題型一：求已知函數(shù)的極值或最值
1．如圖是函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)f′x的圖象，則下面判斷正確的是（ ）
A．是區(qū)間上的增函數(shù)B．是區(qū)間上的減函數(shù)
C．1是的極大值點(diǎn)D．4是的極小值點(diǎn)
【答案】D
【詳解】由圖可知：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，
故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
2．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．的解集是B．是極小值，是極大值
C．沒有最小值，也沒有最大值D．有最大值，沒有最小值
【答案】C
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，
對(duì)于A，，解得，即的解集是，A正確；
對(duì)于BCD，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此是極小值，是極大值，B正確；
顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，，
而當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，而，因此有最大值，沒有最小值，C錯(cuò)誤，D正確.
故選：C
3．已知函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．若，則在上單調(diào)遞增B．若0為的極大值點(diǎn)，則
C．的圖象經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)D．若，則方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】D
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故A正確；
對(duì)于B，，令解得或，
因?yàn)?為的極大值點(diǎn)，
所以，且在附近先增后減，故，所以，故B正確；
對(duì)于C，由，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，由，令解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，f′x>0，
當(dāng)時(shí)，f′x0；
當(dāng)時(shí)，，即?′x0）.
所以當(dāng)時(shí)，（即）為增函數(shù).
又因?yàn)椋?br>所以，存在唯一的，使得
且與在區(qū)間上的情況如下：
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以 .
又因?yàn)?，?br>所以，
所以，即的圖象在圖象的下方.
18．已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．
【詳解】（1）依題意：對(duì)于恒成立，
即恒成立．
∵當(dāng)時(shí)，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．
∴，故的取值范圍為．
（2）（?。┊?dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，故此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)．
又，∴當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，先分析時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
由（1）．記．
則．∴在上單調(diào)遞增．
∵，∴．
又，
即．∴存在，使．
∴當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有．
∴在上有極小值，且．
以下先證對(duì)任意．
令，則，得時(shí)，時(shí)，．
∴．
∴成立，即．取，
則
∵，∴．
即．在上存在零點(diǎn)，
∵在上單調(diào)遞增，∴在上存在唯一零點(diǎn)．
另一方面，∵，∴是上的奇函數(shù)，
∴根據(jù)對(duì)稱性知：在上也存在一個(gè)零點(diǎn)．
又，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．
19．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在處有極值，求的值；
（2）若對(duì)于任意的在上單調(diào)遞增，求的最小值.
【答案】（1）b＝－11 （2）
【詳解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
于是，根據(jù)題設(shè)有，
解得或.
當(dāng)時(shí)，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函數(shù)有極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函數(shù)無極值點(diǎn)．
所以b＝－11.
(2)由題意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對(duì)任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，
所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0對(duì)任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．
因?yàn)閤≥0，
所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)或?yàn)槌?shù)函數(shù)，
①當(dāng)F(a)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(a)＝b≥0；
②當(dāng)F(a)為增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，
即b≥(－3x2＋8x)max對(duì)任意x∈[0,2]都成立，
又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，
所以當(dāng)x＝時(shí)，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.
所以b的最小值為.
20．設(shè)函數(shù)，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí),取得極值，求的值；
（Ⅱ）若在內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍．
【答案】（1）－；（2）
【詳解】，
（Ⅰ）由題意：
解得.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
（Ⅱ）方程的判別式,
(1) 當(dāng), 即時(shí)，,在內(nèi)恒成立, 此時(shí)為增函數(shù)；
(2) 當(dāng), 即或時(shí)，
要使在內(nèi)為增函數(shù), 只需在內(nèi)有即可, 設(shè)，
由得, 所以.
由(1) (2)可知,若在內(nèi)為增函數(shù)，的取值范圍是.
題型三：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參與不含參）
21．已知，函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?br>，令，得．
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減．
因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）令，則，．
因?yàn)?，則，，則．
當(dāng)時(shí)，則，故，從而在上單調(diào)遞減；
而，故當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，則，
因?yàn)?，則，從而，即在上單調(diào)遞減；
而，，因此存在唯一的，使得，
并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
而，故；取，
當(dāng)時(shí)，，
所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上有唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)．
22．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，求和；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)(2)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則且，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，
可得 解得.
（2）解：由函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
23．已知函數(shù)
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)指出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.
【答案】(1)(2)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減(3)2個(gè)，理由見解析
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋遥?br>可得直線的斜率，且，所以切線方程為，即.
（2）解：由（1）知，可得，
令，即，解得或，
當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，，
所以函數(shù)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（3）解：函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，理由如下：
由（2）知，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且，，
所以存在唯一，使；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
且，，
所以存在唯一，使；
③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且，恒有，故該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，
綜上可得：當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，，
所以當(dāng)時(shí)取到極小值；當(dāng)時(shí)取到極大值；故有2個(gè)極值點(diǎn).
24．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間．
(2)若函數(shù)在時(shí)取得極值，求的值；
(3)在第（2）問的條件下，求證：函數(shù)有最小值.
【答案】(1)和，單調(diào)減區(qū)間是(2)(3)證明見解析
【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
令，解得或；令，解得；
所以的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是.
（2）由題意可得：，
若函數(shù)在時(shí)取得極值，
則，解得：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是，
則是的極大值點(diǎn)，符合題意，
綜上所述：.
（3）由（2）可知：，
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，由（2）可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的取得最小值；
綜上所述：在處取得最小值，最小值為.
25．已知函數(shù)在時(shí)取得極值．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；(2)(3)或
【詳解】（1）由題得，且fx定義域?yàn)?
由函數(shù)在時(shí)取得極值，得，解得，
此時(shí)，顯然是的變號(hào)零點(diǎn)，即是極值點(diǎn)，
因此，
所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
（2）由（1）知，函數(shù)，
且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.
（3）因?yàn)椋?br>由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有極小值為，極大值為，
由有兩個(gè)零點(diǎn)得直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，
故或，所以或.
26．已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線為x軸，求a的值；
(2)在（1）的條件下，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(3)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】(1)(2)上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增(3)
【詳解】（1）由已知，則，
由于曲線在處的切線為x軸，
所以，所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，恒成立，，，
所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（3）由已知，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，恒成立，且，
當(dāng)時(shí)，，即在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，
當(dāng)，即，解得，
此時(shí)若，解得，在上單調(diào)遞減，
若，解得或，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取極小值，不符合題意，舍去；
當(dāng)，即，解得，
此時(shí)若，解得，在上單調(diào)遞減，
若，解得或，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取極大值，符合是的極大值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，即，解得，
此時(shí)恒成立，無極值點(diǎn)，
綜上所述：a的取值范圍為.
27．已知函數(shù).
(1)若曲線y=fx在處的切線方程為，
（ⅰ）求和的值；
（ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）答案見詳解(2)答案見詳解
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋遥?br>（?。┯深}意可知：，解得，
（ⅱ）此時(shí)，，
若，則，可得f′x

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