陜西省西安市鐵一中學(xué)曲江校區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份陜西省西安市鐵一中學(xué)曲江校區(qū)2024-2025學(xué)年上學(xué)期八年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版），共22頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（共10小題，每小題3分，計(jì)30分）
1. 實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，明白“一個(gè)非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0”是解題的關(guān)鍵．
解：實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根，
故選：C．
2. 若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P在（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可求解，熟知四個(gè)象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)在第二象限．
故選：B
3. 已知是的三邊，下列條件中，能夠判斷為直角三角形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的逆定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度，求出中最大的內(nèi)角的度數(shù)即可判斷A、B；若三角形中，兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，據(jù)此可判斷C、D．
解：A、∵，，
∴最大角，
∴不是直角三角形，不符合題意；
B、∵，，
∴，
∴
∴不是直角三角形，不符合題意；
C、∵，
∴不妨設(shè)a=2k，b=2k，c=3kk>0，
∵，
∴不是直角三角形，不符合題意；
D、∵，
∴是直角三角形，符合題意；
故選：D．
4. 下列運(yùn)算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的相關(guān)運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
解：不說(shuō)同類二次根式，不能相加，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D正確；
故選：C
5. 如圖，在某一時(shí)刻，一艘貨輪與導(dǎo)航燈相距10千米，我們用有序數(shù)對(duì)（北偏東，）來(lái)描述貨輪相對(duì)于導(dǎo)航燈的位置，那么導(dǎo)航燈相對(duì)于貨輪的位置可描述為（）
A. （北偏東，）B. （南偏東，）
C. （北偏西，）D. （南偏西，）
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了方位角表示位置，根據(jù)北偏東與南偏西相對(duì)，且二者的距離和對(duì)應(yīng)的角度不變即可得到答案．
解：∵用有序數(shù)對(duì)（北偏東，）來(lái)描述貨輪相對(duì)于導(dǎo)航燈的位置，
∴導(dǎo)航燈相對(duì)于貨輪的位置可描述為（南偏西，），
故選：D．
6. 下列說(shuō)法中，正確的是（）
A. 帶根號(hào)的數(shù)一定是無(wú)理數(shù)B. 兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)
C. 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根且互為相反數(shù)D. 數(shù)軸上的點(diǎn)表示的都是有理數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，平方根的概念，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義可判斷A；根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷B；根據(jù)平方根的概念可判斷C；根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸一一對(duì)應(yīng)可判斷D．
解：A、帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，例如是有理數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，例如是有理數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
C、一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根且互為相反數(shù)，原說(shuō)法正確，符合題意；
D、數(shù)軸上的點(diǎn)表示的都是實(shí)數(shù)，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
7. 如圖所示，，，若數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)為，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圖示，可得：點(diǎn)A是以B為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求法，求出a的值為多少即可．
解：由勾股定理得：，
∴，
∴點(diǎn)A是以B為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，且在左側(cè)，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和實(shí)數(shù)及勾股定理，能求出的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．
8. 如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（ ）
A. 3B. 2+2C. D. 4
【答案】C
【解析】
解：如圖展開(kāi)：
過(guò)A作于E，連接AB，則AB長(zhǎng)為最短距離，
四邊形DFGC正方形，DC=BC=2，
，
,
,
,
,
,
在中，,,EA=1，
由勾股定理得：
故選C．
9. 已知實(shí)數(shù)滿足，那么的值為（）
A. 1B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)要大于等于0得到，據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值推出，進(jìn)而得到，據(jù)此代值計(jì)算即可．
解：∵式子有意義，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
10. 如圖，中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，延長(zhǎng)到F，使得，連接，可證明得到，則可證明得到，再證明，得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解方程即可得到答案．
解：如圖所示，延長(zhǎng)到F，使得，連接，
∵點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故選：C．
二、填空題（共6小題，每小題3分，計(jì)18分）
11. 的相反數(shù)是__________．
【答案】-
【解析】
【分析】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．
