積有關(guān)問題
[2022.23（2）]
1. （2024揚(yáng)州）如圖，已知二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A（－2，0），B（1，0）兩點(diǎn).
（1）求b，c的值；
（2）若點(diǎn)P在該二次函數(shù)的圖象上，且△PAB的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
第1題圖
2. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且OC＝3.
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，BC，P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)S△ABC＝2S△PBC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
第2題圖
3. （2022廣東23題12分）如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q.
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).
第3題圖
4. 如圖，拋物線y＝－x2－4x＋5與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC.
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)C作CP⊥AC，交拋物線于點(diǎn)P，連接OP交AC于點(diǎn)D，連接AP，求△PAD的面積.
第4題圖
5. 如圖，拋物線y＝ax2＋32x＋c與x軸交于A（－1，0），B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D是拋物線上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E.
（1）求直線BC的函數(shù)解析式；
（2）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)∠AEC＝45°時(shí)，求△ABE的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在第一象限拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接BD，設(shè)△BDE的面積為S1，△ABE的面積為S2，求S1S2的最大值.
第5題圖
類型三 二次函數(shù)與特殊圖形存在性有關(guān)問題
一階 設(shè)問突破
方法解讀
二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題：
1. 找點(diǎn)：兩圓一線
①若AD＝AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓；
②若CD＝AC，以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫圓；
③若AD＝CD，作AC的垂直平分線；
2. 求點(diǎn)：設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)，表示出線段AC，CD，AD的長(zhǎng)度，由等量關(guān)系分別列方程求解即可.
例 如圖，已知拋物線y＝12x2－x－4與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.
（1）如圖①，連接AC，若點(diǎn)D為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
例題圖①
方法解讀
二次函數(shù)中的角度問題：
1. 角度相等：常與線段的平行或特殊三角形結(jié)合，最終將角度問題轉(zhuǎn)化為線段問題；
2. 角度固定值：常見的角度有15°，30°，45°，60°，90°，常放在特殊三角形中，利用三角形三邊關(guān)系或三角函數(shù)求解；
3. 角度的倍數(shù)關(guān)系：利用三角形的內(nèi)外角關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)求解.
（2）如圖②，連接BC，若點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PAB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
例題圖②
方法解讀
二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題：
1. 找點(diǎn)：分情況討論：
①當(dāng)BC為平行四邊形的邊；
②當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等確定點(diǎn)的位置；
2. 求點(diǎn)：①通過點(diǎn)的平移，構(gòu)造全等三角形求點(diǎn)坐標(biāo)；
②由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求頂點(diǎn)坐標(biāo).
（3）如圖③，連接BC，若E，F(xiàn)分別為拋物線和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
例題圖③
方法解讀
二次函數(shù)中直角三角形的存在性問題：
1. 找點(diǎn)：兩線一圓
①若∠MBC＝90°，過點(diǎn)B作BC的垂線；
②若∠MCB＝90°，過點(diǎn)C作BC的垂線；
③若∠BMC＝90°，以BC為直徑作圓；
2. 求點(diǎn)
方法一：代數(shù)法：設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，C，M的坐標(biāo)，表示出線段BC，BM，CM的長(zhǎng)度，再根據(jù)對(duì)應(yīng)情況，由勾股定理分別列方程求解即可；
方法二：幾何法：作垂線，構(gòu)造一線三垂直模型，表示出線段長(zhǎng)用勾股定理或相似建立等量關(guān)系.
（4）連接BC，若點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上.
①如圖④，是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)B，C，M為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
例題圖④
方法解讀
二次函數(shù)中全等三角形存在性問題：
1. 找等角（邊）：根據(jù)相對(duì)應(yīng)的字母找到已存在隱含的等角（邊）；
2. 表示邊長(zhǎng)：明確全等后需相等的對(duì)應(yīng)邊，直接或間接設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示線段長(zhǎng)；
3. 建立關(guān)系式并計(jì)算：利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等列等式，其中對(duì)于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定的三角形全等，需分情況討論.
②如圖⑤，若點(diǎn)M為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，連接CM，點(diǎn)Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)（不與點(diǎn)M重合），是否存在點(diǎn)Q，使得△BCQ與△BCM全等，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q，若不存在，請(qǐng)說明理由.
