一、選擇題
1．已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，則9是該數(shù)列的( )
A.第42項B.第41項C.第9項D.第8項
2．過點且與直線垂直的直線方程是( )
A.B.C.D.
3．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，則( )
A.8B.3C.4D.-4
4．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則( )
A.B.C.D.
5．在平面直角坐標系中，已知點，且動點滿足，則動點P的軌跡與圓的位置關(guān)系是( )
A.相交B.外切C.外離D.內(nèi)切
6．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是( )
A.單調(diào)減區(qū)間是B.-2是極大值點
C.沒有最大值D.最多能有四個零點
7．在直三棱柱中，，，若點P滿足，其中，則直線與平面所成角的最大值為( )
A.B.C.D.
8．已知拋物線的焦點為F，O為坐標原點，若直線l交C于A，B兩點，且，點O關(guān)于l的對稱點為D，則的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知函數(shù)，則( )
A.
B.是的一個極值點
C.在上的平均變化率為1
D.在處的瞬時變化率為2
10．已知橢圓的長軸長為，離心率為，設(shè)點P是橢圓C上的任意一點，若點P到點的距離與點P到定直線的距離之比為定值，則( )
A.橢圓C的標準方程為
B.
C.
D.若直線與橢圓C相交于M，N兩點，則
11．如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，M為內(nèi)部一動點（不包含邊界），過M分別作平面、平面、平面的垂線，垂足分別為P，Q，R.則( )
A.直線與直線是異面直線
B.為定值
C.三棱錐的外接球表面積的最小值為
D.當時，平面與平面的夾角為
三、填空題
12．在等比數(shù)列中，若，則____________.
13．已知直線與雙曲線交于A，B兩點，點是弦的中點，則雙曲線C的離心率為___________.
14．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為R，若對任意實數(shù)x，，且當時，，則不等式的解集為___________.
四、解答題
15．已知圓C的圓心在直線上，且經(jīng)過點，.
(1)求圓C的標準方程；
(2)求經(jīng)過點且與圓C相切的直線方程.
16．已知數(shù)列的前n項和為，，且數(shù)列的前n項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：.
17．已知函數(shù)的兩個極值點分別為2，3.
(1)求a，b的值，并求出函數(shù)的極值；
(2)已知，求證：不等式在上恒成立.
18．如圖，在四棱柱中，底面為矩形，，平面平面，E，F(xiàn)分別為，的中點.
(1)證明：平面；
(2)若，二面角的正弦值為，求.
19．已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點分別為A，B，且.
(1)求E的方程；
(2)若點P為直線上的一點，直線交E于另外一點M（不同于點B）.
①記，的面積分別為，，且，求點P的坐標；
②若直線交E于另外一點N，點G是直線上的一點，且，其中O為坐標原點，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：由已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，
即，，
，，，…，，…，
則數(shù)列的第n項為，
令，解得，
所以9是該數(shù)列的第41項.
故選：B.
2．答案：A
解析：設(shè)與直線垂直的直線方程是，
代入點，得，
解得，所以所求的直線方程是.
故選：A
3．答案：C
解析：因為切線方程為，
可知當時，，且切線斜率為3，
即，，所以.
故選：C.
4．答案：A
解析：在中取得，
故，
所以.
故選：A.
5．答案：C
解析：，得，
則，
整理得，
表示圓心為，半徑為的圓，
圓的圓心為，半徑，
兩圓的圓心距為，
滿足，
所以兩個圓外離.
故選：C.
6．答案：D
解析：由圖可知：當或時，，
當或時，，
因此函數(shù)在和上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在上不單調(diào)，A錯誤；-2不是極值點，B錯誤；
函數(shù)在處取得極大值，
當不小于函數(shù)在，上的所有函數(shù)值時，
函數(shù)有最大值，C錯誤；
當，，，
且函數(shù)在，上的圖像都與x軸相交時，
函數(shù)在，，，上各有1個零點，共有4個零點，
因此最多能有四個零點，D正確.
故選：D.
7．答案：B
解析：分別取，中點D，，則，
即平面，連接，
因為，所以，以D為原點，
分別以，，所在直線為x，y，z軸
建立如圖所示的空間直角坐標系，
由已知，，，
，，
則，，
因為，
，，
易知平面的一個法向量是，
設(shè)直線與平面所成角為，，
則，
所以時，，
即的最大值是.
故選：B.
8．答案：C
解析：由A，B兩點在拋物線上，
所以可以設(shè)點，，
則，
由直線l交C于A，B兩點，故直線l不與x軸平行或重合，
故可設(shè)直線l解析式為，
聯(lián)立，
得，，
所以，解得，
所以直線l與x軸的交點為，
由O，D關(guān)于直線l對稱，
所以，且D點不與O點重合，
故可知D的軌跡方程為：（不經(jīng)過原點），
所以，，即.
