一、選擇題（共10小題）
1. 在實(shí)數(shù)、、、中，是無(wú)理數(shù)的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：在實(shí)數(shù)、、、中，是無(wú)理數(shù)的是．
故選：D．
2. 如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，圖中的字母是它們的面積其中，，則為（ ）
A. 8πB. 4πC. 16πD. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的面積公式和勾股定理求出，然后進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得：，，，
∵在Rt△ABC中，，
∴，即，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟知直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵．
3. 若中，，下列不能判定為直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷選項(xiàng)、、、是否符合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以判斷選項(xiàng)是否符合題意，本題得以解決．
【詳解】解：A、，，，則，故不是直角三角形，選項(xiàng)符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，則，故是直角三角形，選項(xiàng)不符合題意；
C、由整理得：，故是直角三角形，選項(xiàng)不符合題意；
D、由，可知，故是直角三角形，選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．
4. 勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”．在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖所示，把一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形和三個(gè)正方形放置在大長(zhǎng)方形中，則該長(zhǎng)方形中空白部分的面積為（ ）
A. 54B. 60C. 100D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一線三垂直證明全等是突破本題的關(guān)鍵．利用一線三直角證明三角形全等，可得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)11與寬10，計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積后減去三個(gè)正方形的面積即可．
【詳解】解：如圖延長(zhǎng)交于M，其他字母標(biāo)注如圖示：根據(jù)題意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可證，
∴，
∴．
空白部分的面積＝長(zhǎng)方形面積三個(gè)正方形的面積和．
故選：B．
5. 如果一個(gè)正數(shù)x的平方根是和，那么x的值是（ ）
A. B. 7C. D. 49
【答案】D
【解析】
【分析】依據(jù)平方根的性質(zhì)列出關(guān)于a的方程可求得a的值，然后依據(jù)平方根的定義求解即可．
【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的x的平方根是和，
∴，
解得．
∴．
∴．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平方根的性質(zhì)，求得a的值是解題的關(guān)鍵．
6. 下列說(shuō)法：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的；②實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)：③立方根等于它本身的數(shù)是±1和0；④無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；⑤平方根等于本身的數(shù)是1和0．正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用相關(guān)實(shí)數(shù)的性質(zhì)分析得出答案．
【詳解】解：①實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故說(shuō)法正確；
②實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和零，故說(shuō)法錯(cuò)誤；
③立方根等于它本身的數(shù)有-1，0和1，故說(shuō)法正確；
④無(wú)理數(shù)是開方開不盡的數(shù)，即無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，也是無(wú)限小數(shù)，故說(shuō)法正確；
⑤算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是1和0，故說(shuō)法錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)與數(shù)軸，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查，掌握相關(guān)概念或性質(zhì)解答即可．
7. 如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ）

A. B. 25C. D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
【詳解】解：只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1，

∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴，，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；
只要把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，

∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：
∴；
只要把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3，

∵長(zhǎng)方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，
∴，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：
∴；
∵，
∴螞蟻爬行的最短距離是25，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，關(guān)鍵是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．
8. 如圖，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C恰好在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，那么△ABC中BC邊上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】先用勾股定理耱出三角形的三邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形，最后設(shè)BC邊上的高為h，利用三角形面積公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
設(shè)BC邊上的高為h，
則，
∴.
故選A.
點(diǎn)睛：本題主要考查勾股理及其逆定理.借助網(wǎng)格利用勾股定理求邊長(zhǎng)，并用勾股定理的逆定理來(lái)判斷三角形是否是直角三角形是解題的關(guān)鍵.
9. 已知實(shí)數(shù)a滿足，則的值為（ ）
A. 2022B. 2023C. D.
【答案】B
【解析】
【詳解】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出a的范圍，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得：，
解得：，
則，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
10. 如圖，在中，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．，則的長(zhǎng)等于（ ）
A. 5B. 20C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理可得和的長(zhǎng)，由角平分線定理可得，根據(jù)證明，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
過(guò)點(diǎn)E作于G，
∵平分，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
中，，
，
∴．
故選：D．
二、填空題（共6小題）
11. 81的算術(shù)平方根的平方根是___．
【答案】
【解析】
【分析】先求81的算術(shù)平方根，再求算術(shù)平方根的平方根即可．
【詳解】解：81的算術(shù)平方根是，
∴81的算術(shù)平方根的平方根是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的平方根的定義，正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根，正數(shù)有兩個(gè)不同的平方根．
12. 比較大?。篲___（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【詳解】∵黃金數(shù)，約等于0.618，，顯然前者小于后者．
或者作差法：，
所以，前者小于后者．
故答案＜
13. 在中，，高，則的周長(zhǎng)是 _____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)高在的內(nèi)部時(shí)，當(dāng)高在的外部時(shí)，結(jié)合勾股定理，即可求解．
【詳解】解：當(dāng)高在的內(nèi)部時(shí)，如圖，
在中，，
在中，，
∴，
此時(shí)的周長(zhǎng)是；
當(dāng)高在的外部時(shí)，如圖，
在中，，
在中，，
∴，
此時(shí)的周長(zhǎng)是；
綜上所述，的周長(zhǎng)是或．
故答案為：或
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的知識(shí)，在解本題時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，易錯(cuò)點(diǎn)在于漏解，同學(xué)們思考問(wèn)題一定要全面，有一定難度．
14. 已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)：_____．

