類型一：提公因式法提公因式
提公因式法的步驟：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并確定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致，這一點可用來檢驗是否漏項．
注意：
①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式，即分解到“底”；
②如果多項式的第一項的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“－”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的．
類型二：公式法
運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
類型三：先提公因式，再用公式法
類型四：先展開，再用公式法
類型五：十字相乘法
考點2：十字相乘法
1. x2 ????p ??q?x ??pq ? （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三項式 ax2 ??bx ??c(a ??0) 中，如果二次項系數(shù) a可以分解成兩個因數(shù)之積，
即 a ??a1 ??a2 ，常數(shù)項 c 可以分解成兩個因數(shù)之積，即c ??c1 ?c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：

按斜線交叉相乘，再相加，得到 a1c2 ??a2c1，若它正好等于二次三項式 ax 2 ??bx ??c 的
一次項系數(shù)b ，即 a1c2 ??a2c1 ??b ，那么二次三項式就可以分解為兩個因式 a1x ??c1與
a2 x ??c2 之積，即 ax2 ??bx ??c ??(a1x ??c1)(a2 x ??c2 ) ．
類型六：分組分解法
【類型一：提公因式法提公因式】
【典例1】（2021春?羅湖區(qū)校級期末）因式分解：
（1）﹣20a﹣15ax； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．
【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）
＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3）
＝（a﹣3）（a﹣5）．
【變式1-1】（2022?中山市三模）因式分解：3ax﹣9ay＝ ．
【答案】3a（x﹣3y）
【解答】解：原式＝3a（x﹣3y）．
故答案為：3a（x﹣3y）．
【變式1-2】（2022?濱?？h模擬）將多項式2a2﹣6ab因式分解為 ．
【答案】2a（a﹣3b）
【解答】解：原式＝2a（a﹣3b）．
故答案為：2a（a﹣3b）．
【變式1-3】（2019秋?西城區(qū)校級期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
【解答】解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）
＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）
＝（a﹣b）（2m+3n）．
【變式1-4】（2021秋?虹口區(qū)校級月考）分解因式：x（a﹣b）+y（b﹣a）﹣3（b﹣a）．
【解答】解：原式＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b）+3（a﹣b）＝（a﹣b）（x﹣y+3）．
【類型二：公式法】
【典例2】（2021秋?富?？h期末）因式分解：
（1）． （2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2．
【解答】解：（1）原式＝52﹣（）2＝（5+m）（5﹣m）．
（2）（a﹣2b）2﹣（3a﹣2b）2
＝（a﹣2b+3a﹣2b）（a﹣2b﹣3a+2b）
＝（4a﹣4b）?（﹣2a）
＝﹣8a（a﹣b）．
【變式2-1】（2022春?來賓期末）把多項式9a2﹣1分解因式，結(jié)果正確的是（ ）
A．（3a﹣1）2B．（3a+1）2
C．（9a+1）（9a﹣1）D．（3a+1）（3a﹣1）
【答案】D
【解答】解：9a2﹣1＝（3a）2﹣1＝（3a﹣1）（3a+1）．
故選：D．
【變式2-2】（2022?菏澤）分解因式：x2﹣9y2＝ ．
【答案】（x﹣3y）（x+3y）
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案為：（x﹣3y）（x+3y）．
【變式2-3】（2021?槐蔭區(qū)一模）分解因式：4a2﹣9b2．
【解答】解：4a2﹣9b2＝（2a+3b）（2a﹣3b）．
【變式5-4】（2021秋?閔行區(qū)期末）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．
【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）．
【考點5 因式分解-完全平方】
【典例3】（2022春?攸縣期末）分解因式：y2+4y+4＝（ ）
A．y（y+4）+4B．（y+2）2C．（y﹣2）2D．（y+2）（y﹣2）
【答案】B
【解答】解：y2+4y+4＝（y+2）2，
故選：B．
【變式3-1】（2022?河池）多項式x2﹣4x+4因式分解的結(jié)果是（ ）
A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）2
