河北省石家莊市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

這是一份河北省石家莊市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析），共21頁(yè)。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).
3．在答題卡上與題號(hào)相對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題，寫(xiě)在試卷、草稿紙上或答題卡非題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域的答案一律無(wú)效.不得用規(guī)定以外的筆和紙答題，不得在答題卡上做任何標(biāo)記.
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用除法運(yùn)算可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即得.
【詳解】由題可知，
所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
2. 下列兩項(xiàng)調(diào)查適宜采用的抽樣方法依次是( )
①一項(xiàng)對(duì)“中興事件”(2018年4月16日，美國(guó)對(duì)中興通訊施行懲罰措施，引起國(guó)內(nèi)關(guān)于國(guó)產(chǎn)芯片的討論)影響的調(diào)查中有10000人認(rèn)為這是美國(guó)貿(mào)易保護(hù)主義，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)會(huì)產(chǎn)生比較負(fù)面的影響；有9000人認(rèn)為這只是一個(gè)孤立事件，對(duì)世界經(jīng)濟(jì)大格局不會(huì)產(chǎn)生太大影響；有1000人沒(méi)有發(fā)表自己的看法．現(xiàn)要從這20000人中隨機(jī)抽取200人做進(jìn)一步調(diào)查．
②從某中學(xué)高二年級(jí)的15名藝術(shù)特長(zhǎng)生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況．
A. ①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣
B. ①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
C. ①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣
D. ①②都用分層抽樣
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分層抽樣及簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念結(jié)合條件分析即得.
【詳解】由題可知對(duì)①，此項(xiàng)抽查的總體數(shù)目較多，而且差異很大，符合分層抽樣的適用范圍；
對(duì)②，從某中學(xué)高二年級(jí)的15名藝術(shù)特長(zhǎng)生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況，此項(xiàng)抽查的總體個(gè)數(shù)不多，而且差異不大，符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的適用范圍；
所以宜采用的抽樣方法依次是：①分層抽樣，②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．
故選：B.
3. 一個(gè)直三棱柱容器中盛有水，側(cè)棱．若側(cè)面水平放置時(shí)，如圖所示，水面恰好過(guò)AC、BC、、的中點(diǎn)，那么，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面高為( )

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件利用柱體體積公式求出水的實(shí)際體積，再由兩種情況的放置水的體積相同求解作答.
【詳解】設(shè)面積為a，底面ABC水平放置時(shí)，水面高為h，
由題可知側(cè)面水平放置時(shí)，水的體積為，
當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水的體積為，于是，解得，
所以當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，水面高為12.
故選：D.
4. 已知向量，，且，則實(shí)數(shù)等于( )
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，然后利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可得：，又因?yàn)椋?br>所以，解得：，
故選：A.
5. 已知a、b表示兩條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是( )
A. 若，，，則B. 若，，，則
C. 若，，，則D. 若，，，則
【答案】C
【解析】
【分析】舉例說(shuō)明判斷ABD；推理判斷C作答.
【詳解】在長(zhǎng)方體，令平面是平面，

對(duì)于A，若平面為平面，直線為直線，直線為直線，
顯然，，，此時(shí)直線是異面直線，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若平面為平面，直線為直線，直線為直線，
顯然，，，此時(shí)平面與相交，B錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若平面為平面，直線為直線，直線為直線，
顯然，，，此時(shí)直線相交，D錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在直線上取點(diǎn)，過(guò)作直線，相交直線確定平面，由知，與相交，令交線為，

顯然，由，，得，而，于是，又，
從而，而，所以，C正確
故選：C
6. 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為 ( )
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結(jié)合正弦定理即可得結(jié)果.
詳解：根據(jù)三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.
點(diǎn)睛：此題主要考三角形面積公式的應(yīng)用，以及余弦定理、正弦定理在計(jì)算三角形外接圓半徑的應(yīng)用等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題型，也是常考考點(diǎn).此類(lèi)題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時(shí)三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，此時(shí)三角形形狀不一定唯一.
7. 已知，則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得正確答案.
【詳解】
.
故選：B
8. 在四面體中，平面，，，若四面體的體積，則四面體的外接球的表面積為( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)錐體的體積公式求出，再求出底面外接圓的直徑，從而求出外接球的半徑，即可得解.
【詳解】依題意，，
所以，
又底面為直角三角形，所以外接圓的直徑即為斜邊，
設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，
即，
所以外接球的表面積.