例題圖⑤
方法解讀
二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題：
1. 找等角：其中直角三角形找對(duì)應(yīng)的直角，一般三角形中會(huì)存在隱含的等角；
2. 表示邊長(zhǎng)：直接或間接設(shè)出所求的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出線段長(zhǎng)；
3. 建立關(guān)系式并計(jì)算：對(duì)于對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定的三角形相似，需要按照等角的兩邊分別對(duì)應(yīng)成比例列比例式，分情況討論，然后進(jìn)行計(jì)算求解.
③如圖⑥，若點(diǎn)M為對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)N為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使△BMN與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
例題圖⑥
二階 綜合訓(xùn)練
1. （2024梅州市一模）如圖所示，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），B（－1，0），C（0，－5）.
（1）求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的解析式；
（2）直線x＝t（0＜t＜5）交二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象于點(diǎn)P，交直線AC于點(diǎn)Q，是否存在實(shí)數(shù)t，使△CPQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出這樣的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
第1題圖
2. （2021廣東25題10分）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)（－1，0），且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有4x－12≤ax2＋bx＋c≤2x2－8x＋6.
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C，點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn).問在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
3. 如圖，拋物線y＝－x2＋2x＋3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連接AC，BC.
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，連接CP，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，當(dāng)以C，O，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí)（不包含全等），求t的值；
（3）若點(diǎn)Q是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在點(diǎn)Q，使得以C，D，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
第3題圖
類型一 二次函數(shù)與線段有關(guān)問題
1. 解：(1)當(dāng)y＝0時(shí)，14x2－32x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8.
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A(－2，0)，B(8，0)，
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)，
將A(－2，0)，C(0，－4)分別代入得b＝－4－2k＋b=0，
解得b＝－4k＝－2，
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝－2x－4，
∵B(8，0)，C(0，－4)，
∴同理可得直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝12x－4；
(2)設(shè)P(m，14m2－32m－4)，
∵QT∥y軸，
∴Q(m，12m－4)，T(m，－2m－4)，
∴PQ＝12m－4－(14m2－32m－4)＝－14m2＋2m，
PT＝14m2－32m－4－(－2m－4)＝14m2＋12m，
∵P為線段TQ的中點(diǎn)，
∴PQ＝PT，
∴－14m2＋2m＝14m2＋12m.
解得m1＝0(舍去)，m2＝3，
∴P(3，－254).
2. 解：(1)將A(8，6)代入y＝kx，得8k＝6，解得k＝34，
∴直線AB的解析式為y＝34x，
當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝34×(－2)＝－32，
∴B(－2，－32).
將A(8，6)，B(－2，－32)分別代入y＝ax2＋c(a≠0)，
得64a＋c=64a＋c＝－32，解得a＝18c＝－2，
∴拋物線的解析式為y＝18x2－2；
(2)設(shè)P(m，n)，則18m2－2＝n，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，－2＜m＜4，n＜0，
∵C(43n，n)，
∴OC＝－53n，OP＝m2＋n2＝m2＋(18m2－2)2＝18m2＋2，
∵PC＝m－43n，18m2－2＝n，
∴OP＋PC＋OC＝18m2＋2＋m－43n－53n
＝18m2＋m－3n＋2
＝18m2＋m－3(18m2－2)＋2
＝－14(m－2)2＋9，
∵－14＜0，∴當(dāng)m＝2時(shí)，△POC的周長(zhǎng)最大，最大值為9.
3. 解：(1)將A(－3，0)，B(4，0)分別代入y＝ax2＋bx－4中，
得9a－3b－4=016a+4b－4=0，解得a＝13b＝－13，
∴拋物線的解析式為y＝13x2－13x－4；
(2)在y＝13x2－13x－4中，令x＝0，得y＝－4，
∴C(0，－4).
∵A(－3，0)，B(4，0)，
∴OA＝3，OB＝OC＝4，AB＝7，
∴AC＝5.
如解圖，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交BC于點(diǎn)M，
∵PM∥AB，
∴∠PMD＝∠ABC.
∵PD∥AC，
∴∠PDM＝∠ACB，
∴△PMD∽△ABC，
∴PMAB＝PDAC，即PM7＝PD5，
∴PD＝57PM.
