中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納訓(xùn)練專(zhuān)題17 相似（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型演練
題型一比例的性質(zhì)
1．若，則下列式子正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】A、∵，∴，故A不符合題意；
B、∵，∴，故B符合題意；
C、∵，∴，故C不符合題意；
D、∵，∴，故D不符合題意；
故選：B
2．已知，則把它改寫(xiě)成比例式后，正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：，
，，
故選：B．
3．若，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：，
．
故選：A．
4．已知，且，則b的值為_(kāi)_____．
【答案】4
【詳解】∵，
∴設(shè)，，
∴
∴，
∴，
故答案為：4
5．已知，則______．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
題型二成比例線段
6．下列各組線段中，成比例的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】解：A、由于，所以不成比例，不符合題意；
B、由于，所以不成比例，不符合題意；
C、由于，所以不成比例，不符合題意；
D、由于，所以成比例，符合題意．
故選：D．
7．已知線段，，如果線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，那么（）
A．±3B．3C．4.5D．5
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：
比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．
則，
解得（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），
所以．
故選：B．
8．若四條線段a，b，c，d成比例，其中，則線段a的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：∵四條線段a、b、c、d成比例，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故選：A．
9．已知線段，線段，線段是線段，的比例中項(xiàng)，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____．
【答案】
【詳解】解：∵線段是線段，的比例中項(xiàng)，線段，線段，
∴，
∴，
故答案為：．
10．在比例尺為的某市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng)厘米，寬厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，則該園區(qū)的實(shí)際面積是______平方米．
【答案】
【詳解】解：在比例尺為的某市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng)厘米，寬厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，
實(shí)際的工業(yè)園區(qū)長(zhǎng)厘米，寬厘米，
該園區(qū)的實(shí)際面積是平方厘米，
1平方米平方厘米，
該園區(qū)的實(shí)際面積是平方米，
故答案為：．
題型三黃金分割
11．已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則下列等式成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：根據(jù)黃金分割的定義得；故選：D
12．下列說(shuō)法正確的是（）
A．兩地在地圖上的距離為7cm，地圖上的比例尺為，則兩地實(shí)際距離為35m
B．若cm，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則cm
C．任意兩個(gè)菱形都相似
D．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似
【答案】B
【詳解】解：A. m，故A說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B. 點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn), 且，則，
設(shè)，則，解得或（舍去），故B說(shuō)法正確，符合題意；
C.當(dāng)兩個(gè)菱形的角度不等時(shí)，不相似，故C說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D.若兩個(gè)等腰三角形一個(gè)是頂角，一個(gè)是底角，則不是相似的，故D說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
13．若線段，C是的黃金分割點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：∵線段，C是的黃金分割點(diǎn)，且，
∴根據(jù)黃金分割的概念得：，
∴．
故選B．
14．已知線段，是線段的黃金分割點(diǎn)，則________．
【答案】
【詳解】解：∵是線段的黃金分割點(diǎn)，
∴．
故答案為：．
15．古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是，著名的“斷臂維納斯”便是如此．若某人滿(mǎn)足上述黃金分割比例，且身高為178cm，則其肚臍至足底的長(zhǎng)度可能是______cm（保留根號(hào)）．
【答案】
【詳解】設(shè)此人的肚臍到足底的長(zhǎng)度為x cm，由題意，則有
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解且符合題意，
故答案為：
題型四相似多邊形及性質(zhì)
16．下列敘述正確的是（）
A．任意兩個(gè)等腰三角形相似B．任意兩個(gè)平行四邊形相似
C．任意兩個(gè)矩形相似D．任意兩個(gè)正方形相似
【答案】D
【詳解】解： A、任意兩個(gè)等腰三角形不一定滿(mǎn)足三邊對(duì)應(yīng)成比例，三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；
B、任意兩個(gè)平行四邊形不一定滿(mǎn)足邊對(duì)應(yīng)成比例，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；
C、任意兩個(gè)矩形不一定滿(mǎn)足邊對(duì)應(yīng)成比例，不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；
D、任意兩個(gè)兩個(gè)正方形滿(mǎn)足相似圖形的定義，故選項(xiàng)符合題意．
故選D．
17．如圖所示的兩個(gè)五邊形相似，則以下，，，的值錯(cuò)誤的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：兩個(gè)五邊形相似，