故選：C.
9．答案：BD
解析：利用復合函數(shù)的求導法則，
由，所以A錯誤；
因為，當時，
，
且時，，時，
，故為極大值點，所以B正確；
由在上的平均變化率為
，所以C錯誤；
因為，當時，
，所以D正確.
故選：BD.
10．答案：ACD
解析：對于A，由題意，
所以，則，
所以橢圓C的標準方程為，A正確；
對于BC，設(shè)，依題意得，又，
所以，
所以恒成立，
可得且，且，
顯然，解得，，B錯誤，C正確；
對于D，由，
解得，或，
所以交點為，，
則，D正確.
故選：ACD.
11．答案：BC
解析：對于B，設(shè)，，，由題意，
即，
所以，
即為定值，故B正確；
對于C，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R，
由題意可知，，兩兩垂直，
，
當且僅當時取等號，
所以的最小值為，
即R的最小值為，
所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，故C正確；
對于D，如圖，
以O(shè)為原點，以，，所在直線分別為x，y，z軸
建立空間直角坐標系，，，
因為，
所以，此時，為的中心，
，，，
因為，，，，平面，
所以平面，
故即為平面的一個法向量，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
令，則，，，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為，故D錯誤；
由D可知，當M為的中心時，，
則，
所以，所以直線與直線共面，故A錯誤.
故選：BC.
12．答案：
解析：由，
得，所以.
故答案為：.
13．答案：2
解析：設(shè)，，
可得，，
兩式相減可得，
點是弦的中點，
且直線，可得，
，，即有，
即，
，，故雙曲線C的離心率為.
故答案為：2
14．答案：
解析：令，則，
由題意可得當時，，
即在上單調(diào)遞增，
由，
則，
即，故為偶函數(shù)，
故在上單調(diào)遞減，
則不等式
可化為，
即，即，
則有，即，
即，
即，解得.
因此，不等式的解集為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)線段的中點，直線的斜率，
則線段的中垂線方程為，即，
由，
解得，，
因此圓C的圓心，半徑，
所以圓C的標準方程為；
(2)點到直線的距離為2，即直線與圓C相切；
當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，
即，
由，解得，
因此方程為，
所以經(jīng)過點且與圓C相切的直線方程為或.
16．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)當時，.
因為時，，滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式為；
(2)，
所以
.
因為，所以，
又數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，
所以.
17．答案：(1)，，極大值為，極小值為
(2)證明見解析
解析：(1)因為，
所以，
因為函數(shù)的兩個極值點分別為2，3，
所以
解得
此時，
.
所以當時，，
當時，，當時，，
故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
滿足的兩個極值點分別為2，3，極大值點為2，極小值點為3，
所以函數(shù)的極大值為，極小值為.
(2)證明：等價于，
即，
令，則，
若，則恒成立，
在上單調(diào)遞增，
所以；
若，令，得，
當時，，
當時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極小值為，也是最小值.
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，
.
綜上所述，在上恒成立，
即不等式在上恒成立.
18．答案：(1)證明見詳解
(2)1
解析：(1)連接，與交于點G，連接、，
所以點G為的中點；
在中，因為G，F(xiàn)分別為、中點，
所以，且，
因為E為的中點，所以，且，
所以，且，
因此四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，
所以平面.
(2)取中點H，連接，，
所以，又，則；
因為，點F是的中點，所以，
因為平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，
平面，所以，，
因此，以點F為坐標原點，以，，
所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系；
設(shè)，由，，得；
則，，，，
所以，，；
設(shè)平面的法向量，
由，得，
令，解得，
則平面的一個法向量；
設(shè)平面的法向量，
由，得，
令，解得，
則平面的一個法向量；
設(shè)二面角的平面角為，
則，
由題意知，則，
即，解得，即.
19．答案：(1)
(2)①或
②是，2
解析：(1)由題意知
解得，，
所以E的方程為.
(2)由題意可知，，，設(shè)
因為直線交E于另外一點M（不同于點B），
所以，又雙曲線的漸近線為，
故，解得，
所以直線，即，
由，
消y得，
所以，
解得，
所以.
①因為，，
又，所以，
解得或，即點P的坐標為或.
②直線，即，
由，
消y得，，
即，所以，
解得，
所以，
所以直線的斜率，
所以直線的方程為，
令，得，
解得，
所以直線恒過定點，
又，即，又點A是的中點，所以，
所以是定值，且定值為2.

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