1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此題主要考查了一元二次方程定義，利用一元二次方程定義進行解答即可．關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
【詳解】解：A、，是一元二次方程，故此選項符合題意；
B、，當，時，是一元一次方程，故此選項不合題意；
C、，即，是一元一次方程，故此選項不合題意；
D、，含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項不合題意；
故選：A．
2. 下列四邊形中，是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（ ）
A. 平行四邊形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，根據(jù)中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可得解，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
【詳解】解：平行四邊形，是中心對稱圖形，而不是軸對稱圖形，故A符合題意；
矩形，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故B不符合題意；
菱形，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故C不符合題意；
正方形，是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故D不符合題意．
故選：A．
3. 若方程是關(guān)于的一元二次方程，則的取值范圍是（ ）
A. m≠-1B. m=-1C. m≥-1D. m≠0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義求解即可．
【詳解】根據(jù)一元二次方程的定義可得：m+1≠0，
解得：m≠-1，
故選A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．
4. 有下列四邊形：①平行四邊形；②正方形；③矩形；④菱形．其中對角線一定相等的是（ ）
A. ①②③B. ②③C. ①④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形和正方形的性質(zhì)，根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)即可求解，掌握矩形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：下列四邊形：①平行四邊形；②正方形；③矩形；④菱形，對角線相等是矩形和正方形，
故選：．
5. 用配方法解下列方程，配方正確的是（ ）
A. 2y2﹣4y﹣4=0可化為（y﹣1）2=4B. x2﹣2x﹣9=0可化為（x﹣1）2=8
C. x2+8x﹣9=0可化為（x+4）2=16D. x2﹣4x=0可化為（x﹣2）2=4
【答案】D
【解析】
【詳解】A. 2y2?4y?4=0可化為(y?1)2=5，故選項錯誤；
B. x2?2x?9=0可化為(x?1)2=10，故選項錯誤；
C. x2+8x?9=0可化為(x+4)2=25，故選項錯誤；
D. x2?4x=0可化為(x?2)2=4，故選項正確．
故選D.
6. 下列條件中，能判定一個四邊形為菱形的條件是（ ）
A. 對角線互相平分的四邊形B. 對角線互相垂直且平分的四邊形
C. 對角線相等的四邊形D. 對角線相等且互相平分的四邊形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的判定逐項判斷即可．
【詳解】解：A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，不能判定是菱形，不符合題意；
B.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，符合題意；
C.對角線相等的四邊形不能判定是菱形，不符合題意；
D.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，不能判定是菱形，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了菱形的判定：1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3、四條邊均相等的四邊形是菱形；4、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；5、兩條對角線分別平分每組對角的四邊形是菱形；6、有一對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形是菱形．
7. 關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，若是該方程的兩個實數(shù)根，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，
∴，
∴且，
故選：C．
8. 根據(jù)表格對應值：
判斷關(guān)于x的方程的一個解x的范圍是（ ）
A. B.
C. D. 無法判定
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的根．解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程根的定義．方程的一個解在方程的一個解與方程的一個解之間．
結(jié)合表格可知：當時，，當時，，
可得方程的一個解x的范圍為：．
【詳解】∵當時，，
當時，，
∴方程一個解的范圍為：．
故選：C．
9. 某品牌服裝原價800元，連續(xù)兩次降價x%后售價為512元，下面所列方程中正確的是（ ）
A. 512（1+x%）2=800B. 800（1﹣2x%）=512C. 800（1﹣x%）2=512D. 800﹣2x%=512
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)降價后的價格=原價（1﹣降低的百分率），再由增長率公式，即可列出方程．
【詳解】當商品第一次降價x%時，根據(jù)題意得：
800（1﹣x%）2=512．
故選C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，要根據(jù)題意列出第一次降價后商品的售價，再根據(jù)題意列出第二次降價后售價的方程，令其等于512即可．
10. 如圖，將正方形放在平面直角坐標系中，O是原點，A的坐標為，則點C的坐標為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如圖作軸于F，x軸于E，先證明，推出，由此即可解決問題．
【詳解】解：如圖作軸于F，軸于E．

∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵A的坐標為，
∴，
∴點C坐標，
故選：A．
【點睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和點的坐標，掌握正方形的性質(zhì)和構(gòu)造全等三角形的方法是解決此題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題4分，共24分）
11. 一元二次方程的二次項系數(shù)是_______，一次項系數(shù)是_______，常數(shù)項是_________.