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋d(k≠0)，
將B(4，0)，C(0，－4)分別代入，
得4k＋d=0d＝－4，解得k=1d＝－4，
∴直線BC的解析式為y＝x－4.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，13m2－13m－4)，0＜m＜4，
∴M(13m2－13m，13m2－13m－4)，
∴PM＝m－(13m2－13m)＝－13m2＋43m，
∴PD＝57×(－13m2＋43m)＝－521(m－2)2＋2021，
∵－521＜0，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，線段PD有最大值，最大值為2021.
第3題解圖
4. 解：(1)∵拋物線y＝a(x－1)2＋2交y軸于點(diǎn)B(0，1)，
∴將點(diǎn)B(0，1)代入y＝a(x－1)2＋2中，得1＝a(0－1)2＋2，解得a＝－1，
∴拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋2＝－x2＋2x＋1；
(2)如解圖①，過點(diǎn)M，P分別作MN⊥x軸于點(diǎn)N，PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則MN∥PQ，
由(1)得A(1，0)，
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
將點(diǎn)A(1，0)，B(0，1)分別代入y＝kx＋b中，得k＋b=0b=1，
解得k＝－1b=1，
∴直線AB的解析式為y＝－x＋1，
∵M(jìn)N∥PQ，∴△MNO∽△PQO，
∴MNPQ＝ONOQ＝OMOP，
∵OM＝12MP，∴OM＝13OP，
∴MNPQ＝ONOQ＝OMOP＝13，
∴MN＝13PQ，ON＝13OQ，
第4題解圖①
設(shè)P(p，－p2＋2p＋1)(p＞1)，則M(p3，－p3＋1)
∴PQ＝－p2＋2p＋1，MN＝－p3＋1，
∴－p3＋1＝13(－p2＋2p＋1)，
整理，得p2－3p＋2＝0，解得p1＝1(舍去)，p2＝2，
∴－p2＋2p＋1＝1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)；
(3)【思路點(diǎn)撥】一般遇到線段成比例，可考慮三角形相似，求出線段長(zhǎng)，利用平行關(guān)系得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過點(diǎn)在直線或拋物線上確定點(diǎn)坐標(biāo).
如解圖②，③過點(diǎn)C作CG⊥AD，交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
聯(lián)立y＝－x+1y＝－x2+2x+1，
解得x1=3y1＝－2或x2=0y2=1，
∴B(0，1)，C(3，－2)，
∴CG＝3－1＝2，
∵PE∥x軸，PF∥y軸，
∴∠PEF＝∠GCD，∠PFE＝∠GDC，
∴△PEF∽△GCD，
∴PEGC＝EFCD，即PE2＝316，
∴PE＝38.
∵y＝－(x－1)2＋2，
∴D(1，2)，
設(shè)直線CD的解析式為y＝k1x＋b1(k1≠0)，
將C(3，－2)，D(1，2)分別代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，得－2=3k1＋b12=k1＋b1，解得k1＝－2b1=4，
∴直線CD的解析式為y＝－2x＋4.
設(shè)P(t，－t2＋2t＋1)，
①如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，
則E(t－38，－t2＋2t＋1)，1＜t＜3.
∵點(diǎn)E在直線CD上，
∴－t2＋2t＋1＝－2(t－38)＋4，
整理，得4t2－16t＋15＝0，
解得t1＝32，t2＝52，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32，74)或(52，－14)；
圖②
圖③
第4題解圖
②如解圖③，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，
則E(t＋38，－t2＋2t＋1)，t＞3.
∵點(diǎn)E在直線CD上，
∴－t2＋2t＋1＝－2(t＋38)＋4，整理，得4t2－16t＋9＝0，
解得t3＝4+72，t4＝4－72(舍去)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4+72，－3+474)，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32，74)或(52，－14)或(4+72，－3+474).
類型二 二次函數(shù)與面積有關(guān)問題
1. 解：(1)將點(diǎn)A(－2，0)，B(1，0)分別代入y＝－x2＋bx＋c，
得－4－2b＋c=0－1+b＋c=0，解得b＝－1c=2，
∴b的值為－1，c的值為2；
(2)由(1)可知，二次函數(shù)的解析式為y＝－x2－x＋2，
設(shè)P(m，n)，
∵點(diǎn)P在二次函數(shù)的圖象上，
∴n＝－m2－m＋2.