【答案】a
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸可知，，再化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：由數(shù)軸可知，，
∴，
∴
，
故答案為：a．
15. 如圖，在一個(gè)長(zhǎng)方形草坪ABCD上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，已知米，米，該木塊的較長(zhǎng)邊與AD平行，橫截面是邊長(zhǎng)為1米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A爬過(guò)木塊到達(dá)C處需要走的最短路程是______米
【答案】
【解析】
【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．
【詳解】
由題意可知，將木塊展開，
相當(dāng)于是AB+2個(gè)正方形的寬，
∴長(zhǎng)為5+2×1=7米；寬為6米.
于是最短路徑為：米.
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力.
16. 如圖，等邊，邊長(zhǎng)是8．點(diǎn)M、N分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接、．若，則線段的長(zhǎng)為_____．

【答案】4
【解析】
【詳解】過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)G，根據(jù)三角形的面積證明，可得此時(shí)M，D重合，N、E重合，即，然后證明，得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)G，連接，

∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴此時(shí)M，D重合，N、E重合，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．
三、解答題
17. 化簡(jiǎn)：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）;（2）;（3）;（4）.
【解析】
【分析】（1）先化簡(jiǎn),再根據(jù)二次根式加減法計(jì)算;
（2）根據(jù)二次根式乘除法進(jìn)行計(jì)算,再根據(jù)二次根式加減法計(jì)算;
（3）先對(duì)二次根式化簡(jiǎn)再進(jìn)行計(jì)算;
（4）根據(jù)完全平方公式和平方根差公式及絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.
【詳解】（1）；
解:原式=,
=;
（2）；
解:原式=,
=;
（3）；
解:原式=,
=,
=;
（4）,
解:原式=,
=.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則.
18. 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，無(wú)理數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來(lái)．
（1）如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)是 ；
（2）如圖2，直線l垂直數(shù)軸于原點(diǎn)在數(shù)軸上，請(qǐng)用尺規(guī)作出表示的點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【答案】（1）；
（2）見解析．
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，用勾股定理構(gòu)造長(zhǎng)度為的線段是解題關(guān)鍵．
（1）利用勾股定理求出斜邊長(zhǎng)度即可得答案；
（2）先作出長(zhǎng)為的線段，再以表示1的點(diǎn)為圓心，在原點(diǎn)左側(cè)截取點(diǎn)P，使P到表示1的點(diǎn)距離為即可．
【小問(wèn)1詳解】
如圖：
∵，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)是，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
如圖所示：
點(diǎn)P即為所求．
19. 求下列各式中x的值.
（1）25x2－64=0；（2）343(x＋3)3＋27=0.
【答案】（1）（2）
【解析】
【詳解】試題分析：（1）根據(jù)平方根，即可解答；
（2）根據(jù)立方根，即可解答．
試題解析：（1）根據(jù)題意，得 解得：.
（2）根據(jù)題意，得，
解得：
20. （1）在如圖中畫出邊長(zhǎng)為、、的三角形；
（2）該三角形的面積為 ．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】
【分析】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
（1）結(jié)合勾股定理畫圖即可．
（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．
【詳解】解：（1）如圖，即為所求．
（2）△ABC的面積為．
故答案為：．
21. 已知的立方根是3，是9的平方根，c是的整數(shù)部分，求的值．
【答案】5或11
【解析】
【分析】此題考查立方根的意義、平方根的意義、無(wú)理數(shù)的估算方法， 利用立方根的意義、平方根的意義、無(wú)理數(shù)的估算方法，求出a、b、c的值，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵的立方根是3，則，
∴，
∵是9的平方根，則，
∴或，
∵c是的整數(shù)部分，
∴，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述，等于5或11．
22. 如圖，某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量，∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m.若每平方米草皮需要200元，則種植這片草皮需要多少元？
【答案】種植這片草皮需要234×200=46800元.
【解析】
【分析】先連接AC，根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC,再根據(jù)勾股定理逆定理證明△ACD是直角三角形,然后根據(jù)面積公式計(jì)算．
【詳解】解：如圖,連接AC，如圖所示，
∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，
∴AC==25m，
∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°，
∴S△ABC=×AB×BC=×20×15=150m2，S△ACD=×CD×AD=×7×24=84m2,
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2.
所以種植這片草皮需要234×200=46800元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和勾股定理逆定理,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握勾股定理及其逆定理．
23. 今年第11超強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“?？钡顷懳覈?guó)沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，臺(tái)風(fēng)“?？敝行难貣|西方向AB由A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為，，又，經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響．

