1. 在式子：，，，，中，分式的個數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的定義，對應兩個整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：在式子：，，，，中，分式有，，，共3個，
故選：C．
2. 下列命題中，是真命題的為（ ）
A. 如果a＞b，那么|a|＞|b|B. 一個角的補角大于這個角
C. 平方后等于4的數(shù)是2D. 直角三角形的兩個銳角互余
【答案】D
【解析】
【詳解】當b＜a＜0時，|a|＜|b|；當a、b互為相反數(shù)，且a＞0，b＜0時，|a|=|b|，故A選項錯誤；
當一個角為鈍角時，這個角的補角小于這個角；當一個角為直角時，這個角的補角等于這個角，故B選項錯誤；
平方后等于4的數(shù)是2或－2，故C選項錯誤；
直角三角形的兩個銳角互余，故D選項正確.
故選D.
3. 下列各式變形正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)或者同一個不為零的整式，分式的值不變，可得答案．
【詳解】A、原式，所以A選項錯誤；
B、原式=，所以B選項錯誤；
C、原式=，所以C選項錯誤；
D、，所以D選項正確．
故選D．
【點睛】本題考查了分式基本性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)或者同一個不為零的整式，分式的值不變．
4. 在下列各組的條件中，不能判定和全等的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法：，還有直角三角形的，是解題的關(guān)鍵．利用全等三角形的判定方法逐一進行判斷．
【詳解】解：如圖，
A、由，，，利用即可證明和全等；
B、由，，，利用即可證明和全等；
C、由，，，利用即可證明和全等；
D、由，，無法證明和全等，
故選：D．
5. 已知，，那么的值為（ ）
A. 2B. C. 7D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查分式的加減法，乘法運算，平方差公式的應用．先計算出，將變形為，再整體代入計算即可．
【詳解】解：，，
，
，
故選：B．
6. 如果把分式中的x和y都擴大3倍，那么分式的值（ ）
A. 擴大3倍B. 縮小3倍C. 縮小6倍D. 不變
【答案】D
【解析】
【分析】將x，y用3x，3y代入化簡，與原式比較即可．
【詳解】解：將x，y用3x，3y代入得
故分式的值不變．
故選D．
【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟悉掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7. 計算：的結(jié)果為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了分式的混合運算，掌握分式混合運算的運算法則是解題的關(guān)鍵．原式利用除法法則變形，計算分式乘法，再計算加法即可得到結(jié)果．
【詳解】解：原式
，
故選：B．
8. 運動會上，初二（3）班啦啦隊，買了兩種價格的雪糕，其中甲種雪糕共花費40元，乙種雪糕共花費30元，甲種雪糕比乙種雪糕多20根．乙種雪糕價格是甲種雪糕價格的1.5倍，若設甲種雪糕的價格為x元，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若設甲種雪糕的價格為x元，根據(jù)等量關(guān)系“甲種雪糕比乙種雪糕多20根”可列方程求解．
【詳解】解：由題意可知：若設甲種雪糕的價格為x元，乙種雪糕價格是1.5x元，因為甲種雪糕比乙種雪糕多20根，
即甲種雪糕的根數(shù)-乙種雪糕的根數(shù)=20，甲種雪糕的根數(shù)為，乙種雪糕的根數(shù)為，所以列式為
故選B．
【點睛】考查了由實際問題抽象出分式方程，應用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據(jù)另一量來列等量關(guān)系的．本題分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
9. 如圖，D在上，E在上，且．補充下列一個條件后，仍無法判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴要使全等，只需要一組對應邊對應相等即可，
∴當或或時，，
當時，三組對應角相等，不能判定，
故選B．
【點睛】本題考查添加條件證明三角形全等．熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．注意不能判定三角形全等．
10. 若關(guān)于x的方程的解為，則a應取值（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的解及解分式方程，根據(jù)方程的解的定義，把代入方程，即可得到一個關(guān)于a的分式方程，求解檢驗即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
去分母得：，
解得：．
經(jīng)檢驗是原方程的解，
，
故選：A．
11. 下列各分式中與分式的值相等是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，知分式本身的符號、分子的符號、分母的符號中，只要改變其中兩個符號，則分式的值不變，根據(jù)這一性質(zhì)逐一分析．
【詳解】解：A、在改變分母的符號時，分母應為，所以該選項與原分式的值不相等，故此選項不符合題意；
B、在改變分母的符號時，分母應為，所以該選項與原分式的值不相等，故此選項不符合題意；
C、同時改變了分子和分母的符號，與原分式的值相等，故此選項符合題意；
D、同時改變了三個符號，所以該選項與原分式的值不相等，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】此題考查了分式的基本性質(zhì)，能夠熟練運用分式的基本性質(zhì)對分式中的符號進行改變．
12. 若關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ）
A. B. C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查分式方程有增根的情況下求參數(shù)，理解分式方程的增根情況是解題關(guān)鍵．先去分母化簡，然后根據(jù)題意得出，將其代入方程求解即可．
【詳解】解：
方程兩邊同乘以，得
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入，得，
故選：B．
13. 如圖，已知AC和BD相交于O點，AD∥BC，AD＝BC，過點O任作一條直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論：①OA＝OC；②OE＝OF；③AE＝CF；④OB＝OD，其中成立的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件可得△AOD≌△CBO，△AOE≌△COF，根據(jù)這些三角形全等可以得出這四個結(jié)論.