∵A(－2，0)，B(1，0)，
∴AB＝3，
又∵△PAB的面積為6，
∴12×AB×｜n｜＝6，解得n＝±4，
當(dāng)n＝4時(shí)，即－m2－m＋2＝4，化簡(jiǎn)得m2＋m＋2＝0，該方程無實(shí)數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)n＝－4時(shí)，即－m2－m＋2＝－4，化簡(jiǎn)得m2＋m－6＝0，解得m1＝2，m2＝－3，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，－4)或(－3，－4).
2. 解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
∵OC＝3，∴C(0，3)，
將點(diǎn)C(0，3)代入y＝a(x＋1)(x－3)中，得－3a＝3，解得a＝－1，
∴拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；
(2)∵A(－1，0)，B(3，0)，
∴AB＝3－(－1)＝4，
∴S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6，
∵S△ABC＝2S△PBC＝6，∴S△PBC＝3，
由B(3，0)，C(0，3)可得BC所在直線的解析式為y＝－x＋3，
①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)P位于BC上方時(shí)，過點(diǎn)P作PM∥BC交y軸于點(diǎn)M，
∴S△PBC＝S△MBC＝3＝CM×32，
∴CM＝2，M(0，5)，
∴直線PM的解析式為y＝－x＋5，
聯(lián)立y＝－x+5y＝－x2+2x+3，
解得x1＝1，x2＝2，
∴點(diǎn)P(1，4)或(2，3)；
第2題解圖
②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，
同理可得，M(0，1)，
∴直線PM的解析式為y＝－x＋1，
聯(lián)立y＝－x+1y＝－x2+2x+3，
解得x1＝3－172，x2＝3+172，
∴點(diǎn)P(3－172，17－12)或(3+172，－17－12)，
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)或(2，3)或(3－172，17－12)或(3+172，－17－12).
3. 解：(1)∵A(1，0)，AB＝4，
∴B(－3，0).
將點(diǎn)A(1，0)，B(－3，0)分別代入y＝x2＋bx＋c中，得1+b＋c=09－3b＋c=0，
解得b=2c＝－3，
∴拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3；
(2)由(1)知拋物線的解析式為y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴C(－1，－4).
設(shè)直線BC的解析式為y＝k1x＋m1(k1≠0)，
將點(diǎn)B(－3，0)，C(－1，－4)分別代入y＝k1x＋m1中，得－3k1＋m1=0－k1＋m1＝－4，
解得k1＝－2m1＝－6，
∴直線BC的解析式為y＝－2x－6，
設(shè)直線AC的解析式為y＝k2x＋m2(k2≠0)，
將點(diǎn)A(1，0)，C(－1，－4)代入y＝k2x＋m2中，得k2＋m2=0－k2＋m2＝－4，
解得k2=2m2＝－2，
∴直線AC的解析式為y＝2x－2.
∵PQ∥BC，
∴設(shè)直線PQ的解析式為y＝－2x＋n，
令y＝0，得x＝n2，
∴P(n2，0)，
聯(lián)立直線AC與直線PQ的解析式，得y=2x－2y＝－2x＋n，
解得x＝n+24y＝n－22，
∴Q(n+24，n－22)，
∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴－3≤n2≤1，
即－6≤n≤2，
∴S△CPQ＝S△CPA－S△QPA＝12×(1－n2)×4－12×(1－n2)×(－n－22)＝－18(n＋2)2＋2，
∵－18＜0，－6≤n≤2，
∴當(dāng)n＝－2時(shí)，S△CPQ取得最大值，最大值為2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，0).
4. 解：(1)令y＝－x2－4x＋5中y＝0，得－x2－4x＋5＝0，
解得x1＝－5，x2＝1，
∴A(－5，0)，B(1，0).
令x＝0，得y＝5，
∴C(0，5)，
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將A(－5，0)，C(0，5)的坐標(biāo)代入，
得0=－5k＋b5=b，解得k=1b=5，
∴直線AC的函數(shù)解析式為y＝x＋5；
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，－m2－4m＋5)，
∵A(－5，0)，C(0，5)，
∴AC2＝50，CP2＝(m－0)2＋(－m2－4m＋5－5)2＝m2＋(－m2－4m)2，AP2＝(m＋5)2＋(－m2－4m＋5)2.
