浙江省紹興市諸暨市2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題（Word版附解析）

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諸暨市2021－2022學(xué)年第一學(xué)期期末考試試題高三數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題  共40分)一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，， 若，則（    ）A.  B.  C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】利用集合交的定義及包含關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，得或，即或.故選:C.2. 已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法得出，從而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)后可得結(jié)論．【詳解】∵，∴，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．故選：A．3. 下列四個(gè)周期函數(shù)中，與其它三個(gè)函數(shù)周期不一致的函數(shù)是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各自的特點(diǎn)，分別求出函數(shù)的周期即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，周期為；對(duì)于B，，周期為；對(duì)于C，，周期為；對(duì)于D，若周期為，則，，故的周期不是.故選：D4. “”是“”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】解兩個(gè)不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，解得，由得，解得，所以，“”是“”的充分必要條件.故選：C.5. 已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則（    ）A. 有最小值，無最大值 B. 有最小值，也有最大值C. 有最大值，無最小值 D. 無最大值，也無最小值【答案】A【解析】【分析】先畫出不等式組表示的可行域，由，得，作出直線，根據(jù)直線在軸上的截距的最值，來判斷目標(biāo)函數(shù)是否能取到最值【詳解】先畫出不等式組表示的可行域，由，得，作出直線，向上平移過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，則取得最小值，由于可行域向右無限延伸，所以無最大值，故選：A6. 如圖，圓、在第一象限，且與軸，直線均相切，則圓心、所在直線的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，則為銳角，由已知可得出，求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則為銳角，由已知可得，整理可得，因，解得.因此，直線的方程為.故選：B.7. 已知等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，若數(shù)列是等比數(shù)列，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，分、兩種情況討論，求出的表達(dá)式，結(jié)合已知條件可得出等式組，即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則.若，則，由題意可得，即，所以，，解得，不合乎題意；若，則，則，由題意可得，即，所以，，可得.故選：B.8. 如圖正方體中，，，則下列說法不正確的是（    ）A 時(shí)，平面平面B. 時(shí)，平面平面C. 面積最大時(shí)，D 面積最小時(shí)，【答案】D【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，取線段的中點(diǎn)，求出平面的法向量，利用空間向量法可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、、、、，，，所以，，，線段的中點(diǎn)為，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則.對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，若平面平面，則，則，解得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，若平面平面，則，即，解得，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，則，故，因?yàn)?/span>.因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，取最小值，則的面積最小，D錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，取最大值，則的面積最大，C對(duì).故選：D.9. 已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)（縱坐標(biāo)不為零），直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡為（    ）A. 平行直線 B. 圓的一部分C. 橢圓的一部分 D. 雙曲線的一部分【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，依題設(shè)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：，直線：，直線：，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，由，得，同理，，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，，所以線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)，所以中點(diǎn)軌跡為平行直線.故選:A.10. 已知，滿足，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題意以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可以判斷出，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.【詳解】解：又若，則不滿足條件，若、時(shí)， ，不滿足條件當(dāng)、時(shí)，成立；又因?yàn)?/span>函數(shù)的圖像恒在上方，設(shè)，，所以構(gòu)造函數(shù)，，令，（），且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故因此可知，所以在范圍內(nèi)單調(diào)遞增，故選：D第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）二.填空題（本大題有7個(gè)小題，單空題每題4分，多空題每題6分，共36分）11. 我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的直角三角形，若，則小正方形的面積是________.【答案】1【解析】【分析】設(shè)出小正方形邊長(zhǎng)，用勾股定理列出方程，求出小正方形的邊長(zhǎng)和面積.【詳解】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為，由勾股定理得：，解得：，故小正方形的面積為.故答案為：112. 已知展開式各項(xiàng)系數(shù)和為，則______；常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】    ①. 5；    ②. 5.【解析】【分析】空一：利用代入法進(jìn)行求解即可；空二：利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】空一：令，得；空二：二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，即常數(shù)項(xiàng)為：，故答案為：5；5.13. 已知函數(shù)，則______；若，則______.【答案】    ①. 1    ②. 【解析】【分析】代入函數(shù)解析式，求出，進(jìn)而求出，分類討論求解.【詳解】，則，當(dāng)，即時(shí)，，，則，無解；當(dāng)即時(shí)，，，則，解得：，符合要求；當(dāng)時(shí)，，，所以，解得：，符合要求，綜上：.故答案為：1，14. 已知拋物線，過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓被軸，軸截得的弦長(zhǎng)相等，則______.【答案】2【解析】【分析】求得直線方程為，與拋物線聯(lián)立得，設(shè)，的中點(diǎn)為，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由已知得圓心到軸，軸的距離相等，建立方程求解即可.