，
，，，．
故選：D．
18．一個(gè)面積為的四邊形，它的位似圖形為四邊形，位似中心為，若，則四邊形的面積為（）
A．B．
C．或D．以上都不對(duì)
【答案】C
【詳解】解：由題可知四邊形的相似比為或，
四邊形的面積之比等于相似比的平方，且四邊形的面積為，
四邊形的面積為或．
故選：C．
19．一個(gè)六邊形的六邊長(zhǎng)分別為3，4，5，6，7，8，另一個(gè)與其相似的六邊形的周長(zhǎng)為66，則與其相似的六邊形的最短邊為_(kāi)_______．
【答案】6
【詳解】設(shè)另一個(gè)與它相似的六邊形的最短邊為，
由題意，得：，
整理得：，
解得：，
故答案為： 6．
20．如圖，在矩形中，，．點(diǎn)在矩形的邊上，連接，將矩形沿翻折，翻折后的點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到矩形．若矩形與原矩形相似，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【詳解】矩形矩形，
∴，即，
整理得，，
解得，（舍去），，
故答案為：．
題型五平行線分線段成比例定理的應(yīng)用
21．如圖，已知，，，那么的長(zhǎng)為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：，
，
即，
，
故選：B．
22．如圖，在中，D，E分別是上的點(diǎn)．且．若，，則的長(zhǎng)是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故選：D．
23．如圖，與相交于點(diǎn)O，，若，則的長(zhǎng)為（）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【詳解】解：∵與相交于點(diǎn)O，，
∴，
∵，＝8，
∴，
∴＝6，
∴．
故選：C．
24．如圖，直線，若，，，則____________．
【答案】
【詳解】解：∵直線，
∴，即：
解得：，
∴，
故答案為：．
25．如圖，D是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，直線分別交于點(diǎn)E、F．若，則=______．
【答案】
【詳解】解：作交于點(diǎn)G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
題型六證明兩三角形相似
26．如圖，在中，，，，相交于點(diǎn)，則圖中與相似的三角形有（）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】C
【詳解】解：∵，
∽，∽，
∵，
∽，
∽，
故選：．
27．下列四組條件中，能識(shí)別與相似的是（）
A．，；，
B．，，，，，
C．，，，，，
D．，；，
【答案】C
【詳解】解：A不正確：
∵，；，，
∴，，
∴不相似；
B不正確：
∵與不是邊，與，的夾角，
∴不相似；
C相似：
∵，，，，，，
∴，，
∴相似；
D不相似：
∵不是，的夾角，是邊與的夾角，
∴不相似．
故選：C．
28．如圖，已知與，下列條件一定能推得它們相似的是（）
A．B．
C． D．
【答案】A
【詳解】A選項(xiàng)符合判定方法（4），符合題意．
B選項(xiàng)相等的角不是對(duì)應(yīng)邊的夾角，不符合題意．
C選項(xiàng)相等的角不是對(duì)應(yīng)角，不符合題意．
D選項(xiàng)相等的角不是對(duì)應(yīng)角，不符合題意．
29．如圖，∥，∥，與交于點(diǎn)G，則圖中相似三角形共有_______對(duì)．
【答案】3
【詳解】圖中三角形有：，，，
∵，
∴
共有3個(gè)組合分別為：∴，，
故答案為：3．
30．如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC=20°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當(dāng)α=______時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．
【答案】50、70或160
【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE交BC于點(diǎn)F，連接OC，
是的直徑，
故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．
如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE與BC交于點(diǎn)F，連接OC，
是的直徑，
故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．
如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)到時(shí)，DE與AC交于點(diǎn)F，連接OC，
是的直徑，
故當(dāng)時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．
故答案為：50、70或160．
31．如圖，點(diǎn)C，P均在上，且分布在直徑的兩側(cè)，于點(diǎn)E．
(1)求證：．
(2)若，求的長(zhǎng)．
【詳解】（1）∵是的直徑，，
，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
32．如圖，已知點(diǎn)在△的外部，，點(diǎn)在邊上，．
(1)求證：；
(2)在邊取一點(diǎn)，如果，，求證：．
【詳解】（1）∵，
∴
∵，
∴ ，
∴，
∴．
（2）由（1）得
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴，
33．如圖，在和中，，．
(1)和相似嗎？為什么？
(2)如果，則成立，據(jù)此你能說(shuō)明和相似嗎？
【詳解】（1）解：，
∴，
，
，
；
（2）解： ∵，
∴，
∴，
，，
．
題型七利用相似三角形的性質(zhì)求解
34．若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比是，則它們的周長(zhǎng)比是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比是，
∴它們的相似比為
∴它們的周長(zhǎng)比為．
故選：B．
35．如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，且，若：：，則：的值是（）
A．：B．：C．：D．：
【答案】B
【詳解】解：：：，
：：，
，
∽，
．
故選：B．
36．已知中，，，，分別為直線，上的點(diǎn)，且，若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則_____．
【答案】或
【詳解】解：如圖，
，，,
當(dāng)時(shí)，
即
解得
當(dāng)時(shí)，
即
解得
故答案為：或
37．如圖，電燈P在橫桿的正上方，在燈光下的影子為，，
橫桿與的距離是3m，則P到的距離是___________m．
【答案】1.5
【詳解】作于E，交于F，如圖，
∵，
設(shè)，則
得
即P點(diǎn)到的距離是1.5m.