∵PC⊥AC，
∴∠PCA＝90°，∴AC2＋CP2＝AP2，
∴50＋m2＋(－m2－4m)2＝(m＋5)2＋(－m2－4m＋5)2，解得m＝－3或m＝0(舍去)，
∴P(－3，8).
設(shè)直線OP的解析式為y＝k1x(k1≠0)，將P(－3，8)的坐標(biāo)代入，
得8＝－3k1，∴k1＝－83，
∴直線OP的解析式為y＝－83x.
令－83x＝x＋5，解得x＝－1511，
∴D(－1511，4011)，
∴S△PAD＝S△PAO－S△DAO＝12×5×(8－4011)＝12011.
5. (1)∵拋物線y＝ax2＋32x＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2)，
∴將點(diǎn)A(－1，0)，C(0，2)代入拋物線y＝ax2＋32x＋c中，
得a－32＋c=0c=2，解得a＝－12c=2，
∴拋物線的解析式為y＝－12x2＋32x＋2，
令y＝0，解得x＝－1或x＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入，
得4k＋b=0b=2，解得k＝－12b=2，
∴直線BC的函數(shù)解析式為y＝－12x＋2；
(2)如解圖，連接AC，
∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)，
∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5，
∴在Rt△OAC中，AC＝OA2＋OC2＝12＋22＝5，在Rt△OCB中，BC＝OB2＋OC2＝42＋22＝25，
∴AC2＋BC2＝(5)2＋(25)2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
又∵∠AEC＝45°，
∴CE＝AC＝5，
∴S△ABC＝12AB·OC＝12×5×2＝5，S△ACE＝12AC·CE＝12×5×5＝52，
①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，
S△ABE＝S△ABC－S△ACE＝5－52＝52；
②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
S△ABE＝S△ABC＋S△ACE＝5＋52＝152，
∴△ABE的面積為52或152；
圖①
圖②
第5題解圖
(3)如解圖③，過點(diǎn)B作BG⊥AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DI∥y軸，交直線BC于點(diǎn)I，過點(diǎn)A作AH∥y軸，交直線BC于點(diǎn)H，則DI∥AH，
∴△EDI∽△EAH，∴DEAE＝DIAH，
∵A(－1，0)，
將x＝－1代入y＝－12x＋2中，得y＝－12×(－1)＋2＝52，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(－1，52)，
∴AH＝52，
∵點(diǎn)D在第一象限的拋物線上，
∴設(shè)D(m，－12m2＋32m＋2)，則I(m，－12m＋2)(0＜m＜4)，
∴DI＝(－12m2＋32m＋2)－(－12m＋2)＝－12m2＋2m，
∴S1S2＝12DE·BG12AE·BG＝DEAE＝DIAH＝－12m2+2m52＝－15m2＋45m＝－15(m－2)2＋45，
∵－15＜0，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，S1S2的最大值為45.
第5題解圖③
類型三 二次函數(shù)與特殊圖形存在性有關(guān)問題
一階 設(shè)問突破
例 解：(1)∵拋物線的解析式為y＝12x2－x－4，
∴當(dāng)y＝0時(shí)，12x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A(－2，0)，B(4，0)，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－4，∴C(0，－4).
∴OA＝2，OC＝4，
∴由勾股定理得AC＝AO2＋OC2＝25.
∴當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，分以下三種情況：
①當(dāng)AD＝AC時(shí)，如解圖①，點(diǎn)D位于點(diǎn)D1或D2處，此時(shí)AD＝AC＝25，
∴點(diǎn)D1的坐標(biāo)為(－2－25，0)，點(diǎn)D2的坐標(biāo)為(25－2，0)；
②當(dāng)CD＝AC時(shí)，如解圖①，點(diǎn)D位于點(diǎn)D3處，
∵OC⊥AD3，∴OA＝OD3＝2，
∴點(diǎn)D3的坐標(biāo)為(2，0)；
③當(dāng)AD＝CD時(shí)，如解圖①，點(diǎn)D位于點(diǎn)D4處，
設(shè)點(diǎn)D4的坐標(biāo)為(a，0)，則AD4＝a＋2，CD4＝a2＋42，
∴a＋2＝a2＋42，解得a＝3，
∴點(diǎn)D4的坐標(biāo)為(3，0).
