第5課時　函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
考點一　函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性[典例1]　(1)(2024·浙江金華期中)已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x1，x2∈R，當(dāng)x1＜x2時，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，則關(guān)于x的不等式f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集為(　　)A．(－3，1) 　　　　　　　　　　B．(－1，3)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)　　　　D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)(2)(多選)(2023·四省聯(lián)考)已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f (x)，g(x)在(－∞，0]上均單調(diào)遞減，則(　　)A．f (f (1))＜f (f (2))　B．f (g(1))＜f (g(2))C．g(f (1))＜g(f (2)) 　D．g(g(1))＜g(g(2))
(1)B　(2)BD　[(1)因為對任意x1，x2∈R，當(dāng)x1＜x2時，都有f (x1)－f (x2)＜x1－x2，即f (x1)－x1＜f (x2)－x2，令g(x)＝f (x)－x，則g(x)在R上單調(diào)遞增，因為f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f (－2x－2)＝－f (2x＋2)，由f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3得f (x2－1)－(x2－1)＜－f (－2x－2)－(2x＋2)＝f (2x＋2)－(2x＋2)，即g(x2－1)＜g(2x＋2)，所以由g(x)的單調(diào)性得x2－1＜2x＋2，即x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，所以－1＜x＜3，即f (x2－1)＋f (－2x－2)＜x2－2x－3的解集為(－1，3)．故選B.(2)因為f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f (x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(x)在R上單調(diào)遞減，所以f (1)＜f (2)，g(0)＝0＞g(1)＞g(2)，所以f (g(1))＜f (g(2))，g(f (1))＞g(f (2))，g(g(1))＜g(g(2))，所以BD正確，C錯誤；若|f (1)|＞|f (2)|，則f (f (1))＞f (f (2))，A錯誤．故選BD.]
名師點評　1．比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?．對于抽象函數(shù)不等式的求解，先將不等式變形為f (x1)>f (x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f ”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解．
[跟進訓(xùn)練]1．(1)(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R的奇函數(shù)f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f (2)＝0，則滿足xf (x－1)≥0的x的取值范圍是(　　)A．[－1，1]∪[3，＋∞) 　B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) 　D．[－1，0]∪[1，3](2)(多選)定義在R上的奇函數(shù)f (x)為減函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象與f (x)的圖象重合，設(shè)a>b>0，則下列不等式中成立的是(　　)A．f (b)－f (－a)g(a)－g(－b)C．f (a)＋f (－b)g(b)－g(－a)
(1)D　(2)AC　[(1)因為函數(shù)f (x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f (0)＝0.又f (x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f (2)＝0，畫出函數(shù)f (x)的大致圖象如圖①所示，則函數(shù)f (x－1)的大致圖象如圖②所示．?當(dāng)x≤0時，要滿足xf (x－1)≥0，則f (x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x＞0時，要滿足xf (x－1)≥0，則f (x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf (x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.(2)函數(shù)f (x)為R上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞減函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象與f (x)的圖象重合，由a>b>0，得f (a)

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