故答案為：1.5
38．如圖，，，．
(1)求的長(zhǎng)．
(2)若平分，求的長(zhǎng)．
【詳解】（1）解：∵，，，
∴，，即，
∴．
（2）∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
39．如圖所示，在平行四邊形中，是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接與，，分別交于點(diǎn)，．
(1)若的面積為3，求平行四邊形的面積；
(2)求證．
【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
；
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
平行四邊形的面積為：；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
，
．
題型八利用相似三角形求坐標(biāo)
40．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（－2，6）和（7，0）．將正方形OCDE沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上時(shí)，平移的距離為（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【詳解】解：如圖，設(shè)正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x軸向右平移后的正方形，
∵頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四邊形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴，
∴，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故選：C．
41．如圖，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（b，0）（b＞1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【詳解】∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P在直線y＝上，
①當(dāng)△PAO≌△PAB時(shí)，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，則P(1，)；
②∵當(dāng)△PAO∽△BAP時(shí)，PA：AB＝OA：PA，
∴PA2＝AB?OA，
∴＝b﹣1，
∴(b﹣8)2＝48，
解得 b＝8±4，
∴P(1，2+)或(1，2﹣)，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有3個(gè)，
故選D．
42．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，，，連接AB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，連接CO，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【詳解】解：設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，
則，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
43．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，，，是線段上一點(diǎn)，連接，若與相似，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】2或4
【詳解】如圖，
∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ，
∴ ，，，
；
∴是直角三角形
∵點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，0），
∽
∴
∴=1
∴
當(dāng)時(shí)，CM=2；當(dāng)時(shí)CM=4，
故答案為：2或4．
44．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸，x軸分別交于C，D兩點(diǎn)，
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E為反比例函數(shù)（x>0）上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)E作軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)
∴且
將，帶入直線
得：，
故一次函數(shù)為：．
（2）解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，點(diǎn)
則，
當(dāng)時(shí)
即：，解得：，（舍去）
∴點(diǎn)．
45．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C與與y軸相切，且點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），直線l過(guò)點(diǎn)A（-1，0），與⊙C相切于點(diǎn)D．
（1）求直線l的解析式．
（2）是否存在⊙P，使圓心P在x軸上，且與直線l相切，與⊙C外切？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出圓心P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【詳解】解：（1）連接CD
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，0），A（-1，0）
∴AC=1－（-1）=2，OA=OC=1
∵⊙C與y軸相切，直線l與⊙C相切于點(diǎn)D
∴CD=OC=1，∠CDA=90°
∴sin∠CAD=
∴∠CAD=30°
在Rt△AOB中，OB=OA·tan∠OAB=
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，）
設(shè)直線l的解析式為y=kx＋b
將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，得
解得：
∴直線l的解析式為y=x＋；
（2）當(dāng)⊙P在⊙C左側(cè)時(shí)，則⊙P與⊙C外切于點(diǎn)O，與直線l相切于點(diǎn)E，連接PE，設(shè)⊙P的半徑為r
∴∠AEP=∠ADC=90°，OP=PE=r，AP=OA－OP=1－r，
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴
即
解得：r=
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；
當(dāng)⊙P在⊙C右側(cè)時(shí)，則⊙P與⊙C外切于F，與直線l相切于點(diǎn)E，連接PE，設(shè)⊙P的半徑為r
∴∠AEP=∠ADC=90°，PF=PE=r，AP=OA＋OF＋PF=1＋2＋r=3＋r，
∵∠EAP=∠DAC
∴△AEP∽△ADC
∴
即
解得：r=3
∴OP=OF＋PF=5
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）
綜上：存在，圓心P的坐標(biāo)為（，0）或（5，0）．
題型九相似三角形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用
46．如圖，為的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且，的面積為4，則的面積為（）
A．34B．27C．30D．32
【答案】C
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面積為4，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故選：C
47．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，連接DE，若，且，則的值為（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
48．如圖，交于點(diǎn)C，，若，則_____．
【答案】2
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案為：2
49．如圖，在矩形中，，，B為中點(diǎn)，連接．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)沿邊向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接，，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．則______時(shí)，為直角三角形．
【答案】或8
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)，
由勾股定理可求：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
當(dāng)，
由題意知：此情況不存在，
綜上所述，為直角三角形時(shí)，或8，
故答案為：或8．
50．如圖，在矩形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接，若，