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2－25，0)或(25－2，0)或(2，0)或(3，0)；
例題解圖①
(2)由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，
∴OA＝2，OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n，12n2－n－4)，
當(dāng)∠PAB＝∠ABC時(shí)，分以下兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如解圖②，過點(diǎn)A作AP1∥BC交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1Q1⊥x軸于點(diǎn)Q1，
∴∠P1AB＝∠ABC＝45°，此時(shí)點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處，
∴P1Q1＝AQ1，
∵AQ1＝OA＋OQ1＝2＋n，P1Q1＝12n2－n－4，
∴12n2－n－4＝2＋n，解得n＝－2(舍去)或n＝6，
當(dāng)n＝6時(shí)，12n2－n－4＝8，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(6，8)；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如解圖②，過點(diǎn)A作AP2⊥BC交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2Q2⊥x軸于點(diǎn)Q2，
同理可得AQ2＝2＋n，P2Q2＝－(12n2－n－4)，
∵∠P2AB＝∠ABC＝45°，
∴AQ2＝P2Q2，
∴2＋n＝－(12n2－n－4)，解得n＝－2(舍去)或n＝2，
當(dāng)n＝2時(shí)，12n2－n－4＝－4，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(2，－4).
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，8)或(2，－4)；
例題解圖②
(3)存在.
由(1)知B(4，0)，C(0，－4)，
∴OC＝4，
以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分以下兩種情況：
①當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，如解圖③，點(diǎn)E位于點(diǎn)E1或E2或E3處，點(diǎn)F相應(yīng)的位于點(diǎn)F1或F2或F3處，
∵四邊形BCF1E1為平行四邊形，
∴BC∥E1F1，BC＝E1F1，
∵點(diǎn)F1在x軸上，
∴點(diǎn)E1到x軸的距離為4，
令y＝4，即12x2－x－4＝4，
解得x1＝1＋17(舍去)，x2＝1－17，
∴點(diǎn)E1的坐標(biāo)為(1－17，4)，
同理可得點(diǎn)E2的坐標(biāo)為(1＋17，4)，
∵B(4，0)，C(0，－4)，
∴由平移的性質(zhì)得點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－3－17，0)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(17－3，0)；
∵四邊形BCE3F3為平行四邊形，
∴BF3∥CE3，BF3＝CE3，
∴點(diǎn)E3與點(diǎn)C關(guān)于直線x＝－－12×12＝1對(duì)稱，
∴0+xE2＝1，解得xE＝2，
∴點(diǎn)E3的坐標(biāo)為(2，－4)，
∴CE3＝2，
∴OF3＝OB＋CE3＝6，
∴點(diǎn)F3的坐標(biāo)為(6，0)；
②當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如解圖③，點(diǎn)E位于點(diǎn)E4處，點(diǎn)F相應(yīng)的位于點(diǎn)F4處，連接E4F4交BC于點(diǎn)G，
∵四邊形BE4CF4為平行四邊形，
∴點(diǎn)G為BC，E4F4的中點(diǎn)，
∴0+42＝2，0－42＝－2，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2，－2)，
∵BF4∥CE4，∴點(diǎn)E4與點(diǎn)E3重合，
∴E4(2，－4)，
∴2+xF2＝2，解得xF＝2，
∵點(diǎn)F在x軸上，∴點(diǎn)F4的坐標(biāo)為(2，0).
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－3－17，0)或(17－3，0)或(6，0)或(2，0)；
例題解圖③
(4)①存在.
∵拋物線的解析式為y＝12x2－x－4＝12(x－1)2－92，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1.
設(shè)點(diǎn)M(1，t)，則BM2＝(1－4)2＋(t－0)2＝t2＋9，CM2＝(1－0)2＋(t＋4)2＝t2＋8t＋17，BC2＝(4－0)2＋(0－4)2＝32，
以點(diǎn)B，C，M為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形時(shí)，分以下三種情況：
(i)當(dāng)∠MBC＝90°時(shí)，如解圖④，點(diǎn)M位于點(diǎn)M1處，
由勾股定理得BC2＋BM2＝CM2，即32＋t2＋9＝t2＋8t＋17，解得t＝3，∴點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(1，3)；
(ii)當(dāng)∠MCB＝90°時(shí)，如解圖④，點(diǎn)M位于點(diǎn)M2處，
由勾股定理得BC2＋CM2＝BM2，即32＋t2＋8t＋17＝t2＋9，解得t＝－5，
∴點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(1，－5)；
(iii)當(dāng)∠BMC＝90°時(shí)，如解圖⑤，點(diǎn)M位于點(diǎn)M3或點(diǎn)M4處，
由勾股定理得BM2＋CM2＝BC2，即t2＋9＋t2＋8t＋17＝32，解得t1＝－2－7，t2＝7－2，
∴點(diǎn)M3的坐標(biāo)為(1，7－2)，點(diǎn)M4的坐標(biāo)為(1，－2－7).
