一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因，所以的虛部為.
故選：D.
2. P是所在平面上一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等邊三角形
【答案】B
【解析】由，可得，
即，即，
將等式兩邊平方，化簡(jiǎn)得，∴，
即，因此，是直角三角形.
故選：B．
3. 在中，若，，，則＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量平行四邊形法則，知當(dāng)時(shí)，，
又，，
故，，則，所以．
故選：B.
4. 已知、表示兩個(gè)不同的平面，是一條直線且，則是的（ ）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由平面與平面垂直的判定定理知，為平面內(nèi)的一條直線，
如果，則，故充分性成立；
反過來為平面內(nèi)的一條直線，由可能有或或與相交（不垂直）三種情況，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分非必要條件．
故選：A．
5. 設(shè)，為非零向量，，，則下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】C
【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則與不一定平行，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，
則，即，
所以，所以與同向，即，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，若，則，所以，
不能得出，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：C.
6. 已知四面體，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，
取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的正三角形，，
則由三線合一可知，
所以二面角的平面角為，
取三角形的外心，設(shè)外接球的球心為，則平面，
且，其中為四面體外接球的半徑，
過點(diǎn)作垂直平面，垂足為點(diǎn)，
由對(duì)稱性可知點(diǎn)必定落在的延長(zhǎng)線上面，
由幾何關(guān)系，設(shè)，
而由正弦定理邊角互換得，
進(jìn)而，
由勾股定理得，
從而，
，
所以，，
所以由得，，解得，
所以四面體的外接球的表面積為.
故選：B.
7. 某校組織高一1班，2班開展數(shù)學(xué)競(jìng)賽，1班40人，2班30人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，兩班成績(jī)的方差分別為，.記兩個(gè)班總成績(jī)的方差為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)兩個(gè)班的平均分分別為，，兩個(gè)班的總的平均分為，
則
.
故選：B.
8. 所有的頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個(gè)面叫底面，其它面叫側(cè)面，兩底面之間的距離叫高，經(jīng)過高的中點(diǎn)且平行于兩個(gè)底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個(gè)底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長(zhǎng)為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，連接，，
容易求得，，
取的中點(diǎn)，連接，易得，則，
所以多面體的體積
.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上
【答案】AD
【解析】對(duì)于A：設(shè)，若，則，故，
必有，A正確；
對(duì)于B：若，，則有，但，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若，，則有，但，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為和，
若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為線段的中垂線，
故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上，D正確.
故選：AD.
10. 已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是上的兩點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量的模長(zhǎng)為
【答案】BD
【解析】由題意可知：為中點(diǎn)，則，
以為原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
所以，，
設(shè)
由，可得，
即是中點(diǎn)，，故選項(xiàng)正確；
，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
又因?yàn)閯t，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
易知在方向上的投影向量的模長(zhǎng)為
，故選項(xiàng)D正確．
故選：BD.
11. 如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則（ ）
A. 存在點(diǎn)P，使得平面B. 對(duì)任意點(diǎn)P，平面平面
C. 兩條異面直線和所成的角為D. 點(diǎn)到直線的距離為4
【答案】ABD
【解析】A：當(dāng)與重合時(shí)，由題可知，
，
四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，
則平面，故A正確；
B：連接，平面，平面，，
又，
故，
又平面，平面，
又平面，故對(duì)任意點(diǎn)P，平面平面，故B正確；
C：由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，
異面直線和所成的角即為和所成的角，由圖可知為，故C錯(cuò)誤；
D：由正方體的特征可得，
，
所以點(diǎn)到直線的距離，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 盒中有四個(gè)大小、形狀完全相同的小球，分別編號(hào)為1、2、3、4，現(xiàn)從中任取兩個(gè)小球，則取出的小球中至少有一個(gè)號(hào)碼為奇數(shù)的概率為_____________．
【答案】
【解析】首先從中任取兩個(gè)小球有共個(gè)基本事件，
取出的小球中至少有一個(gè)號(hào)碼為奇數(shù)有共個(gè)基本事件，
所以取出的小球中至少有一個(gè)號(hào)碼為奇數(shù)的概率為.
故答案為：.
13. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角______.
【答案】
【解析】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因?yàn)樵谥?，?br>，
即，
即，
因?yàn)樵谥校?br>所以，所以.
故答案為：.
14. 位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測(cè)量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】310
【解析】設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為80°，
所以，在中，，所以，
在中，因?yàn)?，?br>所以，
由正弦定理得，所以，
則，
所以米.
故答案為：310.
四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量．
（1）若，求證：三點(diǎn)共線；
（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值．
解：（1）由，
得，
，
所以，且有公共點(diǎn)B，
所以三點(diǎn)共線.
（2）由與共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，
即，又是不共線的兩個(gè)非零向量，
因此，解得，或，
實(shí)數(shù)k的值是.
16. 記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若的周長(zhǎng)為20，面積為，求邊c．
解：（1），
由正弦定理，得，
，
，又，得，
所以，即，
由，解得.
（2）由（1），得，則，
由余弦定理，得，即，
得，又，
所以，即，
即，解得.
17. 2023年為普及航天知識(shí)，某校開展了“航天知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（滿分100分），其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）若該中學(xué)參加這次競(jìng)賽的共有3000名學(xué)生，試估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)；
（2）估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)；
（3）若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)?人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達(dá)人的概率．
解：（1）由頻率分布直方圖可知，
成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，
則估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為人.
（2）由頻率分布直方圖可知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，
成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，
成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，
成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，
成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，
所以成績(jī)?cè)诜忠韵碌膶W(xué)生所占的比例為，
成績(jī)?cè)诜忠韵碌膶W(xué)生所占的比例為，
所以成績(jī)的分位數(shù)一定在內(nèi)，即，
因此估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為.
（3）因?yàn)?，，?br>所以從成績(jī)?cè)?，，?nèi)的學(xué)生中分別抽取了人，人，人，
其中有人為航天達(dá)人，設(shè)為，
有人不是航天達(dá)人，設(shè)為，
則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，
有，
共種，
其中2人均為航天達(dá)人為共種，
所以被選中的2人均為航天達(dá)人的概率為．
18. 如圖，以AD所在直線為軸將直角梯形ABCD旋轉(zhuǎn)得到三棱臺(tái)，其中，．
（1）求證：；
（2）若，求直線AD與平面CDF所成角的正弦值．
解：（1）連接BD，DE，設(shè)，則，
取AB的中點(diǎn)G，連接DG，則四邊形BCDG為正方形，故，
得，∴，∴，
同理可得，，又面BDE，
∴面BDE，又面BDE，.
（2）由（1）知，
又∵，∴，
由，得，
又∵，面ABCD，∴面ABCD，
過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)M，連接EM，
因?yàn)槊鍭BCD，所以，
又因?yàn)?，且面DEM，
則面DEM，又面ABE，∴面面ABE，
過點(diǎn)D作交EM于點(diǎn)N，連接AN，
∴就是直線AD與面ABE所成的線面角，
∵面面ADE，∴就是直線AD與面CDF所成的線面角，
∵，又，，∴，
又，∴，
即直線AD與平面CDF所成線面角的正弦值為.
19. 如圖，已知圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)是下底面圓周上異于的動(dòng)點(diǎn)，圓柱的兩條母線．
（1）求證：平面平面；
（2）求四棱錐體積的最大值．
解：（1）為圓柱的母線，平面，
又平面，①
是下底面圓的直徑，，②
①②及平面，平面，
平面，又平面平面平面．
（2）在中，設(shè)，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取“=”號(hào)，
故最大值為18．

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