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是矩形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
51．如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊上動(dòng)點(diǎn)(不與重合)．連接過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)連接，試探究當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，，請(qǐng)證明你的結(jié)論．
(3)若，求BF的最大值．
【詳解】（1）四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）點(diǎn)在中點(diǎn)位置時(shí)，，證明如下：
如圖，連接，延長(zhǎng)于的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，
為中點(diǎn)，
，
四邊形是正方形，
，
，
在和中，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)位置時(shí)，．
（3）解：∵四邊形是正方形，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，即
∴，
在中，，
∴要使最大，則要使最大，
∵，
∴，
∴．
52．如圖1，和都是等腰直角三角形，，且點(diǎn)A是上的點(diǎn)（點(diǎn)A不與點(diǎn)D，E重合），過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，連接．
(1)求證：；
(2)若，求的長(zhǎng)；
(3)如圖2，若，求的值．
【詳解】（1）
，
，
，
（2）
，
，
，
∴=，
，
∵，
∴；
（3）如圖2，
作于P，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，
，
=
=
=﹣1．
53．如圖，已知，若三點(diǎn)共線，線段與交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，，的面積為，求的面積．
【詳解】（1）證明：，
，
，即，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
54．如圖，在中，，，
(1)求證：；
(2)若，，求線段的長(zhǎng)；
(3)若，時(shí)，四邊形的面積是______．
【詳解】（1）解：證明：∵在中，，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴
∴；
（3）∵，，
∴相似比為
∴，
∵，
∴，
∵，相似比為，
∴面積之比為，
∴，
∴．
55．在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，．
(1)圖1中陰影部分的面積與的面積比為_(kāi)_____；
(2)若將固定不動(dòng)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)線段，射線分別與射線交于點(diǎn)M，N．
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，求證：∽；
②如圖2，若，求的長(zhǎng)；
③在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含d的式子表示）．
【詳解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形，
∴，，
∴∽，
∴，
∴陰影部分的面積與的面積比為，
故答案為：．
（2）解：①證明：∵，，
∴∽；
②解：在中，，，
則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴，即,
解得：；
③解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，
由②可知：∽，
∴，即
解得：，
∴，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，
綜上所述：的長(zhǎng)為或．
56．如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P從A出發(fā)沿向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位；點(diǎn)Q從O出發(fā)沿向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)C，使以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形與全等？請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出此時(shí)t的值；
(3)是否存在t，使為等腰三角形？若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【詳解】（1）如圖所示，
當(dāng)時(shí)，，
∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，，
∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，，
∴根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
∴綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，或時(shí)，以O(shè)，A，C為頂點(diǎn)的三角形與全等；
（2）∵
∴，
，，
分兩種情況討論：
①如果∽，則，
，解得
②如果∽，則，
，解得
故當(dāng)或時(shí)，以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似；
（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果，那么，解得：
②如果，如圖，過(guò)點(diǎn)P作于F，
則
在中，，
，
，
解得：
③如果，如圖，過(guò)點(diǎn)Q作于F，
則
在中，，
，
，解得：
綜上所述：當(dāng)或或時(shí)，為等腰三角形．
題型十位似圖形
57．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】∵與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，即，
故選：A．
58．如圖，與是位似圖形，相似比為，已知，則的長(zhǎng)為（）
A．4B．6C．9D．15
【答案】C
【詳解】∵與是位似圖形，相似比為1：3，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
59．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【詳解】解：點(diǎn)，相似比為，
∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，或者，即，
故選：．
60．如圖，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為，，，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_____
【答案】
【詳解】∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是，
∴
∵與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
作交于點(diǎn)E，
∵，
∴
∴
∴．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
故答案為：．
61．如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，分別為點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】10
【詳解】解：∵圖形甲與圖形乙是位似圖形，位似比為，
∴，即，
解得：．
故答案為：10．
62．如圖，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
(1)以點(diǎn)M為位似中心，位似比為3，將放大，在第二象限得到，畫(huà)出；
(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）解：如圖，，．
63．如圖，小明在學(xué)習(xí)《位似》時(shí)，利用幾何畫(huà)板軟件，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了的位似圖形．
(1)在圖中標(biāo)出與的位似中心點(diǎn)M的位置，并直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)若以點(diǎn)O為位似中心，請(qǐng)你幫小明在圖中畫(huà)出的位似圖形，且與的相似比為2（只畫(huà)出一個(gè)三角形即可）．
【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)M為所作，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：如圖，為所作．

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