浙江省紹興市諸暨市2024屆高三(上)期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)

這是一份浙江省紹興市諸暨市2024屆高三(上)期末考試數(shù)學(xué)試卷(解析版)，共16頁。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 設(shè)集合，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，.
故選：D
2. 若函數(shù)（，）的圖象過點(diǎn)和，則（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)得，
則，
又過點(diǎn)得，即，.
故選:A
3. 已知i是虛數(shù)單位，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當(dāng)時(shí)，即，得，
而時(shí)，，推不出一定是，即推不出;
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B
4. 已知，為單位向量，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，為單位向量，若?br>得，即
所以，
解得：，又因?yàn)?，所?
故選:C
5. 的展開式中（即分子a的指數(shù)和分母b的指數(shù)相同）項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A. B. 15C. D. 20
【答案】B
【解析】通項(xiàng)公式，由可得，故，系數(shù)為.
故選:B
6. 若直線l與三次函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，則直線l （ ）
A. 經(jīng)過定點(diǎn)B. 不經(jīng)過定點(diǎn)
C. 斜率為定值D. 斜率可為任意實(shí)數(shù)
【答案】A
【解析】設(shè)這三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，由題意可得，
由于三次函數(shù)的圖像是中心對(duì)稱圖形，由可知，為對(duì)稱中心，即直線l經(jīng)過定點(diǎn)是三次函數(shù)的對(duì)稱中心.
故選:A．
7. 小張同學(xué)將一塊棱長為正方體形狀橡皮泥重新捏成一個(gè)正四面體（過程中橡皮泥無損失），則該四面體外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)正四面體的棱長為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，
設(shè)正四面體如圖，F(xiàn)為為底面的中心，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，
O為正四面體外接球的球心，則為四面體的高，O在上，
則，則，
即得，所以，
又設(shè)正四面體外接球的半徑R，則，即，
即得，故外接球體積為，
故選：C．
8. 已知函數(shù)，都有，若恰好有4個(gè)點(diǎn)同在一個(gè)圓心在x軸上半徑為的圓內(nèi)，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由題意可得：，
因?yàn)槎加校?br>所以這4個(gè)點(diǎn)為的最值點(diǎn)，
由恰好有4個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，可得，解得，
所以的取值范圍為.
故選：C．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
9. 在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則//平面
B. 若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則//平面
C. 若點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，則平面
D. 若點(diǎn)P為中點(diǎn)，則平面
【答案】AC
【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令,
則，，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，，顯然，
即平面，而平面，因此//平面，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，，顯然，
即與平面不平行，因此與平面不平行，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P為AC中點(diǎn)時(shí)，，，因此平面，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，，與不平行，因此不垂直于平面，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由已知得
，故A正確：
，故B正確；
，而，所以不成立，故C錯(cuò)誤；
，故D正確：
故選：ABD
11. 已知雙曲線上兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，分別為的左右頂點(diǎn)，若直線和交于點(diǎn)，則（ ）
A. 直線和的斜率之積為定值B. 直線和的斜率之積為定值
C. 點(diǎn)在橢圓上D. 面積的最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，則有，得到，又易知，
對(duì)于選項(xiàng)A，直線和的斜率之積為定值，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，直線和的斜率之積為定值，所以選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)點(diǎn)，直線，直線，
因?yàn)辄c(diǎn)為直線和的交點(diǎn)，
由，解得，
所以，
又，所以，故點(diǎn)在橢圓上，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C可知面積的，
所以，得到，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
12. 在的紅色表格中，有一只會(huì)染紅黃藍(lán)三種顏色的電子蛐蛐從A區(qū)域出發(fā)，每次跳動(dòng)都等可能的跳往相鄰區(qū)域，當(dāng)它落下時(shí)會(huì)將該區(qū)域染成新的顏色（既與該區(qū)域原來的顏色不同，也與蛐蛐起跳時(shí)區(qū)域的顏色不同）．記蛐蛐第跳后表格中的不同染色情況種數(shù)為，（第一次跳后有如圖四種情況，即），則（ ）
A. B. ，恒成立
C. 蛐蛐能將表格中的三塊染成藍(lán)色D. 蛐蛐能將表格中的四塊染成黃色
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，對(duì)第一個(gè)表格往左跳，區(qū)域染成藍(lán)色；或往下跳，區(qū)域染成藍(lán)色；
共兩種情況；其他表格亦如此，
，A正確；
對(duì)于B，表格最多不超過種不同的染色情況，不可能恒成立，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,若蛐蛐按照如下順序跳，即可將三個(gè)區(qū)域染成藍(lán)色；
情況一：
情況二：
C正確；
對(duì)于D，三塊都是黃色也可能，但當(dāng)三塊染成黃色后，不可能第四塊還是黃色，因?yàn)橐推鹛鴷r(shí)區(qū)域不一樣，D錯(cuò)誤．
故選：AC．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，為前項(xiàng)和，若，，則______．
【答案】8
【解析】因?yàn)椋?，，得?br>于是，.
