一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故選：A
2. 若集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以．
故選：C
3. 某咖啡店門前有一個(gè)臨時(shí)停車位，小轎車在此停車時(shí)長超過10分鐘就會(huì)被貼罰單．某顧客將小轎車停在該車位后，來到該咖啡店消費(fèi)，忽略該顧客從車內(nèi)到咖啡店以及以從咖啡店回到車內(nèi)的時(shí)間，若該顧客上午10：02到達(dá)咖啡店內(nèi)，他將在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開咖啡店回到車內(nèi)，則他的車不會(huì)被貼罰單的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】他在當(dāng)天上午10：08至上午10：15的任意時(shí)刻離開咖啡店回到車內(nèi)，
其中在10：08至上午10：12的任意時(shí)刻離開咖啡店回到車內(nèi)，他的車不會(huì)被貼罰單，
故由幾何概型可知他的車不會(huì)被貼罰單的概率為．
故選：C
4. 若某圓錐的底面半徑，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】設(shè)該圓錐的高為，依題意有，則，
解得.
故選：A
5. 蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)．利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可以求大數(shù)的位數(shù)．已知，則是（ ）
A. 9位數(shù)B. 10位數(shù)C. 11位數(shù)D. 12位數(shù)
【答案】B
【解析】記，則，
則，則，
故是10位數(shù)．
故選：B
6. 已知向量，滿足，，且，則（ ）
A. 5B. C. 10D.
【答案】C
【解析】由題意可知，且，
則，，
所以．
故選：C
7. 在梯形中，，是邊長為3的正三角形，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因?yàn)槭沁呴L為3的正三角形，
所以，
又，所以，
由正弦定理得，
則．
故選：B
8. 設(shè)滿足約束條件，其中，若的最大值為10，則的值為（ ）
A. -2B. -3C. -4D. -5
【答案】A
【解析】作出可行域，如圖所示，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為，解得．
故選：A
9. 若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且是大于的最小正數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，得．
又是大于的最小正數(shù)，所以，
所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．
故選：C
10. 已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】依題意作出的大致圖象，如圖所示，

令，得，
當(dāng)時(shí)，，
又時(shí)，，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，所以時(shí)，，又奇函數(shù)，
所以由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，從而有5個(gè)零點(diǎn)，
故選：D.
11. 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，?br>所以，且，
所以
，
設(shè)，則，
所以的離心率
．
故選：D
12. 若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
設(shè)函數(shù)，則，所以單調(diào)遞增，所以，
即，
因?yàn)?，所以?br>即.
故選：D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．
13. 若，則_____________．
【答案】
【解析】由題意可得：．
故答案為：.
14. 某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有_________種.
【答案】60
【解析】由題意可知涼菜選擇方案共有種，飲品選擇方案共有種，
因此該套餐的供餐方案共有種.
故答案為：60
15. 在長方體中，，側(cè)面的面積為6，與底面所成角的正切值為，則該長方體外接球的表面積為____________．
【答案】
【解析】在長方體中，因?yàn)閭?cè)面的面積為6，
所以，
因?yàn)榕c底面所成角的正切值為，
所以，結(jié)合，可得，
所以該長方體外接球的半徑為，
表面積．
故答案為：
16. 過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為_______________，此時(shí)，________________．
【答案】 ；
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)，

則，有，
又，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，
此時(shí)．
故答案為：；.
三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17. 在等差數(shù)列中，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）設(shè)的公差為，則，
解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
18. 已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.
（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；
（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取（為正整數(shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.
解：（1）由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，
所以，
則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.
（2）因?yàn)?，所以?br>依題意可得，所以，
因?yàn)椋裕?br>又為正整數(shù)，所以的最小值為2001.
19. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，是邊長為2的正三角形，且．
（1）求的長；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）取的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，
所以，
又平面平面，且平面平面，平面,
所以平面，則．
又，所以平面，則．
因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以?br>則，故，即，解得．
（2）取線段的中點(diǎn)，連接．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，得，
設(shè)平面的法向量為，
則，即
令，得，
所以，
由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為．
20. 已知橢圓的長軸為線段，短軸為線段，四邊形的面積為4，且的焦距為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且的面積小于，求的取值范圍．
解：（1）由題意可得，解得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)，聯(lián)立方程組，
整理得，
則，即，
，
所以，
則的面積，
得，又，（由三點(diǎn)不共線可得），
所以的取值范圍是．
21. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)性.
（2）是否存在兩個(gè)正整數(shù)，，使得當(dāng)時(shí)，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，令，得.
，，則在上單調(diào)遞增，
，，則在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）知，令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.
因?yàn)?，所以，即?br>即，
因?yàn)椋瑸檎麛?shù)，所以.
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，，所以，這與矛盾，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以?br>所以，得，即.
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時(shí)，不符合題意，
當(dāng)，時(shí)，符合題意，
當(dāng)，時(shí)，因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，，
所以.
綜上，僅存在，滿足條件.
（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生從第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．
22. 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．
（1）求的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，為曲線上任意一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程．
解：（1）由，得，
則，
所以，所以的直角坐標(biāo)方程為；
（2）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，
所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．
設(shè)，則，得，
因?yàn)樵谇€上，所以，所以，
即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程為．
23. 已知．
（1）若，證明與中至少有一個(gè)小于0；
（2）若均為正數(shù)，求的最小值．
證明：（1）假設(shè)與中沒有一個(gè)小于0，即，
因?yàn)椋裕?br>這與矛盾，所以假設(shè)不成立，
所以與中至少有一個(gè)小于0；
解：（2），
因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以由柯西不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為．

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