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，3)或(1，－5)或(1，7－2)或(1，－2－7)；
圖④
圖⑤
例題解圖
②存在.
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴M(1，0)，
由(1)知B(4，0)，C(0，－4)，
∴BM2＝(4－1)2＝9，CM2＝(1－0)2＋(0＋4)2＝17，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，n)，
則BQ2＝(4－m)2＋n2，
CQ2＝m2＋(－4－n)2，
當(dāng)△BCQ與△BCM全等時(shí)，
分兩種情況：
(i)當(dāng)BM＝BQ，CM＝CQ，即△BCM≌△BCQ時(shí)，
BM2＝BQ2，即9＝(4－m)2＋n2，
CM2＝CQ2，即17＝m2＋(－4－n)2，解得m＝1－n，
代入9＝(4－m)2＋n2得，n1＝0，n2＝－3，
∴m1＝1，m2＝4，
∵點(diǎn)Q不與點(diǎn)M重合，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，－3)；
(ii)當(dāng)BM＝CQ，CM＝BQ，即△BCM≌△CBQ時(shí)，
BM2＝CQ2，即9＝m2＋(－4－n)2，
CM2＝BQ2，即17＝(4－m)2＋n2，解得m＝－n－1，
代入17＝(4－m)2＋n2得，n3＝－1，n4＝－4，
∴m3＝0，m4＝3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，－1)或(3，－4).
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4，－3)或(0，－1)或(3，－4)；
③存在.
由(1)得A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，AC＝25，
設(shè)BC所在直線的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
將B(4，0)，C(0，－4)分別代入，
得4k＋b=0b＝－4，解得k=1b＝－4，
∴BC所在直線的解析式為y＝x－4，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－3)，
∵OB＝OC＝4，∴BC＝42，
同理易得BM＝32，
當(dāng)△BMN與△ABC相似時(shí)，
分以下兩種情況：
(i)當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，如解圖⑥，點(diǎn)N位于點(diǎn)N1處，
∴BMBC＝BN1BA，
∵BA＝OA＋OB＝6，
∴3242＝BN16，解得BN1＝92，
∴ON1＝BN1－OB＝12，
∴點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(－12，0)；
(ii)當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，如解圖⑥，點(diǎn)N位于點(diǎn)N2處，
∴BMBA＝BN2BC，
∴326＝BN242，解得BN2＝4，
∴BN2＝OB，此時(shí)點(diǎn)N2與點(diǎn)O重合，
∴點(diǎn)N2的坐標(biāo)為(0，0).
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－12，0)或(0，0).
例題解圖⑥
二階 綜合訓(xùn)練
1. 解：(1)∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(5，0)，B(－1，0)，
∴二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a(x－5)(x＋1)＝a(x2－4x－5)，
將點(diǎn)C(0，－5)代入，
得－5a＝－5，解得a＝1，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2－4x－5；
(2)存在.
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
將點(diǎn)A，C代入，得5k＋b=0b＝－5，解得k=1b＝－5，
∴直線AC的解析式為y＝x－5，
設(shè)點(diǎn)P(t，t2－4t－5)，則點(diǎn)Q(t，t－5)，
∴PQ2＝(－t2＋5t)2，PC2＝t2＋(t2－4t)2，CQ2＝2t2，
當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，△CPQ為等腰三角形，
PQ2＝CQ2，即(－t2＋5t)2＝2t2，解得t＝0(舍去)或5－2或5＋2(舍去)；
當(dāng)PQ＝PC或PC＝CQ時(shí)，△CPQ為等腰三角形，
PQ2＝PC2，即(－t2＋5t)2＝t2＋(t2－4t)2，解得t＝0(舍去)或t＝4，PC2＝CQ2，
t2＋(t2－4t)2＝2t2，
解得t＝0(舍去)或t＝3或t＝5(舍去).