【詳解】解：∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
又∵AD=BC，
∴△ADO≌△CBO，
∴OA=OC，OB=OD，
而∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，AE=CF．
故選：D．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與全等的性質(zhì)；題目的難點在于根據(jù)前面得到的條件得到△AOE≌△COF，做題時，要結(jié)合已知條件與全等的判定方法對選項逐一驗證．
14. 已知，則的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了分式的化簡求值，整體代入是解題的關(guān)鍵．
由已知可以得到，把這個式子代入所要求的式子，化簡就得到所求式子的值．
【詳解】解：已知，可以得到，
即，
則原式，
故選：D．
15. 如圖，為的角平分線，且，為延長線上的一點，，過作，為垂足．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（ ）

A ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】易證，可得，可得①②正確，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，即③正確，根據(jù)③可求得④正確．
【詳解】解：為的角平分線，
，
在和中，
，
，①正確；
，
，
，
，
，
，②正確，
，
，
，
，
，
，③正確；
過作，交的延長線于點，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，④正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的對應邊、對應角相等的性質(zhì)，本題中熟練求證三角形全等和全等三角形對邊角、對應邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16. 如果關(guān)于x的分式方程有負分數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組的解集為x＜-2，那么符合條件的所有整數(shù)a的積是 （ ）
A. -3B. 0C. 3D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】把a看作已知數(shù)表示出不等式的解集，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將a的整數(shù)解代入整式方程，檢驗分式方程解為負分數(shù)確定出所有a的值，即可求出之積．
【詳解】解：，
由①得：x≤2a＋4，
由②得：x＜?2，
由不等式組的解集為x＜?2，得到2a＋4≥?2，即a≥?3，
分式方程去分母得：a?3x?3＝1?x，
把a＝?3代入整式方程得：?3x?6＝1?x，即x＝?，符合題意；
把a＝?2代入整式方程得：?3x?5＝1?x，即x＝?3，不合題意；
把a＝?1代入整式方程得：?3x?4＝1?x，即x＝?，符合題意；
把a＝0代入整式方程得：?3x?3＝1?x，即x＝?2，不合題意；
把a＝1代入整式方程得：?3x?2＝1?x，即x＝?，符合題意；
把a＝2代入整式方程得：?3x?1＝1?x，即x＝?1，不合題意；
把a＝3代入整式方程得：?3x＝1?x，即x＝?，符合題意；
∴符合條件的整數(shù)a的取值為?3，?1，1，3，它們的積為9，
故選：D．
【點睛】此題考查了解一元一次不等式組以及解分式方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
二、填空題
17. 把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）， 如圖，若測得AB＝5厘米，則槽寬為_________厘米．
【答案】5
【解析】
【分析】連接，，設為和的中點，且即可判定，即可求得的長度．
【詳解】解：連接，，設為和的中點，
，，
，
即，
故（厘米），
故答案為：5．
【點睛】本題考查了全等三角形在實際生活中的應用，考查了全等三角形的證明和對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關(guān)鍵．
18. 在中，，則邊上的中線的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊的不等關(guān)系；延長至E，使，連接，證明，再由三角形三邊不等關(guān)系即可求解．倍長中線是關(guān)鍵．
【詳解】解：延長至E，使，連接．
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
即，
故．
故答案為：．

19. 已知：，則________．
【答案】
【解析】
【分析】將方程兩邊同時除以字母x，把整式方程化為分式方程，再結(jié)合完全平方公式及其變式即可求解．
【詳解】解：將方程兩邊同時除以字母x得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查完全平方公式及其變式，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
20. 如圖，已知等邊三角形中，，與交于點，則_______．

【答案】60
【解析】
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由證明得到，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即可得解．
【詳解】解：是等邊三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故答案為：60．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共6題）
21. 解下列分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）無解 （2）
【解析】
【分析】（1）方程兩邊同時乘以，即可把方程轉(zhuǎn)化成整式方程，求得的值，然后進行檢驗即可求解；
（2）方程兩邊同時乘以，即可把方程轉(zhuǎn)化成整式方程，求得的值，然后進行檢驗即可求解．
【小問1詳解】
解：去分母得：，
解得：，
檢驗：把代入得：，
原分式方程無解；
【小問2詳解】
解：方程兩邊同時乘以得：，
解得：，
檢驗：當時，，
則方程的解是：．
【點睛】本題主要考查了分式方程的解法，解方程需要注意：
（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要驗根．
（3）去分母時要注意符號的變化．