解：的相反數(shù)為－．
故答案為：-．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題型．解決這個(gè)問(wèn)題只要明確相反數(shù)的定義即可．
12. 比較大?。篲_____（填“或”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握平方運(yùn)算比較大小是解題的關(guān)鍵．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
13. 已知，則的值為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)完全平方公式把所求式子變形為，據(jù)此代值計(jì)算即可．
解：∵，
∴
，
故答案為：．
14. 已知等腰三角形的兩邊分別為6和4，則這個(gè)等腰三角形腰上的高是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，三線合一定理，構(gòu)成三角形條件，分當(dāng)腰長(zhǎng)為6時(shí)，當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，兩種情況確定三角形的三邊長(zhǎng)，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件確定是否能構(gòu)成三角形，利用三線合一定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再利用等面積法求出的長(zhǎng)即可得到答案．
解：如圖所示，在中，分別是高，
當(dāng)腰長(zhǎng)為6時(shí)，則該三角形的三邊長(zhǎng)為6，6，4，
∵，
∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴這個(gè)等腰三角形腰上的高是；
當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，則該三角形的三邊長(zhǎng)為4，4，6，
∵，
∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴這個(gè)等腰三角形腰上的高是；
綜上所述，這個(gè)等腰三角形腰上的高是或，
故答案為：或．
15. 實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)_________．
【答案】0
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，化簡(jiǎn)絕對(duì)值和求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，先根據(jù)數(shù)軸推出，，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值和計(jì)算算術(shù)平方根，最后合并同類項(xiàng)即可得到答案．
解；由數(shù)軸可知，
∴，
∴
，
故答案為：0．
16. 如圖，“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，若，連接，則的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，設(shè)這4個(gè)全等直角三角形的短邊為x，則，則由勾股定理可得，；構(gòu)造如解析圖，，設(shè)，則，同理由勾股定理可得，，故求的最小值相當(dāng)于求的最小值，則當(dāng)M、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，據(jù)此利用勾股定理的長(zhǎng)即可．
解：設(shè)這4個(gè)全等直角三角形的短邊為x，則，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
如下圖所示，，
設(shè)，則，
同理由勾股定理可得，，
故求的最小值相當(dāng)于求的最小值，
∴當(dāng)M、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，
過(guò)點(diǎn)M作交延長(zhǎng)線于Q，則，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，
∴的最小值為，
故答案為：．
三、解答題（共8小題，計(jì)72分）
17. 求下列各式中的值：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程：
（1）先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把未知數(shù)的系數(shù)化為1，最后把方程兩邊同時(shí)開(kāi)平方即可得到答案；
（2）把方程兩邊同時(shí)開(kāi)立方后解方程即可．
【小問(wèn)1】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
【小問(wèn)2】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
18. 計(jì)算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）0（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：
（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算二次根式的加減即可；
（2）先計(jì)算二次根式的乘除、同時(shí)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后合并即可；
（3）先根據(jù)二次根式的除法法則化簡(jiǎn)，然后計(jì)算二次根式的加減即可；
（4）先根據(jù)完全平方公式、平方差公式展開(kāi)，然后合并即可．
【小問(wèn)1】
解：
；
【小問(wèn)2】
解：
；
【小問(wèn)3】
解：
；
【小問(wèn)4】
解：
．
19. 如圖，假定我們學(xué)校南門口的坐標(biāo)為，4號(hào)樓所在位置的坐標(biāo)為．
（1）請(qǐng)你根據(jù)題目條件，畫出平面直角坐標(biāo)系；
（2）寫出1號(hào)樓、2號(hào)樓、3號(hào)樓、操場(chǎng)所在位置的坐標(biāo)．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）1號(hào)樓的坐標(biāo)為，2號(hào)樓的坐標(biāo)為，3號(hào)樓的坐標(biāo)為，操場(chǎng)的坐標(biāo)為
【解析】
【分析】本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中用坐標(biāo)表示位置：
（1）根據(jù)南門口和4號(hào)樓的坐標(biāo)確定坐標(biāo)軸的位置并建立坐標(biāo)系即可；
（2）根據(jù)（1）所求寫出對(duì)應(yīng)位置的坐標(biāo)即可．
【小問(wèn)1】
解：如圖所示平面直角坐標(biāo)系即為所求；
【小問(wèn)2】
解；由坐標(biāo)系可知，1號(hào)樓的坐標(biāo)為，2號(hào)樓的坐標(biāo)為，3號(hào)樓的坐標(biāo)為，操場(chǎng)的坐標(biāo)為．
20. 如圖，內(nèi)部有一點(diǎn)D，且．
（1）判斷的形狀；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）直角三角形
（2）24
【解析】
【分析】此題考查了勾股定理及逆定理，熟練掌握勾股定理及逆定理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理證得；
（2）根據(jù)求面積．
【小問(wèn)1】
∵.