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】化為一般形式，然后根據(jù)一元二次方程的概念進行判斷即可．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
【詳解】原方程可化為：，
則二次項系數(shù)，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是.
故答案為；；.
【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
12. 一個口袋中裝有4個白球，2個紅球，6個黃球，搖勻后隨機從中摸出一個球是紅球的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了概率，掌握概率公式是解題關(guān)鍵，根據(jù)概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求解即可．
【詳解】解：隨機從中摸出一個球是紅球的概率是，
故答案為：．
13. 一個菱形的一條對角線長，周長是，則這個菱形的面積是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的對角線互相垂直且平分，面積等于對角線乘積的一半是解題關(guān)鍵．由題意可知，菱形的周長是，，利用勾股定理，得到，進而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，由題意可知，菱形的周長是，，
，，，，
在中，，
，
菱形的面積是，
故答案為：．

14. 設(shè)、是方程的兩根，則__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再代入，即可求解
【詳解】解：∵，是方程的兩根，
∴，
∴
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則，是解題的關(guān)鍵．
15. 已知是方程的一個根，則________，另一個根為________．
【答案】 ①. -7 ②.
【解析】
【分析】可將該方程已知根-1代入兩根之積公式和兩根之和公式列出方程組，解方程組即可求出a值和方程的另一根．
【詳解】解：設(shè)方程的也另一根為x1，
又∵x=-1是方程x2-ax+6=0的一個根，
∴
解得x1=-6，a=-7．
故答案為:-7,-6
【點睛】此題也可先將x=-1代入方程x2-ax+6=0中求出a的值，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的另一根．
16. 如下圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個矩形的面積為1，則第5個矩形的面積為_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圖形類規(guī)律探索，根據(jù)相關(guān)知識找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．標記各點，并連接對角線交于點，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形性質(zhì)，得到是的中點，同理可得分別為的中點，再根據(jù)三角形中位線定理，得出第二個矩形的面積第一個矩形的面積的，進而推出第個矩形的面積第一個矩形的面積的，即可求解．
【詳解】解：如圖，標記各點，并連接對角線交于點，則四邊形是矩形，
對角線、互相平分，即對角線、的交點為，
是的中點，
同理可得，分別為的中點，
又分別為的中點，
分別為的中位線，
、、、，
矩形的面積為，
即第二個矩形的面積第一個矩形的面積的，
同理可得，第三個矩形的面積第二個矩形的面積的第一個矩形的面積的，
……
觀察發(fā)現(xiàn)，第個矩形的面積第一個矩形的面積的，
第一個矩形的面積為1，
第5個矩形的面積為，
故答案為： ．
三、解答題（本大題共6小題，共96分）
17. 解下列一元二次方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【解析】
【分析】本題考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先整理，再利用因式分解法解方程即可．
【小問1詳解】
解：，
，
，
，
，
，
解得：，；
【小問2詳解】
解：
，，，
，
，
解得：，；
【小問3詳解】
解：，
，
，
，
，
或，
解得：，；
【小問4詳解】
解：
，
，
或，
解得：，．
18. 先化簡，再求值：，其中，．
【答案】，1
【解析】
【分析】本題考查了整式的化簡求值，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式和多項式乘多項式法則展開，再合并同類項化簡，最后帶入計算求值即可．
【詳解】解：
，
當，時，原式．
19. 已知a、b、c為實數(shù)，且，求方程ax2+bx+c=0的根．
【答案】，
【解析】
【分析】根據(jù)幾個非負數(shù)的和為零則它們都為零，可分別求得a、b、c的值，解方程即可求得方程的根．
【詳解】∵，，，且
∴，，
∴，，
∴a=1，b=－1，c=－3
故方程
∵
∴
即，
【點睛】本題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：該方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若該方程的兩個實數(shù)根，滿足，求m的值．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，代入計算即可解答；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，再將其代入求得的值即可．
【小問1詳解】
證明：∵在方程中，
，
∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．
【小問2詳解】
解：∵該方程的兩個實數(shù)根分別為，，
∴①，②．
∵③，
∴聯(lián)立①③，解得，．
∴，
解得．
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，熟知相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵．
21. 如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，．求證：．

【答案】見解析
【解析】
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)利用證明即可得出結(jié)論．
