一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分． 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
因此，而，
所以.
故選：C
2. 若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以的虛部為，
故選：D
3. 橢圓的離心率為，則（ ）
A. 2B. 1C. D. 2或
【答案】D
【解析】由于橢圓方程為，
當(dāng)時(shí)，
則，
其離心率為：，解得，
當(dāng)時(shí)，則，
其離心率為：，解得，
綜上，的值為2或.
故選：D.
4. 設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則與不一定平行，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，
則，即，
所以，所以與同向，即，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，若，則，所以，不能得出，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C
5. 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖分布形態(tài)中，分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二列的中點(diǎn)處.
因?yàn)橹狈綀D第一、二、三、四列高矩形較多，且在右邊拖尾低矩形有三列，所以中位數(shù)大于眾數(shù)，右邊拖尾的有三列，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，
因此有.
故選：C.
6. 已知實(shí)數(shù)滿足，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可知，，
所以.
故選：B
7. 設(shè)為是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，可得，即?br>且，則，
可得，解得，故AB錯(cuò)誤；
由可知，可得，則，
所以，故C正確；
例如，符合題意，但，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8. 已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩個(gè)零點(diǎn)、，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意得，其中，（取為銳角），
由、兩個(gè)零點(diǎn)，可得，解得，
所以，故A正確.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，漏選得2分，錯(cuò)選得0分．
9. 下列命題中，正確的命題有 （ ）
A. 本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是
B. 線性回歸模型中，決定系數(shù)越接近于1，表示回歸擬合的效果越好．
C. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布且，則
D. 用殘差進(jìn)行回歸分析時(shí)，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度較窄的水平區(qū)域內(nèi)，則說(shuō)明線性回歸模型的擬合精度較低
【答案】BC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：樣本共8個(gè)數(shù)，則有，所以第80百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)字9，故A不正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：線性回歸模型中，決定系數(shù)越接近于1，表示回歸擬合的效果越好，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)：由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，則，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)：用殘差進(jìn)行回歸分析時(shí)，若殘差點(diǎn)比較均勻地落在寬度較窄的水平區(qū)域內(nèi)，則說(shuō)明線性回歸模型的擬合精度較高，故D不正確；
故選：BC
10. 直線：，圓：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)
B. 圓心到直線的最大距離是2
C. 存在一個(gè)值，使直線經(jīng)過(guò)圓心
D. 不存在使得圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，因?yàn)橹本€：，可化為，
令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，
而，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)且與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)閳A：的圓心為，半徑為，
所以圓心到定點(diǎn)的距離為，
所以圓心到直線的最大距離是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將圓心代入直線，得，解得，
所以存在，使直線經(jīng)過(guò)圓心，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)閳A的圓心為，
所以兩圓圓心所成線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，恰為直線所過(guò)定點(diǎn)，
同時(shí)兩圓圓心所在直線的斜率為，
要使兩圓關(guān)于直線對(duì)稱，則只需直線的斜率為，
又直線：，所以，
其斜率，解得，顯然存在滿足題意，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，對(duì)于任意的，滿足，且，，則（ ）
A. 是周期為2的周期函數(shù)
B.
C. 是偶函數(shù)
D.
【答案】BCD
【解析】對(duì)B：令，得，又因?yàn)?，所以，故B正確；
對(duì)C：令，對(duì)于任意，則，
所以，所以是偶函數(shù)，故C正確；
對(duì)A：令，則，由，
則，所以不是以為周期的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)D：令，則，得，
由，，易得，
則且，，又，
所以數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列，
所以，
其次令，得，
則，，且，所以，
所以，所以，故D正確.
故選：BCD.
12. 在邊長(zhǎng)為的正方體中，為線段中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A. 點(diǎn)到平面的距離為定值
B. 直線與直線所成角的最小值為
C. 三棱錐的外接球的表面積最小值為
D. 若用一張正方形的紙把此正方體完全包住，不將紙撕開(kāi)，則所需紙面積的最小值是
【答案】ACD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖所示，，平面，平面，
故平面，且點(diǎn)，
所以點(diǎn)到平面的距離為定值，A正確；
取的中點(diǎn)為，連接，在正方體內(nèi)四邊形是平行四邊形，
所以，則直線與直線所成角即為直線與直線的夾角，
因?yàn)槠矫妫?br>由線面角的最小性可知直線與直線的夾角的最小時(shí)為與平面所成線面角，
點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰為線段的靠近的四等分點(diǎn)，
在中，，，
，
易求得該角的正弦值為，B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以線段恰為三棱錐外接球被平面所截形成的截面圓的直徑，
顯然外接球直徑，
當(dāng)最小為即線段恰好為該外接球的直徑時(shí)，
三棱錐外接球的表面積最小，
此時(shí)，
三棱錐表面積的最小值為，C正確；
如下圖所示，可知外包裝正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，
該正方形面積的最小值為，D正確．
故選：ACD.