綜上所述，存在實(shí)數(shù)t，使△CPQ為等腰三角形，t的值為5－2或3或4.
2. 解：(1)令4x－12＝2x2－8x＋6，解得x1＝x2＝3，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，4x－12＝2x2－8x＋6＝0，
∴y＝ax2＋bx＋c的圖象必過點(diǎn)(3，0)，
又∵y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)(－1，0)，
∴a－b＋c=0，9a+3b＋c=0，
解得b＝－2a，c＝－3a，
∴y＝ax2－2ax－3a，
又∵4x－12≤ax2＋bx＋c，
∴ax2－2ax－3a≥4x－12，即ax2－2ax－4x＋12－3a≥0，
∴a＞0且b2－4ac≤0，∴(2a＋4)2－4a(12－3a)≤0，
∴(a－1)2≤0，∵(a－1)2≥0，
∴a＝1，
∴b＝－2，c＝－3，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2－2x－3；
(2)存在.
由(1)可知A(3，0)，C(0，－3)，設(shè)M(m，m2－2m－3)，N(n，0)，
分情況討論：
①如解圖①，當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，
此時(shí)xA＋xC＝xM＋xNyA＋yC＝y(tǒng)M＋yN，
即3+0=m＋n，0+(?3)＝m2－2m－3+0，
解得m1＝0(舍)，m2＝2，
∴n＝3－m＝1，即N1(1，0)；
②如解圖②，當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，
此時(shí)xA＋xM＝xC＋xNyA＋yM＝y(tǒng)C＋yN，
即3+m=0+n，0+m2－2m－3=－3+0，
解得m3＝0(舍)，m4＝2，
∴n＝5，即N2(5，0)；
③如解圖③，當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，
此時(shí)xA＋xN＝xC＋xMyA＋yN＝y(tǒng)C＋yM，
即3+n=0+m，0+0=－3+m2－2m－3，
解得m5＝1＋7，m6＝1－7，
∴n＝7－2或n＝－2－7，
∴N3(7－2，0)，N4(－2－7，0).
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(1，0)或(5，0)或(7－2，0)或(－2－7，0).
圖①
圖②
圖③
第2題解圖
3. 解：(1)∵拋物線的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A(－1，0)，B(3，0)，
令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)；
(2)如解圖①，∵∠AOC＝∠COP＝90°，
∴當(dāng)以C，O，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似時(shí)，分兩種情況：
①當(dāng)∠ACO＝∠P1CO時(shí)，
∵OC＝OC，∴△ACO≌△P1CO，故不符合題意；
②當(dāng)∠ACO＝∠CP2O時(shí)，△ACO∽△CP2O，此時(shí)AOCO＝COP2O，
∵A(－1，0)，∴AO＝1，
∵C(0，3)，∴CO＝3，∴13＝3P2O，
解得P2O＝9，∴t的值為3；
第3題解圖①
(3)存在.
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋n(k≠0)，
將B(3，0)，C(0，3)分別代入得3k＋n=0n=3，解得k＝－1n=3，
∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.
∵點(diǎn)Q是直線BC上一點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，－m＋3).
∵點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x＝－22×(?1)＝1，
∴D(1，0)，
∴CD2＝10，CQ2＝m2＋[3－(－m＋3)]2＝2m2，DQ2＝(m－1)2＋(－m＋3)2＝2m2－8m＋10.
∵∠DCQ≠90°，∴要使以C，D，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，分兩種情況討論：
①當(dāng)∠CQD＝90°時(shí)，如解圖②，由勾股定理可得，CQ2＋DQ2＝CD2，
即2m2＋2m2－8m＋10＝10，整理得m2－2m＝0，解得m1＝0(舍去)，m2＝2，
∴－m＋3＝1，∴Q(2，1)；
②當(dāng)∠CDQ＝90°時(shí)，如解圖③，由勾股定理可得，CD2＋DQ2＝CQ2，
即10＋2m2－8m＋10＝2m2，整理得5－2m＝0，解得m＝52，
∴－m＋3＝12，∴Q(52，12).
綜上所述，存在點(diǎn)Q使得以C，D，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，1)或(52，12).
第3題解圖

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