在中，根據(jù)勾股定理得：
則，
∵
∴
則是直角三角形；
【小問(wèn)2】
則四邊形面積為24．
21. 如圖，小明為了測(cè)得學(xué)校旗桿的高度，他先將旗繩拉直，繩尾端正好落在地面點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)到桿底點(diǎn)距離，他又將旗繩拉直到桿底部點(diǎn)，此時(shí)，繩子多出一截，量得多出部分長(zhǎng)度為，請(qǐng)你幫他計(jì)算出旗桿的高度．
【答案】旗桿的高度為米．
【解析】
【分析】此題主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力，根據(jù)題意列出已知條件，再根據(jù)勾股定理求得旗桿的高度，從實(shí)際問(wèn)題中整理出直角三角形模型是解題的關(guān)鍵．
解：設(shè)旗桿的高度為米，則，
在中，由勾股定理可得：
，
整理得：，
解得：，
答：旗桿的高度為米．
22. 已知的平方根是，是的立方根，是的整數(shù)部分．
（1）求的值；
（2）若是的小數(shù)部分，求的平方根．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根據(jù)平方根，立方根的定義，估算求出的，，的值，代入計(jì)算即可得出答案；
（）先得出的值，即可得出結(jié)果；
本題考查了平方根，立方根概念，熟練掌握平方根，立方根概念及運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1】
∵的平方根是，
∴，
∵是的立方根，
∴，
∵是的整數(shù)部分，而，
∴，
∴；
【小問(wèn)2】
由（）可知，的整數(shù)部分是，
∵是的小數(shù)部分，
∴，
∴，
∴平方根是．
23閱讀下面問(wèn)題：
；
；
．
（1）求的值；
（2）計(jì)算：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了分母有理化：
（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；
（2）先根據(jù)分母有理化方法推出，據(jù)此把所求式子裂項(xiàng)并計(jì)算求解即可．
【小問(wèn)1】
解：；
【小問(wèn)2】
解：
，
∴
．
24. 問(wèn)題：如圖1，等腰直角三角形中，，、為邊上的兩點(diǎn)，，線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
小涵同學(xué)的思路是：如圖2所示，將沿著折疊得，連接，利用圖形折疊與全等三角形的知識(shí)可使問(wèn)題得到解決．請(qǐng)你參考小涵同學(xué)的思路，探究并解決以下問(wèn)題：
（1）直接寫出上面問(wèn)題中，線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，線段、和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
（3）如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，是上一點(diǎn)，，若，，，試求的長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2），證明見(jiàn)解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)得到，則，再證明，進(jìn)而證明得到，則，在中，由勾股定理得，即；
（2）如圖所示，作且使得，連接，證明，得到；再證明，進(jìn)而證明，得到，再證明，則在中，由勾股定理得，即；
（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于M，連接，則，設(shè)，則，，證明，得到，則，即，即可建立方程，解方程得到或（此時(shí)，舍去），則，即可得到．
【小問(wèn)1】
解： ∵等腰直角三角形中，，
∴，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，即；
【小問(wèn)2】
解：，證明如下：
如圖所示，作且使得，連接，
∵，，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
【小問(wèn)3】
解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于M，連接，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
根據(jù)乘法計(jì)算法則可知，當(dāng)兩個(gè)數(shù)的乘積為0時(shí)，那么兩個(gè)乘數(shù)中最少有一個(gè)為0，
∴或，
∴或（此時(shí)，舍去），
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．