故答案為：8
14. 一臺(tái)放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側(cè)面抽象成如圖所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側(cè)邊AO與鍵盤所在面的側(cè)邊長BO均為，點(diǎn)P為眼睛所在位置，D為AO的中點(diǎn)，連接PD，當(dāng)時(shí)，稱點(diǎn)P為“黃金視角點(diǎn)”，作，垂足C在OB的延長線上，當(dāng)，時(shí)，______cm．
【答案】
【解析】過O作交DP于M，過M作交PC于C，
則，，，
于是(cm)．
故答案為：．
15. 將正整數(shù)由小到大排列，從中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)在前面，一個(gè)在后面的概率為，則______．
【答案】4或7
【解析】由題意，整理得到
解得或7，
故答案為：4或7．
16. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線皆過點(diǎn)P，則橢圓和雙曲線離心率之比的取值范圍為______．
【答案】
【解析】由題意橢圓和雙曲線離心率之比．
令，設(shè)，則，因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，故，
又，所以．
故答案為：．
四、解答題：本題共6小題，共70分．
17. 已知為等比數(shù)列，前n項(xiàng)和，且，，，成等差數(shù)列．
（1）求和；
（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又，即，
可列出方程，解得，
所以，
（2）由（1）得，所以，
．
18. 如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，，，N是線段PC中點(diǎn)，，．
（1）求點(diǎn)N到平面PAB的距離；．
（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐體積的大?。?br>解：（1）因?yàn)槠矫?平面所以,
因?yàn)椋?br>所以，
平面ABP，平面ABP，平面ABP，
所以點(diǎn)C到平面PAB的距離，
又因?yàn)锽N是線段PC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N到平面PAB的距離．
（2）解法一：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
，，，
所以，
又因?yàn)槠矫鍭PD，則，所以，
所以．
解法二：如圖，作NO垂直AC于O，取AD中點(diǎn)M，連結(jié)MO，MN，
易知是二面角余角，
所以中，，
所以，所以．
19. 在中，已知．
（1）若，求的值；
（2）已知中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．
解：（1）因?yàn)椋玫?，即?br>由平方關(guān)系得 ，整理得到，
解得或.
（2）因?yàn)?，得到?br>整理得到， 所以，
又，所以，得到，
又是的中點(diǎn)，所以，
又，得到，整理得到，
又，得到，
所以.
20. 已知點(diǎn)在橢圓：上，過右焦點(diǎn)的兩相互垂直的弦中點(diǎn)分別記為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)．
解：（1）由題意得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）若兩條弦分別與軸，軸平行，此時(shí)直線就是軸，故定點(diǎn)在軸上．

否則設(shè)過右焦點(diǎn)的直線記為：交橢圓于兩點(diǎn)，，
則，聯(lián)立方程組：，消去，得：
整理得：，
， ，
用代替，可得：，，
若，解得，：，
否則, ，
故：，
其中：令得：.
故直線過定點(diǎn).
21. 為豐富課余生活，某班組織了五子棋大賽．下表統(tǒng)計(jì)了該班學(xué)生近期課間與其他班學(xué)生的200場比賽的勝負(fù)與先后手列聯(lián)表（不記平局，單位：場）．最后甲乙兩人晉級(jí)決賽，決賽規(guī)則如下：五局三勝，沒有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交換先后手．已知甲先手勝乙的概率為后手勝乙的概率為．
（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為五子棋先后手與勝負(fù)有關(guān)聯(lián)？
（2）在甲第一局失敗的的條件下，求甲最終獲勝的概率．
附：
解：（1），
故可以認(rèn)為五子棋先后手與勝負(fù)有關(guān)聯(lián)．
（2）設(shè)事件A：甲第一局失敗；事件B：第一局甲先手；事件C：甲獲勝
；．
分兩種情況討論：
甲第一局先手且失敗，但最終獲勝：
共4局比賽：．
共5局比賽：
甲第一局后手且失敗，但最終獲勝：
共4局比賽：
共5局比賽：．
故甲在第一局失敗的情況下獲勝的概率．
綜上．
22. 已知函數(shù)，其中且．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．
（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，
易知，，
即得曲線在處的切線方程為．
（2）法一：因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以隨a增大而減小，當(dāng)時(shí)，，
下證充分性：
設(shè)，則，
顯然時(shí)，則此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以，即恒成立，
由，，
令，即，
設(shè)，，易知其對(duì)稱軸為，
且，即開口向上，對(duì)稱軸，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立．
法二：由題意可知，，
又由，
可知在上遞增，
且.
（i）當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)存在，使得，
即在上遞減，在上遞增，
所以
設(shè)，則，
顯然時(shí)，則此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以，即恒成立，
①當(dāng)時(shí)，令
，
所以可得．
②當(dāng)，
再令，
此時(shí)
，
所以可得．
（ii）當(dāng)時(shí)，即，則存在，使得，
則在上遞減，在上遞增，
所以，不成立．
綜上（i），（ii）知．先后手
勝負(fù)
合計(jì)
勝
負(fù)
先手
60
40
100
后手
40
60
100
合計(jì)
100
100
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828