故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 某中學(xué)舉辦數(shù)學(xué)運(yùn)算比賽，下表是參賽學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布表，若學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是85，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A. B. 學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是76
C. 學(xué)生的成績(jī)的平均分大于76D. 學(xué)生成績(jī)的極差為33
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念結(jié)合條件可得，然后根據(jù)眾數(shù)，極差及平均數(shù)的概念結(jié)合條件即得.
【詳解】因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是85，，
又，
所以，即，故A正確；
所以參賽學(xué)生的人數(shù)為80，學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是76，學(xué)生成績(jī)的極差為33，故BD正確；
學(xué)生的成績(jī)的平均分為
，故C錯(cuò)誤.
故選：ABD.
10. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則( )

A.
B.
C. 圖象的對(duì)稱中心為
D. 圖象的對(duì)稱軸方程為
【答案】AD
【解析】
【分析】由圖知且求，根據(jù)五點(diǎn)法求參數(shù)，即可得的解析式，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱中心、對(duì)稱軸方程，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】由圖可得：且，
∴，則，A正確；
由，則()，
得，，又，所以，B錯(cuò)誤；
所以，有，
由，，得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，C錯(cuò)誤；
由，，得，，即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，D正確.
故選：AD.
11. 在△ABC中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，CM與BN交于P點(diǎn)，若，則( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理及三點(diǎn)共線的向量表示得解.
【詳解】設(shè)，，由，可得，．
因?yàn)镃，P，M共線，所以，解得．因?yàn)镹，P，B共線，所以，解得．
故，，即，．
故選：AD．
12. 如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，點(diǎn)G為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有( )

A. 線段長(zhǎng)度的最小值為
B. 最大值為
C. 點(diǎn)G在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有面
D. 最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)垂直時(shí)線段最短判斷A，由直角三角形中的余弦值及A選項(xiàng)判斷B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷C，由展開(kāi)圖利用余弦定理計(jì)算判斷D.
【詳解】對(duì)A，連接，如圖，

當(dāng)時(shí)，最短，由正方體棱長(zhǎng)為6，所以，
所以，可得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，連接，如圖，

由正方體可知平面，又平面，所以，
故，由A知，的最小值為，故的最大值為，故B正確；
對(duì)于C，連接，如圖，

在正方體中，∥，平面，平面，
所以∥平面，同理可得∥平面，
又，平面，所以平面∥平面，
又平面，所以面，故C正確；
對(duì)于D，把平面沿展開(kāi)到平面所在平面，如圖，

連接交于，此時(shí)最小，最小值為,
在中，，
由余弦定理得，故D正確.
故選：BCD
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 1748年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，得到公式，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”，據(jù)此公式可得________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知公式直接計(jì)算即得.
【詳解】，
.
故答案為：.
14. 已知，，且，則________．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出向量的坐標(biāo)，再利用模的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可.
【詳解】由已知得，
，
，
解得.
故答案為：3.
15. 在正方體中，?分別是和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.
【答案】##
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，連、、，利用平行四邊形可得，可得是異面直線與所成角(或所成角的補(bǔ)角)，然后用余弦定理可得結(jié)果.
【詳解】在正方體中，取的中點(diǎn)G，連、、，
，依次是和的中點(diǎn)，，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，是異面直線與所成角(或所成角的補(bǔ)角)，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，
，．
異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：．
16. 已知中，，，點(diǎn)P是外接圓圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理可知外接圓的半徑，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性表示及數(shù)量積的運(yùn)算可得，然后根據(jù)圓的性質(zhì)可得，進(jìn)而即得.
【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，
所以，如圖設(shè)外接圓的圓心為，為的中點(diǎn)，連接
則，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
由圓的性質(zhì)可知，即，
所以，即取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)與z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，
(1)求；
(2)若復(fù)數(shù)，且，求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，結(jié)合條件可得；
(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的條件可得，然后利用模長(zhǎng)的求法即得.
【小問(wèn)1詳解】
由已知復(fù)數(shù),
因?yàn)閺?fù)數(shù)與z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則它們實(shí)部互為相反數(shù)，虛部相等，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
整理得，
所以，
解得，，
所以復(fù)數(shù)，
所以，
故．
18. 從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
在中，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且________．
(1)求角B的大?。?br>(2)若，，求的面積．
注：若選多個(gè)條件分別解答，則按所選的第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用正余弦定理，三角恒等變換及特殊角的三角函數(shù)結(jié)合條件即得；
(2)利用余弦定理及三角形面積公式即得.
【小問(wèn)1詳解】
選①因?yàn)椋烧叶ɡ?，?
所以,
因?yàn)椋?
所以,又因?yàn)椋?br>所以；
選②因?yàn)椋烧叶ɡ?，得?br>所以，即，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>選③因?yàn)椋烧叶ɡ?，得?br>所以，即，
因?yàn)?，，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>【小問(wèn)2詳解】
由余弦定理得，
解得，
故．
19. 已知，，函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得；
(2)根據(jù)三角函數(shù)的圖形和性質(zhì)結(jié)合條件即得.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>所以,
令，
則，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?
所以，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
即在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>20. 某中學(xué)為普及學(xué)生的法律知識(shí)，組織高一學(xué)生學(xué)習(xí)法律常識(shí)小冊(cè)子，進(jìn)行法律常識(shí)考試，隨機(jī)抽出100名學(xué)生成績(jī)，將其成績(jī)分成5組：，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖，已知在的人數(shù)等于在和的人數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．