三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共20分．
13. 已知角，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以，又因，
所以，
所以，
故答案為：
14. 已知，則_____________．
【答案】
【解析】，由二項(xiàng)式定理得：，
所以.
故答案為：.
15. 設(shè)函數(shù)在處取得極值，且，當(dāng)時(shí)，最大值記為，對(duì)于任意的的最小值為_(kāi)____________．
【答案】
【解析】由已知得有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
可得，
則，
可得，
令，解得或；令，解得；
易知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
而，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
顯然對(duì)于，當(dāng)時(shí)，.
故答案為：2
16. 已知點(diǎn)是等軸雙曲線的左右頂點(diǎn)，且點(diǎn)是雙曲線上異于一點(diǎn)，，則_____________．
【答案】
【解析】因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，故，故，
設(shè)，則，，且，
，
即，
，，
，而，故即.
故答案為：.
四、解答題：本大題共6小題，共70分． 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 如圖，三棱柱是所有棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱，分別為棱和棱的中點(diǎn)．
（1）求證：面面；
（2）求二面角的余弦值大?。?br>證明：（1）為棱中點(diǎn)，為正三角形，.
又三棱柱是直三棱柱，
面，又面，，
而平面，
面，面，
面面；
解：（2）由（1）得面，面，
，
是二面角的平面角，
在中，
二面角的余弦值為．
方法二：以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖：
則，
，，
設(shè)平面、平面的法向量分別為，
，可以是
可以是，
二面角的余弦值為．
18. 已知正項(xiàng)數(shù)列，前項(xiàng)和記為，，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，．當(dāng)時(shí)，求的值．
解：（1）因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，
因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，
所以，整理得，又，
所以是首項(xiàng)為的常數(shù)列，則，所以，
當(dāng)時(shí)，也符合上式，故.
（2）由（1）得，則，
所以，
則，
易得，，當(dāng)時(shí)，，則，
，解得.
19. 在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，填在下面的橫線中，并完成解答.
在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且_______.
（1）求邊長(zhǎng)；
（2）若邊上的高為，求角的最大值.
解：（1）選①，，，
，；
選②，，，
，；
選③，，，
，，
，由正弦定理得，.
（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，，
又由于，，，
，，即，
又在銳角中，，則，
，即，所以角最大值為.
20. 已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（），求的取值范圍．
解：（1）由，解得，所以，
則，則，
所以切線方程為，即．
（2），
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由時(shí)，，時(shí)，，
則，
令，則，在單調(diào)遞增．
又，時(shí)，，時(shí)，，
，所以.
21. 某校食堂為全體師生免費(fèi)提供了、兩個(gè)新菜品，師生可自由選擇、菜品中的其中一個(gè)．若每位師生選擇菜品的概率是，選擇菜品的概率為，師生之間選擇意愿相互獨(dú)立．
（1）從師生中隨機(jī)選取人，記人中選擇菜品的人數(shù)為，求的均值與方差；
（2）現(xiàn)對(duì)師生逐個(gè)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查并發(fā)放免費(fèi)早餐券，若選擇菜品則送張，選擇菜品則送張，記累計(jì)贈(zèng)送張免費(fèi)早餐券的概率為，求證：．
解：（1）法一：由題可知，
于是的分布列為
所以，
．
法二：由題可知，，所以，．
證明：（2）法一：由題可知，．
當(dāng)時(shí)，，也即，
∴為常數(shù)數(shù)列，且，
∴，
∴是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，
∴，∴，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，又在定義域上單調(diào)遞增，
但是，所以且，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，又在定義域上單調(diào)遞減，
但是，所以且，
又，，綜上可得．
法二：由題可知，．
當(dāng)時(shí)，也即，
∴是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，
∴，，，，
相加可得，
∴，又也滿足，所以．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，又在定義域上單調(diào)遞增，
但是，所以且，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，又在定義域上單調(diào)遞減，
但是，所以且，
又，，綜上可得．
22. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)．
（1）設(shè)中點(diǎn)為，若長(zhǎng)度成等差數(shù)列，求直線的方程；
（2）已知點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
解：（1）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立可得，所以，
故，即，
由拋物線定義知，
且，
因?yàn)殚L(zhǎng)度成等差數(shù)列，所以，解得，
所以直線的方程為．
（2）設(shè)，，，如圖，
，即，
直線方程為，同理方程為，
代入可得，即，
又因?yàn)橹本€方程為，由于，，
可得，，代入化簡(jiǎn)可得，
即，可得直線過(guò)定點(diǎn)．
即在為直徑的圓上，所以圓心為中點(diǎn)，半徑，
又圓心與的距離，故，
此時(shí)，即，
即，解得或．

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