（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？
（2）若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？
【答案】（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見解析
（2）臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理得出，過(guò)點(diǎn)C作于D，用等面積法求出，即可解答；
（2）根據(jù)題意可得當(dāng)，時(shí)，正好影響C港口，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
，
是直角三角形，；
過(guò)點(diǎn)C作于D，
是直角三角形，
，
即，
，
，
海港C受臺(tái)風(fēng)影響；
【小問(wèn)2詳解】
解：當(dāng)，時(shí)，正好影響C港口，
，
，
臺(tái)風(fēng)的速度為28千米/小時(shí)，
（小時(shí)）．
答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為小時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握兩邊平方和等于第三邊平方的三角形，是直角三角形；直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．
24. 在解決問(wèn)題“已知，求的值”時(shí)，小明是這樣分析與解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）化簡(jiǎn)：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則、分母有理化等知識(shí)點(diǎn)．
（1）進(jìn)行分母有理化即可；
（2）參照題干給定的方法，先進(jìn)行分母有理化，再求值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：；
【小問(wèn)2詳解】
，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如圖，長(zhǎng)方形紙片，，，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，將沿著翻折得到．

（1）如圖1，點(diǎn)落在邊上，若，則______，______；
（2）如圖2，若，是邊中點(diǎn)，連接，求面積；
（3）如圖3，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作，將沿著翻折得到，連接，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)在中，，，設(shè)，則由等面積法列式求解，可得答案；
（2）延長(zhǎng)交于，設(shè)，，則，由勾股定理可得，結(jié)合面積法可得，可得，可得，由可得三角形面積，結(jié)合，從而可得答案；
（3）分兩種情況討論：由是以為腰的等腰三角形，當(dāng)′時(shí)，過(guò)作于，證明，可得，易得；當(dāng)時(shí)，同理，設(shè)，可得，利用勾股定理可得，從而可得答案．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵四邊形是長(zhǎng)方形，，
∴，
∵沿著翻折得到，
∴，
∴，
在中，，
∴，
設(shè)，如下圖，連接，

則由等面積法可得，
即，
解得，
∴．
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
∵四邊形是長(zhǎng)方形，，是邊中點(diǎn)，
∴，，
∵沿著翻折得到，
∴，
∴，
如圖2，延長(zhǎng)交于，設(shè)，，

∴，
∴由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
∵是以為腰的等腰三角形，
當(dāng)時(shí)，如圖3，過(guò)作于，
∴，

由折疊可得，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
當(dāng)時(shí)，同理，
設(shè)，，
∴，
∴由勾股定理可得，
解得，即．
綜上所述，或．

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