(1)求a，b的值(結(jié)果保留三位小數(shù))；
(2)估計(jì)這100名學(xué)生的中位數(shù)和平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，成績(jī)?nèi)≌麛?shù))；
(3)已知該校高一學(xué)生共1200人，估計(jì)高一年級(jí)法律常識(shí)考試成績(jī)?cè)?0分及以上有多少人？
【答案】(1)，；
(2)中位數(shù)為72，平均成績(jī)73；
(3)60人．
【解析】
【分析】(1)根據(jù)直方圖可得，，之間的人數(shù)，結(jié)合條件可得，的人數(shù)，進(jìn)而即得；
(2)利用直方圖結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)的計(jì)算方法即得；
(3)由題可得學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為0.05，然后根據(jù)高一學(xué)生人數(shù)即得.
【小問(wèn)1詳解】
由頻率分布直方圖，之間的人數(shù)為，
與之間的人數(shù)均為，
所以在，的人數(shù)共50人，
因?yàn)樵诘娜藬?shù)等于在，的人數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．
設(shè)在的人數(shù)為x，則，解得，
所以，的人數(shù)分別為30，20，
所以，的頻率分別為0.3，0.2，
所以，．
【小問(wèn)2詳解】
由(1)可知，學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為0.45，在內(nèi)的頻率為0.75，
設(shè)學(xué)生成績(jī)中位數(shù)為，則：，解得，
故：估計(jì)這100名學(xué)生的中位數(shù)為72，
平均成績(jī)?yōu)椋海?br>【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為0.05，而該校高一學(xué)生共1200人，
所以估計(jì)高一年級(jí)法律常識(shí)考試成績(jī)?cè)?0分及以上人數(shù)為：人．
21. 四棱錐的底面為直角梯形，，，，為正三角形．
(1)點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，若平面，，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)本題首先可以通過(guò)證出，再通過(guò)得知四邊形為平行四邊形，最后通過(guò)得出結(jié)果；
(2)本題可以通過(guò)等面積法來(lái)求出點(diǎn)到平面的距離，即作直線于點(diǎn)，然后通過(guò)來(lái)求出結(jié)果．
【詳解】(1)因?yàn)槠矫?，平面，平面平面?br>所以，
因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危?br>又，所以為的中點(diǎn)．
因?yàn)椋裕?br>(2)因?yàn)椋?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，
平面平面，
如圖，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，則平面，
在和中，
因?yàn)椋裕?br>又由題知，
所以，
由已知求得，所以，
連接，則，
又求得的面積為，
所以由可知點(diǎn)到平面的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查解析幾何的相關(guān)性質(zhì)，考查線面平行、線面垂直、面面垂直、三棱錐面積公式等相關(guān)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查輔助線的構(gòu)造，是難題．
22. 拿破侖定理是法國(guó)著名軍事家拿破侖最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形(此等邊三角形稱為拿破侖三角形)的頂點(diǎn)．”某街角公園計(jì)劃對(duì)園內(nèi)的一塊草坪進(jìn)行改建，這塊草坪是由一個(gè)半徑為的圓的一段優(yōu)弧與此圓弧上一條長(zhǎng)為的弦AB圍成，改建計(jì)劃是在優(yōu)弧上選取一點(diǎn)C，以AC、BC、AB為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外心依次記為、、，在區(qū)域內(nèi)種植觀賞花卉．
(1)設(shè)、，用a、b表示的面積；
(2)要使面積最大，C點(diǎn)應(yīng)選在何處？并求出面積最大值．
【答案】(1)；
(2)點(diǎn)C取在優(yōu)弧中點(diǎn)，最大值為．
【解析】
【分析】(1)由正弦定理可得，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)拿破侖定理及等邊三角形的面積公式即得；
(2)根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式即得.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，的外接圓半徑為R，
在中，由正弦定理得，
因?yàn)?，，所以?br>
因?yàn)辄c(diǎn)C在優(yōu)弧上，所以，
因?yàn)辄c(diǎn)、是以AC、BC為邊向外所作等邊三角形外接圓圓心，
所以，且，，
所以，
所以，
根據(jù)拿破侖定理可知：；
【小問(wèn)2詳解】
在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，整理得，
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)
有(1)知：，
所以，
故點(diǎn)C取在優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，面積最大值，最大值為．
成績(jī)(分)
60
65
68
70
73
76
81
83
87
89
92
93
頻數(shù)
5
7
9
10
11
13
5
4
a
4
4
3