【答案】D
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故選：D．
【變式3-2】（2022?富陽區(qū)二模）分解因式4y2+4y+1結(jié)果正確的是（ ）
A．（2y+1）2B．（2y﹣1）2C．（4y+1）2D．（4y﹣1）2
【答案】A
【解答】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．
故選：A．
【變式3-3】（2020秋?海淀區(qū)校級期中）分解因式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．
【答案】（x﹣2）2（x+2）2
【解答】解：原式＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9
＝（x2﹣1﹣3）2＝（x﹣2）2（x+2）2．
【類型三：先提公因式，再用公式法】
【典例4】（2022春?巨野縣期末）因式分解：
（1）x3﹣2x2y+xy2
（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）
【解答】解：（1）x3﹣2x2y+xy2
＝x（x2﹣2xy+y2）
＝x（x﹣y）2；
（2）a2（x﹣3y）+9b2（3y﹣x）
＝（x﹣3y）（a2﹣9b2）
＝（x﹣3y）（a+3b）（a﹣3b）．
【變式4-1】（2022春?濟陽區(qū)期末）因式分解：2x3﹣8x2y+8xy2．
【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy2
＝2x（x2﹣4xy+4y2）
＝2x（x﹣2y）2．
【變式4-2】（2022春?辰溪縣期末）因式分解：
（1）2ax2﹣2ay2；
（2）3a3﹣6a2b+3ab2．
【解答】解：（1）原式＝2a（x2﹣y2）
＝2a（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝3a（a2﹣2ab+b2）
＝3a（a﹣b）2．
【變式4-3】（2022?南京模擬）因式分解：4a2（x+7）﹣9（x+7）．
【解答】解：原式＝（x+7）（4a2﹣9）＝（x+7）（2a+3）（2a﹣3）．
【變式4-4】（2022春?新城區(qū)校級期末）因式分解：﹣3a+12a2﹣12a3．
【解答】解：原式＝﹣3a（1﹣4a+4a2）
＝﹣3a（1﹣2a）2．
【類型四：先展開，再用公式法】
【典例5】（2021春?蘇州期末）分解因式
（a﹣b）（a﹣4b）+ab． （2）（a﹣b）2+4ab．
【答案】（1）（a﹣2b）2 （2）（a+b）2
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2+ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．
（2）原式＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
【類型五：十字相乘法】
【典例6】（2021?北碚區(qū)校級開學(xué)）分解因式
（1）x2﹣4x﹣12； （2）x2﹣4x﹣5．
（3）﹣2x3﹣6x2y+20xy2． （4） 3x2﹣19x﹣14．
【答案】（1）（x﹣6）（x+2） （2）（x﹣5）（x+1） （3）﹣2x（x+5y）（x﹣2y）
（4）（x﹣7）（3x+2）
【解答】（1）原式＝x2+（﹣6+2）x+（﹣6×2）＝（x﹣6）（x+2）；
（2）原式＝（x﹣5）（x+1）．
（3）原式＝﹣2x（x2+3xy﹣10y2）
＝﹣2x（x+5y）（x﹣2y）．
原式=（x﹣7）（3x+2）．
【變式6】（2021春?岑溪市期末）分解因式
（1）m2﹣4m﹣5． （2）x2+2x﹣3 （3）x2﹣2x﹣8
【答案】（1）（m﹣5）（m+1） （2）（x+3）（x﹣1） （3）（x﹣4）（x+2）
【解答】（1）原式＝（m﹣5）（m+1）．
（2）原式＝（x+3）（x﹣1）．
（3）原式＝（x﹣4）（x+2）．
【類型六：分組分解法】
【典例7】（2022春?新田縣期中）先閱讀材料：
分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．
解：a2b﹣3a2+2b﹣6
＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）
＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）
＝（b﹣3）（a2+2）
以上解題過程中用到了“分組分解法”，即把多項式先分組，再分解．請你運用這種方法對下面多項式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．
【解答】解：x2+3x﹣y2+3y
＝x2﹣y2+（3x+3y）
＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）
＝（x+y）（x﹣y+3）．
【變式7-1】（2020秋?上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．
【解答】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）
＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．
【變式7-2】（2020秋?嘉定區(qū)期末）分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y．