【詳解】解：過點(diǎn)作斜率為的直線方程為，與拋物線聯(lián)立得，，設(shè)，的中點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)橐?/span>為直徑的圓被軸，軸截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓心到軸，軸的距離相等，所以，解得（舍去），故答案為：2.15. 體育館內(nèi)裝籃球的箱子中有4個(gè)新籃球和2個(gè)用過的舊籃球，三名運(yùn)動(dòng)員各自從箱子中隨機(jī)拿一個(gè)籃球進(jìn)行投籃訓(xùn)練，結(jié)束后三個(gè)籃球放回箱子中，此時(shí)箱子中用過的舊籃球個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，則______；隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望______.【答案】    ①. ##    ②. 4【解析】【分析】由于從箱子中任取3個(gè)球來用，用完后裝回箱子，此時(shí)箱子中舊球的個(gè)數(shù)為4，可知增加了2個(gè)舊球，從而可得取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球和1個(gè)舊球，進(jìn)而可求出，由題意可得，求出對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出【詳解】由題意可知當(dāng)箱子中的舊球?yàn)?/span>4個(gè)時(shí)，則可得取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球和1個(gè)舊球，所以,由題意可得，則，，所以，故答案為：，416. 已知的三個(gè)角所對(duì)的邊為，若，為邊上一點(diǎn)，且，若,則面積的最大值為______；若，則的最小值為______.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】由三角形面積公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)恒等變換，即可求解；設(shè)，則，則由可以推得，再利用面積公式可以解出，從而根據(jù)，可以推出，最后利用基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)，則，由題意得，，由于，，所以，即，整理得，，又，所以，由得，，所以，由于，所以，故，當(dāng)，即時(shí)，，則的面積取得最大值為.（2）設(shè)，則，，，即，化簡(jiǎn)得,即，故，又，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.故答案為:，.17. 已知向量，，，則________.【答案】【解析】【分析】先通過數(shù)學(xué)歸納法證明出，然后代入式子中，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和計(jì)算.【詳解】，，歸納出，，接下來用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，滿足題意；假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故， 其中所以故答案為：三、解答題（本大題有5個(gè)小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及其余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)，即為，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求其單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）利用正弦的二倍角公式及其輔助角公式化簡(jiǎn)，即為，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域即可.小問1詳解】∵∴，即所求單調(diào)遞增區(qū)間為：；【小問2詳解】 ，其中 ，即.19. 在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的通項(xiàng)公式，利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）分析可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)的表達(dá)式，利用分組求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?/span>，所以（舍去），所以，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，①得，②①②得：，所以，，也滿足，所以，對(duì)任意的，.【小問2詳解】解：令，則，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，，故當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，.綜上所述，.20. 如圖，三棱臺(tái)，平面平面，側(cè)面是等腰梯形，, 分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、三棱錐等積性、線面角的定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】證明：連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以由棱臺(tái)的性質(zhì)可知：，且，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，因此，因此四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)， 所以，而平面，平面，所以平面；【小問2詳解】因?yàn)?/span>,所以與平面所成角即為所求角， 取中點(diǎn),連接，因?yàn)?/span>又因?yàn)?/span>，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，,所以平面，所以中，平行四邊形中: 平行四邊形中: 中： ，所以到平面的距離，又因?yàn)?/span>，即 ；21. 如圖，橢圓的離心率為，上的點(diǎn)到直線的最短距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過上的動(dòng)點(diǎn)向橢圓作兩條切線、，交軸于，交軸于，交軸于，交軸于，記的面積為，的面積為，求的最小值.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）由已知條件求出、的值，即可得出所求橢圓的方程；（2）設(shè)、的方程分別為、，分析可知、是關(guān)于的的兩根，利用韋達(dá)定理可得出關(guān)于的表達(dá)式，令，利用基本不等式可求得的最小值.【小問1詳解】解：由題意知：，所以，即所求橢圓方程為.【小問2詳解】解：設(shè)、的方程分別為、，則，，，，，①聯(lián)立，可得，，化簡(jiǎn)得，顯然，、是關(guān)于的的兩根.故，，則，即代入①式得，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．22. 已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且.（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：.【答案】（1）；    （2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方程；（2）（i）求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）分析可知，，將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，分、兩種情況討論，在時(shí)，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立，在時(shí)，通過構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，因此，在處的切線方程為.小問2詳解】解：（i），令，則，令，則對(duì)任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則，解得.（ii）令，，，由（i）可知，，只需證，即證：，當(dāng)時(shí)，，得證；當(dāng)時(shí)，先證：，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上遞增，在上遞減，所以，得證，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，則，記與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，則，，則，又，，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).