22. 如圖，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求證：
（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AEC=∠ABF，設AB、CE相交于點D，根據(jù)∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠BMD=90°，從而得證．
【小問1詳解】
∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
【小問2詳解】
如圖，設AB交CE于D
根據(jù)（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
所以EC⊥BF．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用“8字型”證明角相等．
23. 先化簡代數(shù)式，再從-2，，三個數(shù)中選一個恰當?shù)臄?shù)作為的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件確定的值，將字母的值代入求解．
【詳解】解：
，
∵，，
∴當時，原式
【點睛】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行求解．
24. 如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
【答案】（1）見解析（2）成立
【解析】
【分析】（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB和△CFD全等，從而證出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因為DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．
【詳解】解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【點睛】本題考查了以下內(nèi)容：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用全等三角形的性質(zhì)與判定．
25. 荷花文化節(jié)前夕，我市對觀光路工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書，甲、乙施工一天的工程費用分別為萬元和萬元，市政局根據(jù)甲乙兩隊的投標書測算，應有三種施工方案：
①甲隊單獨做這項工程剛好如期完成．
②乙隊單獨做這項工程，要比規(guī)定日期多5天．
③若甲、乙兩隊合作4天后，余下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完成．求：
（1）甲乙單獨完成這項工程各需多少天？
（2）在確保如期完成的情況下，你認為哪種方案最節(jié)省工程款，通過計算說明理由．
【答案】（1）甲隊單獨完成需要20天，，乙隊單獨完成需要25天；
（2）方案③最省錢
【解析】
【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，有理數(shù)乘法的實際應用：
（1）設工程期為x天，則甲隊單獨完成用x天，乙隊單獨完成用天，把工作總量看做單位1，根據(jù)甲、乙兩隊合作4天后，余下的工程由乙隊單獨做，也正好如期完成列出方程求解即可；
（2）根據(jù)（1）所求分別求出對應方案的費用，比較即可得到結(jié)論．
小問1詳解】
解：設工程期為x天，則甲隊單獨完成用x天，乙隊單獨完成用天，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：甲隊單獨完成需要20天，乙隊單獨完成需要25天；
【小問2詳解】
解：方案①的費用為萬元，
方案②的費用為萬元，但是此種方案耽誤工期，不符合題意；
方案③的費用為萬元，
∵，
∴方案③最省錢．
26. 數(shù)學模型學習與應用：
（1）學習：如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于點C，DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通過推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC＝ ，BC＝ ．我們把這個數(shù)學模型稱為“一線三等角”模型．
（2）應用：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點D，A，E都在直線l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若DE＝a，BD＝b，求CE的長度（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（3）拓展：如圖3，在（2）的條件下，若α＝120°，且△ACF是等邊三角形，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．
【答案】（1）DE，AE；（2）CE＝a﹣b；（3）等邊三角形，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由“AAS”可證△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE；
（2）由“AAS”可證△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，即可求解；
（3）由“SAS”可證△BDF≌△AEF，可得DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，可得結(jié)論．
詳解】解：（1）∵∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC＝DE，BC＝AE，
故答案為：DE，AE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
∵DE＝a，BD＝b，
∴CE＝DE﹣BD＝a﹣b；
（3）△DEF是等邊三角形，
理由如下：由（2）知：△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，
∵△ACF等邊三角形，
∴∠CAF＝60°，AB＝AF，
∴△ABF等邊三角形，
∴∠ABD+∠ABD＝∠CAE+∠CAF，
即∠DBF＝∠FAE，
在△BDF和△AEF中，
，
∴△BDF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，
∴△DEF是等邊三角形．

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