【解答】解：原式＝（x2﹣y2）﹣（2x+2y）
＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）
＝（x+y）（x﹣y﹣2）．
1.（2021秋?江津區(qū)月考）分解因式
（1）﹣20a﹣15ax； （2）xy3﹣10xy2+25xy
【答案】（1）﹣5a（4+3x） （2）xy（y﹣5）2
【解答】解：（1）﹣20a﹣15ax
＝﹣5a（4+3x）；
xy3﹣10xy2+25xy＝xy（y2﹣10xy+25）＝xy（y﹣5）2．
2.（2021春?鐵西區(qū)期末）分解因式
(1)2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） （2）2m（x﹣y）﹣3n（x﹣y）．
【答案】（1）2m（m﹣n）（5m﹣n） （2）（x﹣y）（2m﹣3n）；
【解答】解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]
＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．
（2）原式= （x﹣y）（2m﹣3n）；
3.（2021春?惠山區(qū)期中）分解因式：
（1）a3﹣4a2+4a； （2） a2b﹣16b．
【答案】（1）a（a﹣2）2 （2）b（a+4）（a﹣4）
【解答】（1）原式＝a（a2﹣4a+4）＝a（a﹣2）2；
（2）原式＝b（a2﹣16）＝b（a+4）（a﹣4）
4、（2021秋?姜堰區(qū)月考）分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．
【答案】（5m﹣4）（m+2）．
【解答】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）．
5.（2021春?肅州區(qū)校級期中）分解因式：
（1）x2﹣10x+16； （2）x2﹣2x﹣3．
【解答】解：（1）x2﹣10x+16
＝（x﹣8）（x﹣2）；
（2）x2﹣2x﹣3
＝（x﹣3）（x+1）．
6.（2021?市南區(qū)校級開學(xué)）分解因式：
（1）（x﹣2）（x﹣4）+1． （2）3m（2x﹣y）2﹣3mn2；
【答案】（1）（x﹣3）2 （2）3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）
【解答】（1）（x﹣2）（x﹣4）+1＝x2﹣4x﹣2x+8+1＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；
（2）原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；
7．（2022春?富平縣期末）因式分解：x2（m+n）﹣4y2（m+n）．
【解答】解：原式＝（m+n）（x2﹣4y2）
＝（m+n）（x+2y）（x﹣2y）．
8.（2022春?新田縣期末）因式分解：
（1）﹣3y2+12y﹣12；
（2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a）．
【解答】解：（1）原式＝﹣3（y2﹣4y+4）
＝﹣3（y﹣2）2；
（2）原式＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2﹣b2）
＝（a﹣b）2（a+b）．
9．（2022春?清江浦區(qū)期末）因式分解：
（1）a2﹣9；
（2）3x2+6xy+3y2．
【解答】解：（1）a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）；
（2）3x2+6xy+3y2．
＝3（x2+2xy+y2）
＝3（x+y）2．
10．（2022春?海陵區(qū)期末）把下列各式因式分解：
（1）x2﹣25； （2）﹣4x2+24x﹣36．
【解答】解：（1）x2﹣25＝（x+5）（x﹣5）；
（2）﹣4x2+24x﹣36
＝﹣4（x2﹣6x+9）
＝﹣4（x﹣3）2．
11．（2022春?東臺市期中）因式分解：
（1）4a2b﹣6ab2 （2）4x2﹣4x+1
（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x） （4）（x+2）（x﹣8）+25
【解答】解：（1）4a2b﹣6ab2＝2ab（2a﹣3b）；
（2）4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2；
（3）a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）；
（4）（x+2）（x﹣8）+25
＝x2﹣6x﹣16+25
＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2．
12.（2021秋?奉賢區(qū)期中）因式分解：x2+4y2+4xy﹣1．
【解答】解：原式＝（x2+4y2+4xy）﹣1
＝（x+2y）2﹣1
＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）．
13.（2021秋?徐匯區(qū)月考）因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn．
【解答】解：原式＝4﹣（m2+9n2+6mn）
＝22﹣（m+3n）2
＝（2+m+3n）（2﹣m﹣3n）．

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