【詳解】解：在正方形中，，，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用各性質(zhì)進行推理論證是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形雞舍，為了節(jié)省材料雞舍的一邊利用長為a米的墻，另外三邊用長為27米的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直墻的一邊留下一個寬1米的門．設(shè)米時，雞舍面積為S平方米．
（1）若，求S關(guān)于x的函數(shù)表達式及x的取值范圍．
（2）在（1）條件下，當為多少時，雞舍的面積為90平方米？
【答案】（1）
（2）當為米時，雞舍的面積為90平方米．
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，一元二次方程的實際應用，理解題意是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)米，則米，根據(jù)矩形面積公式求出表達式，再結(jié)合墻長與門寬求出x的取值范圍即可；
（2）結(jié)合（1）所得表達式，列一元二次方程求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)米，則米，
則，
，，
，
即S關(guān)于x的函數(shù)表達式為；
【小問2詳解】
解：由（1）可知，，
則，
解得：，（舍），
即當為米時，雞舍的面積為90平方米．
23. 2024年巴黎奧運會新增了四個項目：霹靂舞，滑板，沖浪，運動攀巖，依次記為A，B，C，D，濱河體育隊的小明同學把這四個項目寫在了背面完全相同的卡片上． 將這四張卡片背面朝上，洗勻放好．
（1）小明想從中隨機抽取一張，去了解該項目在奧運會中的得分標準，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿＿．
（2）體育老師想從中選出來兩個項目，讓小明做成手抄報給大家普及一下，他先從中隨機抽取一張不放回，再從中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求體育老師抽到的兩張卡片恰好是B（滑板）和D（運動攀巖）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了概率公式及用列表或畫樹狀圖的方法求概率, 正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵．
（1）直接運用概率公式求解即可；
（2）先畫出樹狀圖，可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是共“B”和“D”的結(jié)果有2種，最后由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：小明想從中隨機抽取一張，恰好抽到是B（滑板）的概率是；
故答案為: ．
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是“B”和“D”的結(jié)果數(shù)為2，
體育老師抽到的兩張卡片恰好是B（滑板）和D（運動攀巖）的概率．
24. 如圖，在菱形中，對角線，交于點，交延長線于，交延長線于點．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再證，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，則，然后由勾股定理得即可．
【小問1詳解】
證明：四邊形是菱形，
．
，
四邊形是平行四邊形．
，
，
平行四邊形是矩形；
【小問2詳解】
解：四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了矩形的判定、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．
25. 張掖市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，某頭盔經(jīng)銷商的進價為30元/個，商家經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計，當售價為40元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到8000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應定為多少元？
【答案】該品牌頭盔每個售價應定為元．
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，明確題意，列出一元二次方程是解題關(guān)鍵．設(shè)該品牌頭盔每個售價應定為元，則銷量為件，根據(jù)利潤單個利潤數(shù)量，列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)該品牌頭盔每個售價應定為元，則銷量為件，
由題意得：，
整理得：，
解得：，，
盡可能讓顧客得到實惠，
，
答：該品牌頭盔每個售價應定為元．
26. 如圖，在中，，，點M從點A開始沿以的速度向點C運動（到點C時停止），過點M作，交與點N，并設(shè)點M的運動時間為．
（1）當t為何值時，的面積為？
（2）若，求t的值．
【答案】（1）t為2 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，三角形面積計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的解題方法．
（1）根據(jù)題意得出，根據(jù)三角形面積公式得出，求出t即可；
（2）根據(jù)，，得出，求出t的值即可．
【小問1詳解】
解：由題可知，，
∴，
解得，（舍），
∴當t為2時，的面積為
【小問2詳解】
解：∵，
又∵，
∴，
又∵，
∴
可得，（舍），
∴．
27. 分別是三角形的邊的中點，是所在平面上的動點，連接，點分別是的中點，順次連接點
（1）如圖，當點在的內(nèi)部時，求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若四邊形是菱形，則與應滿足怎樣的關(guān)系？若四邊形是矩形，則與應滿足怎樣的關(guān)系？(直接寫出答案，不需要說明理由)
【答案】（1）見解析；（2）OA=OB,
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE∥BC且DE＝BC，GF∥BC且GF＝BC，從而得到DE∥GF，DE＝GF，再利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形,有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答．
【詳解】分別是的中點.
分別是的中點
四邊形是平行四邊形.
若四邊形是菱形，則DG=GF,
由(1)中位線可知GF平行且等于BC,DG平行且等于AO
∴
若四邊形是矩形，則DG⊥GF,
∵DG∥AO,GF∥BC
∴
x
1.1
1.2
1.3
1.4
0.84
2.29
3.76

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